方差分析与试验设计【完成大部分】

6方差分析与实验设计方差分析引论方差分析：k个总体均值相等性检验多重比较方法实验设计：完全随机化设计实验设计：随机化区组设计析因实验什么是方差分析例：某公司在亚特兰大、达拉斯以及西雅图的工厂生产打印机与传真机。为确定这些工厂中有多少员工了解全面质量管理，从每个工厂选取一个由6名员工组成的随机样本，并对他们进行质量意识考试。管理者想用这些数据来检验假设：三个工厂的平均考分相同。ObservationAtlantaDallasSeattle185715927575643827362476746957169756858267样本均值797466样本方差342032样本标准差5.834.475.66响应变量、因子及处理两个变量分别是工厂位置及质量意识考试的分数。因为目的是判定亚特兰大、达拉斯与西雅图三个工厂的考分是否相同，所以考分就称为因变量或响应变量。工厂的位置为自变量或因子。用于研究的因子的值称为因子水平或处理。本例中三个处理分别为亚特兰大、达拉斯和西雅图。方差分析的假定对每个总体，响应变量服从正态分布。每个工厂的考试分数（响应变量）必须服从正态分布。响应变量的方差，对所有总体都相同。三个工厂考分的方差都相同。观察值是独立的。每个员工的考分都与其他员工的考分独立。若样本容量相等，方差分析对于总体服从正态分布的假定不敏感。问题的一般提法在上述假定条件下，判断工厂位置对工厂的考分是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的三个正态总体的均值是否相等。如果三个总体的均值相等，可以期望三个样本的均值也会很接近。三个样本的均值越接近，推断三个总体均值相等的证据也就越充分样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越充分总体方差的组间估计如果原假设成立，即H0:μ1=μ2=μ3意味着每个样本都来自均值为μ、方差为2的同一正态总体xf(x)ObservationAtlantaDallasSeattle185715927575643827362476746957169756858267样本均值797466样本方差342032样本标准差5.834.475.66总体方差的组内估计如果备择假设成立至少有一个总体的均值是不同的三个样本分别来自均值不同的三个正态总体xf(x)1

236方差分析与实验设计方差分析引论方差分析：k个总体均值相等性检验多重比较方法实验设计：完全随机化设计实验设计：随机化区组设计析因实验被检验假设的一般形式H0:12…k

H1:1,2,，k不全相等令第j个处理的样本均值第j个处理的样本方差总体样本均值如果每个样本容量都为n，则总体方差的组间估计处理均方：总体方差的组间估计。处理平方和总体方差的组内估计误差均方

误差平方和方差估计量的比较：F检验假定零假设为真，这时MSTR与MSE给出σ2的两个独立的无偏估计。对于正态分布，σ2的两个独立估计之比的抽样分布服从F分布，其分子自由度为k-1，分母自由度为nT-k。aF(k-1,n-k)0拒绝H0不拒绝H0F方差估计量的比较：F检验k个总体均值相等性检验H0:12…k

H1:总体均值不全相等检验统计量显著性水平α下的拒绝域ANOVA表ANOVA表：一种用来汇总方差分析计算和结果的表。包括显示方差来源、平方和、自由度、均方和F值的列。总平方和

处理平方和

误差平方和方差来源平方和自由度均方F处理5162258.009.00误差4301528.67合计94617练习从3个总体中各选取了5个观察值，得到如下资料。a.求σ2的组间估计量。（268）总体样本均值：（153+169+158）/3=160，抽样分布的方差：134/2=67，则组间估计量：67×4=268b.求σ2的组内估计量。（92）组内估计量：（96.67+97.33+82）/3=276/3=92观察值样本1样本2样本31165174169214916415431561801614142158148样本均值153169158样本方差96.6797.3382.00

d.构造该问题的ANOVA表。（F=2.91<4.26，不能拒绝）方差来源平方和自由度均方F处理53622692.91误差828992合计136411练习为检验三家工厂生产的机器混合一批原料所需平均时间是否相同，Jacobs化学公司得到了关于混合原料所需时间的如下数据。利用这些数据检验三家工厂混合一批原料所需平均时间是否相同。设α

=0.05。（F=10.64<4.26）方法完全同上例！制造商1制造商2制造商32028302626192431232227226方差分析与实验设计方差分析引论方差分析：k个总体均值相等性检验多重比较方法实验设计：完全随机化设计实验设计：随机化区组设计析因实验多重比较方法多重比较方法：用于进行成对的总体均值或处理间比较的统计方法。用方差分析检验k个总体均值是否相等时，拒绝零假设只能得出总体均值不全相等的结论。有时我们需要进一步检验到底哪些均值之间有差异。FisherLSD方法FisherLSD

(最小显著差异)方法例：通过方差分析，我们得出三个工厂总体平均考分不全相同的结论。这时，进一步的问题是：尽管我们承认这些工厂有差异，但到底差异出现在哪两个厂之间呢？就是说，是总体1和总体2之间的均值不同，还是总体1和总体3之间的均值不同，还是总体2和总体3之间的均值不同？FisherLSD方法检验统计量拒绝法则式中，tα/2是基于自由度为nT-k的t分布。ObservationAtlantaDallasSeattle样本均值797466样本方差5.834.475.66样本标准差342032方差来源平方和自由度均方F处理5162258.009.00误差4301528.67合计94617基于统计量的FisherLSD方法检验统计量显著性水平α下的拒绝法则式中使用FisherLSD方法的两个总体均值之差的置信区间估计置信区间估计式中且tα/2是基于自由度为nT-k的t分布。第一类错误概率比较性第一类错误概率：对应于单个配对比较的第一类错误概率。实验性第一类错误概率：几个配对比较中至少有1个犯第一类错误的概率，记为αEW。若总体个数较多，实验性第一类错误概率则更大。控制实验性错误概率Bonferroni修正在逐个检验中使用更小的比较性错误概率。如果要检验

C个配对比较并希望总的实验性第一类错误的最大概率为

αEW，那么令比较性错误概率等于αEW/C对于固定的样本容量，降低犯第一类错误的概率将导致犯第二类错误的概率增加。这类错误对应于实际上两个总体均值不相等，但却接受了两个总体均值相等的假设的情形。练习

观察值样本1样本2样本31165174169214916415431561801614142158148样本均值153169158样本方差96.6797.3382.00练习

观察值样本1样本2样本31165174169214916415431561801614142158148样本均值153169158样本方差96.6797.3382.00练习为检验三家工厂生产的机器混合一批原料所需平均时间是否相同，Jacobs化学公司得到了关于混合原料所需时间的如下数据。利用这些数据检验三家工厂混合一批原料所需平均时间是否相同。设α

=0.05。用FisherLSD方法检验厂家1与厂家3均值的相等性。（LSD=3.54，有显著差异）用FisherLSD方法求总体1与总体2均值之差的95%的置信区间估计。（-8.54，-1.46）方法完全相同！制造商1制造商2制造商32028202626192431232227226方差分析与实验设计方差分析引论方差分析：k个总体均值相等性检验多重比较方法实验设计：完全随机化设计实验设计：随机化区组设计析因实验在实验性研究中，感兴趣的变量是明确规定的。因此，研究中的一个或多个因素可以被控制，使得数据可以按照因素如何影响变量来获得。(因果关系)在观察性或非实验性研究中，则不去控制这些因素。(抽样调查)单因子实验只涉及到有k个总体或处理的一个因子的实验。例：Chemitech开发了一种新的城市供水过滤系统，其元件需从几家供应商处购买，然后Chemitech在位于南加州哥伦比亚的工厂装配这些元件。由工程部负责确定新过滤系统的最佳装配方法。考虑过各种可能之后，小组将范围缩小至三种方法：方法A、方法B及方法C。这些方法在产品装配步骤上有所不同。Chemitech的管理者希望确定哪种装配方法每周生产的过滤系统数最大。完全随机化设计处理被随机地指派给实验单元的一种实验设计。假定从Chemitech的生产车间的全体装配工人中抽取了由三名员工组成的样本，这三名随机抽取的工人被称为实验单元。随机化的概念是所有实验设计的一个重要原理。完全随机化设计数据收集ObservationMethodAMethodBMethodC15858482646957355715946664475676849样本均值626652样本方差27.526.531.0样本标准差5.245.155.57完全随机化设计总体方差的组间估计总体方差的组内估计方差估计量的比较：F检验ANOVA表方差来源平方和自由度均方F处理5202260.009.18误差3401228.33合计86014完全随机化设计配对比较结论：方法A与方法B要优于方法C

练习

练习

6方差分析与实验设计方差分析引论方差分析：k个总体均值相等性检验多重比较方法实验设计：完全随机化设计实验设计：随机化区组设计析因实验为检验处理均值之间的差异，计算F值时使用了比值当外在因素（实验中没有考虑到的因素）引起的差异导致该比值中MSE项增大时，F值会变小。这样，在实际中存在差异时，F值却给出处理均值之间没有差异的信号。随机化区组设计区组划分：在每个处理中使用相同或相近实验单元的过程。目的是从误差项中剔除外来方差，并因此给出总体或处理均值之间差异的更有力的检验方法。随机化区组设计：采用区组划分的一种实验设计。例：空中交通管制员工作压力测试一次衡量空中交通管制员的疲劳程度与工作压力的研究得到的结果是建议改造并重新设计管制员工作站。考虑了工作站的若干设计方案后，由于三种方案最能减轻管制员压力而被选出。关键问题是：三种方案对于管制员压力的效果有多大差异？在完全随机化实验中，管制员的随机样本被指派给每个工作站方案。但是，管制员之间的差别是很大的。一名管制员认为是大的压力对于另一名管制员来说可能是中等的压力或甚至是小的压力。将个人差异分离出来的一种办法是使用随机化区组设计。例：空中交通管制员工作压力测试随机化区组需要管制员的一个单个样本，样本中每个管制员都分别在三种工作站方案下接受检验。工作站是兴趣因子，管制员为区组，与工作站因子有关的三个处理或总体分别对应于三种工作站方案。为简化起见，称工作站方案为系统A、系统B、系统C。随机化区组设计中的随机化是指处理（系统）指派给管制员的顺序是随机的。如果每个管制员测试三个系统的顺序都是一样的，任何观察到的系统差异都可能归因于检验顺序而不是系统真正的差异。空中交通管制员压力测试的随机化区组设计处理系统A系统B系统C区组管制员1151518管制员2141414管制员3101115管制员4131217管制员5161316管制员6131313空中交通管制员压力测试的压力数据汇总处理区组合计区组均值系统A系统B系统C区组管制员11515184816.0管制员21414144214.0管制员31011153612.0管制员41312174214.0管制员51613164515.0管制员61313133913.0处理合计81789325214.0处理均值13.513.015.5ANOVA方法将总平方和分解成三部分：处理平方和、区组平方和以及误差平方和。SST=SSTR+SSBL+SSE计算第1步：计算总平方和（SST）第2步：计算处理平方和（SSTR）第3步：计算区组平方和（SSBL）第4步：计算误差平方和（SSE）计算方差来源平方和自由度均方F处理21210.510.5/1.9=5.53区组3056.0误差19101.9合计7017随机化区组设计在某些情形，区组的划分是针对每个区组内的“相似的”实验单元而进行的。例如，假设在关于空中交通管制员的一个预先的测试中，管制员总体被分成从极高压力组到极低压力组的几个组。通过让来自压力分类中每一类的三名管制员参加研究，仍然可以实现分区组。因为有b个区组导致自由度减少了b-1，所以随机化区组设计的误差自由度小于完全随机化设计的误差自由度。如果n很小，因为误差自由度的减少，区组的潜在影响可能被掩盖；当n很大时，这种影响被最小化了。练习考虑用如下随机化区组设计的实验结果，进行建立方差分析表所需的计算。用α

=0.05，检验显著性差异。（F=6.58>4.46，拒绝）处理ABC区组1109821265318151442018185878练习对5种不同的审计方法的总审计时间进行比较。为控制属于进行审计的个人的可能的方差，随机选取了四名会计师当作实验中的区组。由ANOVA方法得到下列数据：SST=100，SSTR=45，SSBL=36。用α

=0.05检验5种审计方法平均总审计时间是否有显著差异。（F=7.11>3.26，拒绝）6方差分析与实验设计方差分析引论方差分析：k个总体均值相等性检验多重比较方法实验设计：完全随机化设计实验设计：随机化区组设计析因实验析因实验析因实验：允许进行关于两个或两个以上因子统计推断的一种实验设计。例：为尝试提高考生在考试中的分数，一所较大的得克萨斯州的大学考虑提供下面三种GMAT辅导课程：(1)3小时的复习；(2)1天的课程；(3)10周的强化班。通常GMAT的考生来自三类院校：商学院、工学院和艺术与科学学院。两因子实验的GMAT分数BusinessEngineeringArtsandSciences3-hourreview5005404805804604001-dayprogram4