向量数量积的运算律同步练习

向量数量积的运算律【基础练习】一、单选题1．下面给出的关系式中正确的个数是（）①；②；③；④；⑤.A．1 B．2 C．3 D．42．若是三个任意向量，则下列运算错误的是（）A． B．C． D．3．已知向量满足，则（）A．3 B．4 C．5 D．64．已知向量，为单位向量，若，则向量，的夹角大小为（）A．0 B． C． D．5．已知向量满足，且与的夹角为，则()A． B． C． D．二、填空题6．计算：__________.7．设向量，满足，，则___________8．已知是单位向量，且，若，则与夹角的正弦值是________．三、解答题9．设、满足，，且与的夹角为，求：（1）；（2）；（3）.10．已知平面向量，满足：||＝2，||＝1．（1）若（2）•（）＝1，求▪的值；（2）设向量，的夹角为θ．若存在t∈R，使得，求cosθ的取值范围．【提升练习】一、单选题1．已知向量和的夹角为，且，则（）A． B． C． D．2．若向量，满足，，，则向量，的夹角为（）A． B． C． D．3．已知向量，满足，||=2，且与的夹角为，则||=（）A．2 B．1 C． D．4．已知不共线的两个非零向量，满足，则（）.A． B． C． D．5．如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（）A．4 B． C． D．二、填空题6．设是任意非零向量，且互不共线，给出以下命题：①；②不与垂直；③.其中是真命题的是_________.(填序号)7．如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是．8．若M为所在平面内一点，且满足则的形状为_________.三、解答题9．如图，在四边形中，是边长为的正三角形，设.（1）若，求；（2）若，，求、.10．设两个向量，，满足，.(1)若，求、的夹角；(2)若、夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.答案与解析【基础练习】一、单选题1．下面给出的关系式中正确的个数是（）①；②；③；④；⑤.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①错误，正确的是，向量数乘的结果还是向量.②③正确，根据向量数量积运算可判断得出.④错误，，故⑤错误，.综上所述，正确的个数为，故选B.2．若是三个任意向量，则下列运算错误的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】对A,正确对B,得出的是标量,故结果是与共线的向量,同理得出的是与共线的向量,故不一定正确.对C,向量满足乘法分配律,正确对D,向量满足基本的完全平方差公式,正确故选：B3．已知向量满足，则（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】.故选:4．已知向量，为单位向量，若，则向量，的夹角大小为（）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】设向量，的夹角为，由题得，所以.故选：C5．已知向量满足，且与的夹角为，则()A． B． C． D．【答案】A【解析】解：因为向量满足，且与的夹角为，所以，所以，故选：A.二、填空题6．计算：__________.【答案】0【解析】7．设向量，满足，，则___________【答案】1【解析】依题意得，两式相减得.8．已知是单位向量，且，若，则与夹角的正弦值是________．【答案】【解析】由题得，由向量的夹角公式得与夹角的余弦为，所以夹角的正弦值为.故答案为：三、解答题9．设、满足，，且与的夹角为，求：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由平面向量数量积的定义可得；（2）；（3）由题意得.10．已知平面向量，满足：||＝2，||＝1．（1）若（2）•（）＝1，求▪的值；（2）设向量，的夹角为θ．若存在t∈R，使得，求cosθ的取值范围．【答案】（1）-1（2）cosθ∈[﹣1，]∪[，1]【解析】（1）若（2）•（）＝1，则1，又因为||＝2，||＝1，所以42＝1，所以1；（2）若，则1，又因为||＝2，||＝1，所以t2+2（）t+3＝0，即t2+4tcosθ+3＝0，所以△＝16cos2θ﹣12≥0，解得cosθ或θ，所以cosθ∈[﹣1，]∪[，1].【提升练习】一、单选题1．已知向量和的夹角为，且，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】＝8+3－18＝8+3×2×3×－18＝－1，故选D.2．若向量，满足，，，则向量，的夹角为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，即.故选：C3．已知向量，满足，||=2，且与的夹角为，则||=（）A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】因为向量满足()•()=﹣6，||=2，且与的夹角为，∴()•()||2+||•||•cos6⇒||2+||﹣2=0⇒||=1(负值舍)故选：B.4．已知不共线的两个非零向量，满足，则（）.A． B． C． D．【答案】A【解析】设向量，的夹角为，则由得，∴，∴，化简得，且向量，不共线，∴，∴.故选：A.5．如图，为的外心，为钝角，是边的中点，则的值为（）A．4 B． C． D．【答案】B【解析】外心在上的投影恰好为它们的中点，分别设为，所以在上的投影为，而恰好为中点，故考虑，所以二、填空题6．设是任意非零向量，且互不共线，给出以下命题：①；②不与垂直；③.其中是真命题的是_________.(填序号)【答案】③【解析】表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，而不共线，所以①错误；由知与垂直，故②错误；，向量的乘法运算符合多项式乘法法则，所以③正确.所以真命题的序号是③.故答案为：③7．如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是．【答案】．【解析】8．若M为所在平面内一点，且满足则的形状为_________.【答案】等腰三角形【解析】由,可得.又因为,所以.即,由此可得是等腰三角形.故答案为:等腰三角形.三、解答题9．如图，在四边形中，是边长为的正三角形，设.（1）若，求；（2）若，，求、.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）当时，，由题意可得，，因此，；（2），，所以，解得，.10．设两个向量，，满足，.(1)若，求、的夹角；(2)若、夹角为，向量与