数学建模微分方程第一讲(暑期培训)

微分方程模型第一讲

数学建模暑期培训

1、微分方程的主要适用范围

我们所关心的研究对象的特征，会随时间(空间)的变化而变化，这种变化可以是连续的，也可以是不连续的。

一般来说，如果判断研究对象的某些特征可能会关于时间、空间连续，那么应该重点考虑利用微分方程建立模型，至少可以利用微分方程建立某些子问题的模型。比如，问题中涉及到：(1)物体的运动、振动、受力形变(2)生物(动植物、微生物)的数量变化或密度变化(3)物质、能量的扩散、传递(4)消费品在市场上的销售过程(5)信息的扩散与传播导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁的防震、防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、促进，食物链问题；动植物、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学反应过程的描述，热量在同种或不同物质间的传导比如，问题中涉及到：(1)物体的运动、振动、受力形变；(2)生物(动植物、微生物)的数量变化或密度变化；(3)物质、能量的扩散、传递；(4)消费品在市场上的销售过程；(5)信息的扩散与传播。导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁的防震、防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、促进，食物链问题；动植物、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学反应过程的描述，热量在同种或不同物质间的传导如果研究的是事物在一段时间内的变化情况，或者说在这个过程中发生了什么————微分方程的求解和求数值解如果研究的是事物未来的发展趋势，稳态情形，或者无法/无须获得精确的解————可以利用微分方程几何理论2、微分方程模型的分析方法3、方程的阶数注意不同阶方程的实际意义表达的是某个变量的增长速度，与其当前状态和时间变量之间的关系。从几何的角度来理解，表达的是函数的导数，与函数本身及自变量之间的关系。表达的是某个变量的增量，与其当前状态和所处时间段之间的关系。如果讨论的事物，有多个变量会随着时间变化，而且可以分析出这些变量的增长速度与事物当前状态和时间变量之间的关系，可以考虑建立一阶微分方程组。3、方程的阶数二阶、二阶以上的常微分方程通常用于有运动的物理现象。通常经济、管理、生态系统等领域，较少有实际量会涉及到二阶导数，即所谓的加速度。偏微分方程比较复杂，比如对于u(x,y)：u为产品销量；x为产品价格；y为广告宣传费用。表示固定y时，u关于x的变化速度和加速度表示u关于x的变化速度，在y变化时的变化幅度理解为：价格变动时销量的增幅，关于广告费用的变化速度。4、微分和差分方程模型的解（

1）解析解（精确解）

——适用于线性系统和少量非线性系统（伯努利方程）（2）数值解（近似解）

——对于多数的线性系统和非线性系统，但不能对系统的行为提供一个定性解释。（3）定性解（定性理论分析）

——用定性理论和稳定性理论分析系统在局部和全局

的动态行为。定性理论适用于二维、三维系统。稳定性理论适用于高维系统。5、微分模型和差分模型的建模方法1、根据规律建模——利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立模型。2、用微元法建模——利用已知的定理与规律寻求微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。3、用模拟近似法建模——在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是及其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。6、微分模型的建模原理在建立微分方程的时候，所要求的其实是微分方程的一条解曲线，通过它来反映某些我们所要寻求的规律。微分方程曲线思想是，如果知道曲线上每一点处的导数以及它的起始点，那么就能构造这条曲线。具体步骤如下：1、转化实际问题中，有许多表示“导数”的常用词，如“速率”、”增长“（在生物学以及人口问题研究中）、”衰变“（在放射性问题中）以及”边际的“（在经济学中）等。这些词就是信号，这个时候要注意是哪些研究对象在变化，对这些规律的表示微分方程也许就能用得上。考虑：我们所研究的对象是否遵循某些原则或物理定理呢？是应该用已知的定律呢？还是必须去推导呢？大部分微分方程模型符合下面的模式：

净变化率=输入率—输出率2、准确性和总体特征微分方程是一个在任何时刻都必须正确的瞬时表达式，这是问题的核心。建立微分方程模型，首先要把注意力放在方程文字形式的总关系上：

净变化率=输入率—输出率或者：变化率（微商）=单位增加量--单位减少量等式通常是利用已有的原则或定律。3、单位一旦确定了哪些子项应该列入微分方程中，就要确保每一项都采用同样的物理单位。这是在建立微分方程过程中容易疏忽的问题。4、约束条件约束条件是关于所研究对象在某一特定时刻的信息（比如初始时刻），它们独立于微分方程而存在。在建立微分方程模型后，利用它们来确定模型中有关的常数，这些常数包括比例系数、原微分方程的其他参数和解中的积分常数。为了完整，充分地给出问题的数学陈述，建模过程中应该将这些约束条件和微分方程一起写出。5、概念框架前面阐述的都是使用微分方程建模的关键问题。当面临一个典型问题是，首先必须有一个明确的概念框架（建立其他模型也是如此），这个概念框架就是关键步骤。具体如下：（1）把用语言描述的情况转化为文字方程。（2）陈述出所涉及的原则或物理定律。（3）建立微分方程，配备方程各子项的单位。（4）给定约束条件，包括初始条件或其他条件。（5）给出微分方程的解。（6）求出微分方程的常数。（7）给出问题答案。（8）检验答案是否满足问题的要求。在建模过程中，明确了概念框架，然后就是依次完成框架中每一步所要做的事情。7、建立微分方程模型的依据根据问题的背景资料，或者我们自己查到的资料，随着时间/空间的变化，问题中的某些指标的变化情况，与另外一些指标的数值或变化情况呈现比例关系，或其他的简单函数关系，则可以据此建立微分方程模型。建立微分方程模型时，需要注意：所建立的方程或方程组应满足守恒定律；如果希望得到解析解进行深入分析，则尽量简化方程；注意掌握微分方程几何理论，用于做定性的讨论；如果建立的是差分方程模型，也可以粗略的转化为微分方程进行定性讨论；微分方程属于比较理想化的建模方法，适合用于定性讨论或精度要求不高的情形下。8、案例－物体的运动、振动、受力形变导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁的防震、防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变此类问题一般都可以参照经典的物理原理，建立微分方程模型，在此基础上再考虑一些细节问题即可。比如往年美国竞赛题中的摩托车特技飞跃问题。其中x表示特技演员的位置向量，g表示重力加速度，k表示空气阻力系数，v表示标量运动速度，m表示演员+车的质量。运动方程不是模型的难点，但却是一个关键的基础问题。6、案例－生物的数量变化或密度变化自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、促进，食物链问题；动植物、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制一个封闭的环境中，没有天敌的某种生物，其数量变化一般都可以假设服从Logistic规律：或一个封闭的环境中，两个种群竞争，其数量变化一般都可以假设满足竞争模型：传染病或病毒的扩散，被感染者的数量变化一般可以用下面的模型表示：如果存在退出系统的情形，则被感染者的数量变化一般可以用下面的模型表示：涉及到状态转变时，特别注意系统的守恒问题！sirSISIR这里的不同之处在于，物质或能量是一定的，不会有新的物质或能量产生。比如不考虑重力影响时，空间中不同位置粉尘、烟雾的浓度变化可以用下面的扩散方程描述：7、案例－物质、能量的扩散与传递粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学反应过程的描述，热量在同种或不同物质间的传导。

中心室周边室给药排除药物在体内的传递与排出问题8、案例－消费品在市场上的销售过程新产品入市之后，如果对销量进行预测？或者说，如何描述新产品占领市场的过程？设需求量有一个上界，并记此上界为K，记t时刻已销售出的产品数量为x(t)，则尚未使用的人数大致为K－x(t)，则基于阻滞增长模型，可以认为：记比例系数为k：研究机构预测某种商品近期的销量时，一般采用线性估计办法给出销量区间。如果希望预测较长时间内的销量，则可以采用上面的形式。在预测商品的销量时，连续性模型一般不便于使用，采用离散形式的阻滞增长模型更方便一些。如果考虑更复杂一些的情形，比如部分早期用户更新对销量的影响，可以采用时滞微分方程。考虑早期用户更新的因素，可以采用时滞微分方程。搜集数据，计算方程中的参数，即可得到销量的递推公式对于这些方程的求解都可以用mathematics8.0来求，详见附件12011高教社杯A题城市表层土壤重金属污染分析随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1)给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2)通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。(3)分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4)分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？(1)对于地形分布可采用：Shepard插值方法，又称距离平方反比律或Kriging插值方法。对于污染浓度同样采用散乱数据插值方法。而对于污染程度评价指标可采用地质累积指数或内梅罗指数来评价。(2)污染原因分析可采用：相关性分析和聚类分析处理具体细节可参看附件两篇参考文献！(3)分析污染物的传播特征：建立扩散微分方程模型背景知识：环境介质一般是指在自然环境中能够传递物质和能量的媒介，空气，水，土壤是最基本的环境介质。尽管污染物在进入不同的环境介质之后做着复杂的运动变化，但都是由以下几种基本形式组成的：1、随着介质的迁移运动2、污染物的扩散运动3、污染物的衰减与转化4、污染物被环境介质吸收或吸附5、污染物的沉淀1、迁移运动推流迁移是指污染物在气流或水流作用下产生的空间位置上的转移，单纯的推流作用不能降低污染物的质量和浓度2、污染物的扩散运动由分子的随机热运动引起的质点的扩散现象，分子扩散过程符合Fick第一定律，扩散物质量与其浓度梯度成正比3、污染物的衰减与转化污染物在环境中的衰减过程可用一级动力学规律描述，即迁移扩散衰减污染物传播的基本模型QCsKVC利用上述基本模型，针对本题，我们可将模型修改为：接下来只需利用回归分析方法对模型进行参数估计，最后再做模型检验即可。

模型的修改：9、微分方程定性分析方法简介不求解，直接分析解的一些性态。1、x只能取正值；2、x<N；3、r和N均为正数。结论：1、随着时间增加，x

始终单调递增；2、时间趋于无穷时，x

无限逼近N；3、可以大致绘出解的曲线。xx0NtN/2tmxtxy2x+4y=0

希望知道时间充分长以后会如何，即研究事物最终的发展趋势。10、稳定性模型比如，前面提到的：(1)物体的运动、振动、受力形变——极限是什么？(2)生物(动植物、微生物)的量变或密度变化——稳定状态？(3)物质、能量的扩散、传递——均衡状态是怎样的？(4)消费品在市场上的销售过程——市场容量是多少？(5)信息的扩散与传播——最大影响范围是什么？(1)运动状态稳定下来之后会是什么情形？长期受力的结果是什么？(2)对生态系统放任自流，或者加以干涉，最终会导致什么后果？比如，前面提到的：(1)物体的运动、振动、受力形变(2)生物(动植物、微生物)的数量变化或密度变化(3)物质、能量的扩散、传递(4)消费品在市场上的销售过程(5)信息的扩散与传播(3)如果不断有物质或能量的补充，那么最终物质和能量的分布情况如何？(4)商品不断销售，用户也会报废旧品，最终稳定下来的市场销量会是多少？(5)如果对信息的扩散与传播加以干涉，那么信息最后的分布情况如何？案例一、传染病模型问题背景：通过建立数学模型，了解传染病的传播规律，从而为传染病的防治和扑灭提供有益的科学依据。建立传染病要考虑的因素非常多，如传染速度、医疗能力、死亡、新生人口数量、人口年龄性别结构等。具体到不同的疾病，还有传播途径、发作速度等问题。此外，传染病模型可以参照用于讨论计算机病毒的传播特征等方面。模型目标问题

描述传染病的传播过程

分析受感染人数的变化规律

预报传染病高潮到来的时刻

预防传染病蔓延的手段

按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型模型假设基本假设：传染病是由病人通过“接触”健康人进行传播的.疾病流行区域内的人分为三类：S类——易感人群；I类——病人；R类——移出者。为简单起见，假设本地区总人口不变，为N。1、SI模型（只考虑S和I两类人）(1)除染病、不染病之外，人群的个体之间没有差异。病人与易感者的个体在人群中混合均匀，即S类、I类人群的数量只与时间有关。记s(t)为t时刻健康人占总人口的比例i(t)为t时刻病人的比例，则s(t)+i(t)=1。(2)人群数量足够大，只考虑传播过程中的平均效应，即函数s(t)和i(t)可以视为连续且可微的。(3)每个I类的人每天“有效接触”的人数（包括病人、健康人）为常数λ。这个常数实际上就是传染率，反映本地区的卫生水平。(4)不考虑出生与死亡，以及人群的迁入迁出因素。（简化问题）构造模型考虑t到t+Δt时间内病人人数的变化，根据假设(1)，应该分别是Ni(t)和Ni(t+Δt)，所以在Δt时间内受感染的人数为：令Δt→0，得到微分方程：(Logistic模型)模型求解(Logistic模型)它的通解为

这个模型可以用于预报传染病爆发早期，患病人数的发展规律，并预测传染高峰的时间。SI模型图形分析idi/dttmt0

1/2i1

(di/dt)m1/2i0病人比例随时间的变化规律

病人数增长速率与病人数的关系

高峰期SI模型结果分析这个模型的缺陷是显而易见的.比如t→+∞时，i(t)→1，这表明本地区最后所有人都会被感染。出现这种结果的原因是假设系统中只有两种人，即病人和易感人群，而且没有考虑病人会被治愈的因素。1.假设(前面四条都和模型A一样，再添加一条)（5）病人以固定的比率痊愈，再次成为易感人群。每天被治愈的病人数占病人总数的比例为μ。2、SIS模型（可治愈但不免疫模型）μ表示日治愈率，表现的是本地区的医疗水平，所以1/μ就可以表示传染病的平均感染期，也是一个病人从发病到被治愈经历的时间。根据假设5，Logistic模型被修改为：构造模型定义一个常数σ=λ∕μ，根据λ和1/μ的定义，σ就是一个病人在整个患病期间有效接触的平均人数，这在模型里被称为接触数。将σ代入方程中，得到求解这个方程，得到解为模型求解σ>1时，t→+∞则i(t)→1-1/σ。画出解的图象为：σ<1，t→+∞时i(t)→0.σ=λ∕μ1-1/σiti0i0模型结果分析ii00tσ<1，t→+∞时i(t)→0.

σ=λ∕μ1、假设：这里的假设类似于模型B，只是引入R类人群。分别记s(t)、i(t)、r(t)为病人、易感人群、移出者在总人口中所占的比例。s(t)+i(t)+r(t)=1。另外，日接触率λ，日治愈率μ。3、SIR模型（免疫模型）根据假设，模型被修正为

初值条件为i(0)=i0，r(0)=r0，s(0)=s0。注意：此方程组无法求解析解。可以求数值解模型求解将方程组转化成下面的形式：其中s≥0，i≥0且s+i≤1。此方程是可以求解析解求解得到：考察随着时间的推移，s(t)、i(t)、r(t)的变化规律。首先，t→+∞时，分别以s,i,r记各自的极限，这些极限都存在。模型分析i=0?（用反证法）假设i0，那么必然有i=>0。根据极限的定义，对于充分大的t，都应该有i(t)>ε/2，把这个结论代入方程组。模型分析dr/dt=μi>με/2这会导致r(t)→+∞，这跟上面r(t)的极限也存在的结论有矛盾。所以只能有：i=0，即传染病最终将消失。其次，考虑随着t的变化，i-s平面上解的轨线变化情况。大概的走势图为：模型分析i101/σsσ=λ∕μi101/σss0>1/时，i(t)先升后降至0传染病蔓延s0<1/时，i(t)单调降至0传染病不会蔓延开来1/σ是一个边界点，为了让传染病不蔓延，需要调整s0和1/σ。具体的方法：一是降低s0，如接种疫苗，使S类人群直接变成R类；二是提高1/σ使之大于s0，σ=λ/μ,也就是降低λ而提高μ，强化卫生教育和隔离病人，同时提高医疗水平。模型分析对参数σ的估计：令解两端同时取t→+∞，因为i=0，得到

参数估计根据历史数据和此公式就可以得到σ的估计值。关于传染病模型，我们还可以进一步考虑更复杂的情形，如考虑出生率、死亡率、防疫措施的作用、潜伏期等。其他类型的传染病模型SIES模型——健康－染病－潜伏期－健康不免疫SIER模型——健康－染病－潜伏期－移出系统SIRS模型——健康－染病－短时免疫－健康(易感)考虑抵抗能力考虑地域传播考虑传播途径(接触、空气、昆虫、水源等)

对象仍是动态过程，建模目的变成了时间充分长以后会如何？即研究事物最终的发展趋势。

借助微分方程稳定性理论，不求解微分方程，描述事物某些特征的最终稳定状态。稳定性模型比如，商品的价格与其价值的变化关系；食肉动物与草食性动物数量的变化规律；侵入人体的病菌与白血球的数量变化关系。随着时间的推移，最终的结局是什么？微分方程稳定性方法建模稳定性模型

由于诸多偶然因素以及参数变化的影响，通常微分方程用来做长期预测，效果并不够好，在精度上难以让人满意。如各种人口模型。

不过即便误差很大，但微分方程稳定性模型反映出来的发展趋势还是有借鉴意义的。

另外，很多微分方程稳定性模型的最终目的并不是预测，而是寻找控制手段。事物发展的稳定与不稳定t这些现象在现实中都有实用背景和研究价值一、常微分方程稳定性理论1、一阶微分方程方程右端不显含t平衡点稳定的几何特征txx0稳定不稳定一阶微分方程通常判断平衡点稳定性有两种方法，直接求解法和定性分析法。定性分析法1、若方程为线性，即f(x)=ax+b，则a<0稳定，

a>0不稳定；2、若方程为非线性，即x`(t)=f(x)，考虑f`(x0)。

f`(x0)<0稳定，f`(x0)>0不稳定。2、二阶微分方程所以讨论二阶微分方程的稳定性往往就归结为对二维一阶方程组的讨论二阶微分方程求方程组的平衡点，即求解下面设法给出P0稳定的判断准则。二阶微分方程首先将方程组线性化：其系数矩阵为：二阶微分方程二阶微分方程的稳定性由p

和q

的正负决定。p>0且q>0时平衡点P0稳定；p<0或q<0时平衡点P0不稳定.3、一阶线性差分方程4、二阶线性差分方程5、一阶非线性差分方程

例、捕食系统的Volterra方程问题背景：

意大利生物学家D’Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，在研究过程中他无意中发现了一些第一次世界大战期间地中海沿岸港口捕获的几种鱼类占捕获总量百分比的资料，从这些资料中他发现各种软骨掠肉鱼，如鲨鱼、鳐鱼等我们称之为捕食者（或食肉鱼）的一些不是很理想的鱼类占总渔获量的百分比。在1914~1923年期间，意大利阜姆港收购的鱼中食肉鱼所占的比例有明显的增加：年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.810.7他知道，捕获的各种鱼的比例近似地反映了地中海里各种鱼类的比例。战争期间捕鱼量大幅下降，但捕获量的下降为什么会导致鲨鱼、鳐鱼等食肉鱼比例的上升，即对捕食者有利而不是对食饵有利呢？他百思不得其解，无法解释这一现象，就去求教当时著名的意大利数学家V.Volterra，希望他能建立一个数学模型研究这一问题。

Volterra将鱼划分为两类。一类为食用鱼（食饵），数量记为x1(t)，另一类为食肉鱼（捕食者），数量记为x2(t)，并建立双房室系统模型。1、模型建立大海中有食用鱼生存的足够资源，可假设食用鱼独立生存将按增长率为r1的指数律增长（Malthus模型），既设：由于捕食者的存在，食用鱼数量因而减少，设减少的速率与两者数量的乘积成正比（竞争项的统计筹算律），即：对于食饵（Prey）系统：λ1反映了捕食者掠取食饵的能力对于捕食者（Predator）系统：捕食者设其离开食饵独立存在时的死亡率为r2，即：但食饵提供了食物，使生命得以延续。这一结果也要通过竞争来实现，再次利用统计筹算律，得到：综合以上分析，建立P-P模型（Volterra方程）的方程组：（3.31）方程组（3.31）反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的相互制约关系。下面我们来分析该方程组。2、模型分析方程组（3.31）是非线性的，不易直接求解。容易看出，该方程组共有两个平衡点，即：Po(0,0)是平凡平衡点且明显是不稳定，没必要研究方程组还有两组平凡解：和和所以x1、x2轴是方程组的两条相轨线。当x1(0)、x2(0)均不为零时，，应有x1(t)>0且x2(t)>0，相应的相轨线应保持在第一象限中。求（3.31）的相轨线将两方程相除消去时间t，得：分离变量并两边积分得轨线方程：（3.32）令两者应具有类似的性质用微积分知识容易证明：有：同理：对有：图3-20(b)图3-20(a)与

的图形见图3-20易知仅当时（3.32）才有解记：讨论平衡点的性态。当时，轨线退化为平衡点。当时，轨线为一封闭曲线（图3-21），即周期解。图3-21证明具有周期解。只需证明：存在两点及，<

当<x1<时，方程（3.32）有两个解，当x1=或x1=时，方程恰有一解，而在x1<或x1>时，方程无解。事实上，若，记，则由的性质，，而，使得：。同样根据的性质知，当<x1<时。此时：由的性质，，使成立。当x1=或时，，仅当时才能成立。而当x1<或x1>时，由于，故无解。得证。确定闭曲线的走向用直线将第一象限划分成四个子区域在每一子区域，与不变号，据此确定轨线的走向（图3-22）图3-22将Volterra方程中的第二个改写成：将其在一个周期长度为T的区间上积分，得等式左端为零，故可得：同理：平衡点P的两个坐标恰为食用鱼与食肉鱼在一个周期中的平均值。解释D’Ancona发现的现象引入捕捞能力系数ε，（0<ε<1），ε表示单位时间内捕捞起来的鱼占总量的百分比。故Volterra方程应为：平衡点P的位置移动到了：由于捕捞能力系数ε的引入，食用鱼的平均量有了增加，而食肉鱼的平均量却有所下降，ε越大，平衡点的移动也越大。食用鱼的数量反而因捕捞它而增加，真的是这样？！

P-P模型导出的结果虽非绝对直理，但在一定程度上是附合客观实际的，有着广泛的应用前景。例如，当农作物发生病虫害时，不要随随便便地使用杀虫剂，因为杀虫剂在杀死害虫的同时也可能杀死这些害虫的天敌，（害虫与其天敌构成一个双种群捕食系统），这样一来，使用杀虫剂的结果会适得其反，害虫更加猖獗了。（3）捕鱼对食用鱼有利而对食肉鱼不利，多捕鱼（当然要在一定限度内，如ε<r1）能使食用鱼的平均数量增加而使食肉鱼的平均数量减少。根据P-P模型，我们可以导出以下结论：（1）食用鱼的平均量取决于参数r1与λ1（2）食用鱼繁殖率r1的减小将导致食肉鱼平均量的减小，食肉鱼捕食能力λ1的增大也会使自己的平均量减小；反之，食肉鱼死亡率r2的降低或食饵对食肉鱼供养效率λ2的提高都将导致食用鱼平均量的减少。一、两个生物种群的竞争模型考虑两个生物种群竞争同一种有限资源的问题。在自然条件下，适应环境能力弱的种群将趋于灭亡，适应能力强的种群将增长到环境允许的最大数量。种群竞争模型现在已经被广泛地应用到描述企业、国家等社会实体之间的竞争研究中。下面通过建立模型来解释这种现象，并分析出现各种结局的条件。生存空间论战略空间论能源竞争企业间的市场竞争1.模型的建立设同一环境中有甲、乙两个种群，x1(t)、x2(t)分别记t时刻甲、乙种群的数量；r1、r2为各自固有的增长率，N1、N2为各自环境最大容量。据此建立下面的模型：其中1，2是非常关键的指标，反映一个种群对另一种群的竞争能力。2.稳定性分析（竞争的结局）2.1求平衡点令f(x1,x2)=g(x1,x2)=0，得到四个平衡点：P1(N1,0)，P2(0,N2)，P3(0,0)，pq稳定条件P1r1-r2(1-2)-r1r2(1-2)P2-r1(1-1)+r2-r1r2(1-1)P3-(r1+r2)r1r2P4[r1(1-1)+r2(1-2)](1-12)-1r1r2(1-1)(1-2)(1-12)-12>1(1<1)1>1(2<1)不稳定1<12<1p>0而且q>02.2平衡点的稳定性根据前面的方法不能给出各个平衡点全部的稳定性条件。下面对1和2分情况讨论平衡点的稳定性条件。考虑转到相平面上，即在x1-x2平面上研究方程解沿着t增加所表现出的趋势。x1’(t)=r1x1(1-x1/N1-1x2/N2)x2’(t)=r2x2(1-2x1/N1-x2/N2)可知，在任意时刻，x1(t)和x2(t)是增是减由

=1-x1/N1-1x2/N2

和=1-2x1/N1-x2/N2

决定。1、1<1，2>1S1S2S3ON1/2N1x1x2N2/1N2=0=0这时=0和=0将相平面分为三个区域：S1：x’1>0,x’2>0;S2：x’1>0,x’2<0;S3：x’1<0,x’2<0.t增加时，所有解都将趋于P1，所以P1是稳定的。ON1x1x2N22、1>1，2<1，P2稳定3、1<1，2<1，P3稳定ON1N1/2x1P3N2N2/1x2ON1/2N2x1P3x2N2N2/14、1>1，2>1，方程的解不存在统一的发展趋势。一(2)生物互惠共生模型甲乙两种群的相互依存有三种形式1)甲可以独自生存，乙不能；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。2)甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。第一种情形模型假设甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律;甲乙一起生存时乙为甲提供食物、促进增长。乙不能独自生存；甲乙一起生存时甲为乙提供食物、促进增长；乙的增长又受到本身的阻滞作用(服从Logistic规律)。模型乙为甲提供食物是甲消耗的1

倍甲为乙提供食物是乙消耗的2

倍平衡点稳定性分析平衡点有三个：P1(N1,0),P3(0,0)种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点稳定条件不稳定平衡点0

1<1,2>1,12<1

P