电磁场与电磁波第一章矢量2014

1电磁场与电磁波电磁场理论基础2第1章矢量分析授课：高洪民taoloveit@163.com138112882283第1章矢量分析授课：高洪民taoloveit@163.co/p>

电磁波是电磁场的一种运动形态。电与磁可说是一体两面，电流会产生磁场，变动的磁场则会产生电流。变化的电场和变化的磁场构成了一个不可分离的统一的场，这就是电磁场。变化的电磁场在空间的传播形成了电磁波，电磁的振幅变动就如同微风轻拂水面产生水波一般，因此被称为电磁波，也常称为电波。41、课程简介①先修内容：电磁学（普通物理） 高等数学 工程数学②后续课程：本科——微波技术基础、天线原理 等硕士——高等电磁理论、射频电路 等③应用：

A.“微波技术研究所”涉及的领域

高频电路分析、天线设计、雷达、隐身技术、计算电磁学

B.更广泛的领域 通信、遥感、遥控遥测、电磁兼容、生物电磁学……5

电磁场理论基础静态场静态电场静态磁场（第四章）静电场（第二章）恒定电场（第三章）时变场时变电磁场（第七章） 基本原理电磁波辐射（第十章） 天线原理矢量分析（第一章） 高等数学静电场边值问题（第五章） 工程数学（二~五章）（六~九章）电磁感应（第六章） 引子电磁波的传播有界空间（第九章）微波技术基础无界空间（第八章）电磁学62、参考书目（教材）①《电磁场与电磁波》（第三版、第四版）谢处方、饶克谨

O441.42=3、O441.42=4 16开 ②《电磁场与电磁波》

焦其祥

O441.4104 16开③《电磁场与电磁波》（第一版、第二版）

BhagSinghGuru著周克定等译

O441.482、O441.482=2 16开72、参考书目（习题）①《电磁场理论解题指导》

冯亚伯、江志云、崔正勤

O441.4–44/5 16开②《电磁场与电磁波解题指南》

余恒清

O441.4–44/12 16开③《电磁场的难题和例题分析》

张文灿、邓亲俊

O441.4–44/2 32开84、辅导地址：理工大学4#教学楼413室电话-Mail：gaohm@3、作业①每人准备至少两本作业本②独立完成，严禁抄袭9在电磁理论中，研究某些物理量时，需要知道这些物理量的空间分布和变化规律，如电位、电场强度和磁场强度等，因此引入了场的概念。即：场是用来研究某些物理量的空间分布和变化规律的量。

如果某一物理量在每一时刻、在空间中的某一点都有确定的值，则称在此空间确定了该物理量的场。电磁场是分布在三维空间的矢量场，什么是矢量，首先从标量谈起。10本章内容1.1矢量代数1.2三种常用的正交曲线坐标系1.3

标量场的梯度1.4

矢量场的通量与散度1.5

矢量场的环流与旋度1.6

无旋场与无散场1.7

拉普拉斯运算与格林定理1.8

亥姆霍兹定理11

电磁场是分布在三维空间的矢量场，什么是矢量，首先从标量谈起。P11.1矢量代数1.1.1标量和矢量P21.1.2矢量的加法和减法1.1.3矢量的乘法12电磁场是分布在三维空间的矢量场，什么是矢量，首先从标量谈起。1.1.1标量和矢量任一代数量可以叫做标量，给标量一个物理单位，就得到有物理意义的标量，也叫做物理量。如电压u、电荷量Q、质量m、能量W等赋予矢量一个“物理单位”，则得到具有物理意义的矢量。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等131.标量和矢量矢量的大小或模：矢量的单位矢量：标量：一个只用大小描述的物理量。矢量的代数表示：1.1矢量代数矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。

矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示

注意：单位矢量不一定是常矢量。

矢量的几何表示常矢量：大小和方向均不变的矢量。

14矢量用坐标分量表示zxy15（1）矢量的加减法

两矢量的加减在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线,如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律2.矢量的代数运算矢量的加法矢量的减法

在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律交换律16（2）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）——矢量的标积符合交换律q矢量与的夹角——矢量的平行、重合——矢量的正交、垂直（1.2.4)p417（4）矢量的矢积（叉积）符合右手螺旋法则qsinABq矢量与的叉积单位坐标矢量若，则若，则不符合交换律18（4）矢量的矢积（叉积）符合右手螺旋法则qsinABq矢量与的叉积用坐标分量表示为写成行列式形式为（1.2.5)p419（5）矢量的混合运算——

分配律——

分配律——

标量三重积——

矢量三重积20

场是用来研究某些物理量的空间分布和变化规律的量。矢量分析是研究电磁场在空间的分布和变化规律的基本数学规律之一。为研究具有物理意义的矢量，需要把矢量放置在空间，因此物理量的空间分布首先涉及到坐标系。

1.2

三种常用的正交坐标系21

坐标系是将空间的点的位置用一组有顺序的、一一对应的数值来建立有关点的数学模型。对于位于平面上的一个点，只需一组二维独立坐标便可确定其位置；而对于空间中的点，任何描述三维空间的点的坐标系则需要三个独立的坐标变量。当坐标变量为单一常数时，分别代表空间的三组曲面或平面，称为坐标面。如果每两组坐标面相交成线，则其交线称为坐标曲线。1.2

三种常用的正交坐标系22

直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系是正交坐标系中最常见的三种坐标系。

在电磁场与电磁波理论中，三种常用的正交坐标系即采用：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。1.2

三种常用的正交坐标系231.2

三种常用的正交曲线坐标系

三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。由三条正交曲线组成的、用来确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。若过空间任意M点的三条坐标曲线两两相互正交，则称这种坐标系为正交坐标系。为了研究某些物理量的空间分布和变化规律，必须引入坐标系。P31.2三种常用的正交坐标系241.直角坐标系

见WORD版课件P2课本p5坐标变量坐标单位矢量点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐标系

x

yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元

odzdydx25位置矢量面元矢量线元矢量体积元坐标变量坐标单位矢量点P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐标系

x

yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元

odzdydx课本p51.直角坐标系

26坐标变量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系（半平面）（圆柱面）（平面）课本p5坐标单位矢量的关系（1.2.13-15)课本p62.圆柱坐标系不是常矢量，其方向随空间坐标变化坐标单位矢量27坐标变量圆柱坐标系中的矢量运算位置矢量线元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系（半平面）（圆柱面）（平面）课本p5课本p6、72.圆柱坐标系

在增加方向上的微分元是

同各自坐标的微分之比称为度量系数或拉梅系数282.圆柱坐标系坐标变量圆柱坐标系中的矢量运算线元矢量体积元面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系（半平面）（圆柱面）（平面）课本p5课本p7311.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。

例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。

例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，则称为静态场，反之叫做时变场。

为了实现全球导航定位，借助GPS系统，我们可以给出一个载体的空间位置和时间，即定位、授时。确定空间区域上的每一点都有确定的物理量与之对应，则称在该区域上定义了一个场。1标量场和矢量场321.3标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。

例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。

例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。1标量场和矢量场从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：时变标量场和矢量场可分别表示为与时间有关：

静态标量场和矢量场可分别表示为与时间无关：33标量场的等值面

等值面:

标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。等值面方程：常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面互不相交。

等值面的特点：意义:

形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。标量场的等值线(面)曲面“平行”：341.3标量场的梯度标量场描述了场量如：温度场、电位场、高度场等物理量的分布情况。矢量场描述了场量如：流速场、重力场、电场、磁场等物理量的分布情况为了从数学研究标量场在场中任一点沿各个方向的变化，引入方向导数和梯度。

分析标量场沿着任意一个矢量的变化率情形，并考虑复合函数的微分求解办法。352.方向导数意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。概念：

——

u(M)沿方向增加；

——

u(M)沿方向减小；

——

u(M)沿方向无变化。

M0M方向导数的概念

取课本p11——

的方向余弦。为dx/dy/dz所围小体积的对角线361.3标量场的梯度标量场从一个点出发有无穷多个方向标量场在同一个点M处沿不同方向的变化率不同。标量场在某点M出发的某个方向上的变化率最大。特点：方向导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？M0M方向导数的概念

概念：，其中是取得最大值的方向(1.3.5)371.3标量场的梯度M0M方向导数的概念

标量场的梯度：，其中是取得最大值的方向梯度的表达式：直角坐标系

意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向381.3标量场的梯度M0M方向导数的概念

标量场的梯度：，其中是取得最大值的方向意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向P12（1.3.8）：哈密顿Nabla算符，矢性微分算符393.标量场的梯度（或）概念：，其中

取得最大值的方向当方向l与G方向一致时，方向导数最大根据哈密顿Nabla算符，矢性微分算符根据对应40圆柱坐标系

球坐标系3.标量场的梯度（或）(1.3.10)(1.3.11)直角坐标系

41标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度的性质：梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）常数微分常数与函数的函数之和的函数之积的复合函数的42

解

(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为

例1.2.1

设一标量函数(x,y,z)=x2＋y2－z

描述了空间标量场。试求：

(1)该函数在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。

(2)求该函数沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。43表征其方向的单位矢量

(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为cos0=1,cos900=144而该点的梯度值为

显然，梯度描述了P点处标量函数的最大变化率，即最大的方向导数，故恒成立。451.4矢量场的通量与散度

1.矢量线

意义：形象直观地描述了矢量场的空间分布状态。矢量线方程：概念：矢量线是这样的曲线，其上每一点的切线方向代表了该点矢量场的方向。矢量线OM

462.矢量场的通量

问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。

通量的概念其中：——面积元矢量；——面积元的法向单位矢量；——穿过面积元的通量。

如果曲面S是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是面积元矢量符合右手螺旋法则47通过闭合曲面有净的矢量线穿出有净的矢量线进入进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果

闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义闭合曲面内部有正通量源闭合曲面内部有负通量源闭合曲面内部无通量源483.矢量场的散度泰勒公式493.矢量场的散度

为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的散度。

散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。50直角坐标系下散度表达式的推导

由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为令包围P点的微体积V为一直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算zzDxDyDP51直角坐标系下散度表达式的推导

令包围P点的微体积V为一直平行六面体，如图所示。oxy在直角坐标系中计算zzDxDyDP穿出前侧面的净通量值为52直角坐标系下散度表达式的推导

令包围P点的微体积V为一直平行六面体，如图所示。oxy在直角坐标系中计算zzDxDyDP穿出后侧面的净通量值为53直角坐标系下散度表达式的推导

由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为令包围P点的微体积V为一直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算zzDxDyDP54直角坐标系下散度表达式的推导

由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为令包围P点的微体积V为一直平行六面体，如图所示。oxy在直角坐标系中计算zzDxDyDP

穿出前侧面的净通量值为

穿入后侧面的净通量值为55直角坐标系下散度表达式的推导

由此可知，穿出右、左两侧面的净通量值为（参考）令包围P点的微体积V为一直平行六面体，如图所示。则oxy在直角坐标系中计算zzDxDyDP

穿出右侧面的净通量值为（参考）

穿入左侧面的净通量值为（参考）56根据定义，则得到直角坐标系中的散度表达式为

同理，分析穿出另外两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P穿出该六面体的净通量为57圆柱坐标系球坐标系直角坐标系散度的表达式：散度的有关公式：584.散度定理体积的剖分VS1S2en2en1S

从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即

散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。59通过闭合曲面有净的矢量线穿出有净的矢量线进入进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果

闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义闭合曲面内部有正通量源闭合曲面内部有负通量源闭合曲面内部无通量源601.5矢量场的环流与旋度

矢量场的环流与旋涡源

例如：流速场。

不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。61环流的概念

矢量场对于闭合曲线C的环流定义为该矢量对闭合曲线C的线积分，即62

如磁场沿任意闭合曲线的积分与通过闭合曲线所围曲面的电流成正比，即上式建立了磁场的环流与电流的关系。

磁感应线要么不穿过曲面磁感应线要么同时穿入和穿出曲面磁感应线

安培环路定理：磁场强度H沿闭合路径C的环流就是通过以C为边界的有向曲面S的总电流。63

安培环路定理：磁场强度H沿闭合路径C的环流就是通过以C为边界的有向曲面S的总电流。取则上式建立了磁场强度的环流与电流的关系。

磁感应线要么穿过曲面磁感应线要么同时穿入和穿出曲面磁感应线

如环流不为零，则认为场中有产生该矢量的源，这种源不发出矢量线也不汇聚矢量线，它所产生的矢量场的矢量线是闭合曲线，叫做旋涡源。64如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。环流的概念

矢量场对于闭合曲线C的环流定义为该矢量对闭合曲线C的线积分，即如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。65

矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。

2.矢量场的旋度（）

（1）环流面密度称为矢量场在点M处沿方向

的环流面密度。特点：其值与点M处的方向

有关。

过点M

作一微小曲面S，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向与曲线的绕向成右手螺旋法则。当S0时，极限(1.5.2)p2166而

推导

的示意图如图所示。oyDz

DyCMzx1234计算的示意图

直角坐标系中、、的表达式67于是

同理可得故得泰勒公式68于是

同理可得故得概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向，即物理意义：旋涡源密度矢量。性质：（2）矢量场的旋度69概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向，即物理意义：旋涡源密度矢量。性质：（2）矢量场的旋度70旋度的计算公式:

直角坐标系写成行列式形式为（1.2.5)p4（1.2.7)p2371旋度的计算公式:

直角坐标系

圆柱坐标系

球坐标系72旋度的有关公式：矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零733.斯托克斯定理

斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。曲面的剖分方向相反大小相等结果抵消

从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即741.矢量场的源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量场在该点的散度；

旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6无旋场与无散场752.矢量场按源的分类（1）无旋场性质：

，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，无旋场可以用标量场的梯度表示为例如：静电场762.矢量场按源的分类（1）无旋场性质：

，线积分与路径无关，是保守场。仅有散度源而无旋度源的矢量场，无旋场可以用标量场的梯度表示为例如：静电场77（2）无散场仅有旋度源而无散度源的矢量场，即性质：无散场可以表示为另一个矢量场的旋度例如，恒定磁场78（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）79（3）无旋、无散场（源在所讨论的区域之外）（4）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无散场部分80（4）有散、有旋场这样的场可分解为两部分：无旋场部分和无散场部分无旋场部分无散场部分814.散度和旋度的区别

82梯度的表达式：直角坐标系

对于标量场的梯度（或）意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念：，其中

取得最大值的方向标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。1.7拉普拉斯运算与格林定理

标量场的梯度是矢量场，再对求散度，即，则叫做标量场的拉普拉斯运算，记作。831.7拉普拉斯运算与格林定理

1.拉普拉斯运算

标量拉普拉斯运算概念：——拉普拉斯算符直角坐标系计算公式：圆柱坐标系球坐标系84

矢量拉普拉斯运算概念：即注意：对于非直角分量，直角坐标系中：如：852