同角三角函数的基本关系式同步设计

同角三角函数的基本关系式【教学重点】理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导和简单应用会利用同角三角函数基本关系式进行求角的三角函数值、化简、证明【教学重点】同角三角函数基本关系式的推导、利用同角三角函数基本关系式进行求值、化简、证明【教学难点】求值过程中角度范围问题，恒等式证明的不同角度、化简，恒等式的变形【教学过程】引入：我们已经知道，如果是终边上不同于坐标原点的点，记，则：由此可以看出：以上两个关系式叫做同角三角函数的基本关系式。思考1：对于平方关系可作哪些变形？（1）（2）（3）思考2：对于商数关系可作哪些变形？思考3：结合平方关系和上述关系，可以得到哪些恒等式？【对点快练】1．已知sinα＝eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则tanα的值是()A．－eq\f(3,4) B．－eq\f(4,3)C．eq\f(3,4) D．eq\f(4,3)答案：B因为sinα＝eq\f(4,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cosα＝－eq\f(3,5)，tanα＝－eq\f(4,3).2．下列四个命题中可能成立的一个是()A．sinα＝eq\f(1,2)且cosα＝eq\f(1,2)B．sinα＝0且cosα＝－1C．tanα＝1且cosα＝－1D．tanα＝eq\f(－sinα,cosα)(α为第二象限角)答案：B选项A不符合sin2α＋cos2α＝1，B符合sin2α＋cos2α＝1，又由tanα＝eq\f(sinα,cosα)知D不正确，C也不可能正确．例1.已知，且是第二象限角，求角的余弦和正切。解：由，得，所以因为是第二象限角，，所以。例2.已知，且是第二象限角，求角的正弦和余弦。解：由题意和同角三角函数的基本关系式，有由（2）得，代入（1）整理得，因为是第二象限角，所以，代入（2）式得例3.已知，求的值。解：由题意和同角三角函数的基本关系式，有消去，得，解得或当时，可得，此时当，可得，此时【变式练习】(1)已知cosα＝－eq\f(8,17)，求sinα，tanα的值；(2)已知sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，a∈(0，π)，求tanα的值．(3)已知tanα＝eq\f(2,3)，且α是第三象限的角，求sinα，cosα的值．解(1)当α是第二象限角时，sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,17)))2)＝eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(\f(15,17),－\f(8,17))＝－eq\f(15,8).当α是第三象限角时，sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(15,17)，tanα＝eq\f(15,8).综上所述：当α是第二象限角时，sinα＝eq\f(15,17)，tanα＝－eq\f(15,8).当α是第三象限角时，sinα＝－eq\f(15,17)tanα＝eq\f(15,8).(2)因为sinα＋cosα＝eq\f(7,13)，①所以sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝eq\f(49,169).即2sinαcosα＝－eq\f(120,169).因为α∈(0，π)，所以sinα>0，cosα<0.所以sinα－cosα＝eq\r(sinα－cosα2)＝eq\r(1－2sinαcosα)＝eq\f(17,13).②由①②解得sinα＝eq\f(12,13)，cosα＝－eq\f(5,13).所以tanα＝－eq\f(12,5).(3)解因为tanα＝eq\f(2,3)，所以eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(2,3)，即sinα＝eq\f(2,3)cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)cosα))2＋cos2α＝1，则cos2α＝eq\f(9,13)，又因为α是第三象限的角，所以cosα＝－eq\f(3\r(13),13)，则sinα＝－eq\f(2\r(13),13).所以sinα＝－eq\f(2\r(13),13)，cosα＝－eq\f(3\r(13),13).例4.化简解：原式【变式练习】(1)化简：sin2α＋sin2β－sin2αsin2β＋cos2αcos2β＝____________.(2)若0<θ<eq\f(π,2)，化简eq\f(sinθ,1－cosθ)·eq\r(\f(tanθ－sinθ,tanθ＋sinθ)).(3)若角α是第二象限角，化简：tanαeq\r(\f(1,sin2α)－1).解：(1)1原式＝sin2α(1－sin2β)＋sin2β＋cos2αcos2β＝sin2αcos2β＋cos2αcos2β＋sin2β＝(sin2α＋cos2α)cos2β＋sin2β＝1.(2)原式＝eq\f(sinθ,1－cosθ)·eq\r(\f(tanθ－tanθ·cosθ,tanθ＋tanθ·cosθ))＝eq\f(sinθ,1－cosθ)·eq\r(\f(1－cosθ,1＋cosθ))＝eq\f(sinθ,1－cosθ)·eq\r(\f(1－cosθ2,1－cos2θ))又0<θ<eq\f(π,2)，∴sinθ>0,0<cosθ<1，故原式＝eq\f(sinθ,1－cosθ)·eq\f(1－cosθ,\r(sin2θ))＝eq\f(sinθ,sinθ)＝1.（3）原式＝tanαeq\r(\f(1－sin2α,sin2α))＝tanαeq\r(\f(cos2α,sin2α))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cosα,sinα)))，因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以原式＝eq\f(sinα,cosα)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cosα,sinα)))＝eq\f(sinα,cosα)·eq\f(－cosα,sinα)＝－1.例5.求证（1）（2）（2）证明：（1）原式左边=右边因此：（2）原式右边左边因此（3）（方法一）因为所以（方法二）由题知，因而，即，从而原式左边右边因此注：从例5可以看出，证明一个三角恒等式，可以从它的任意一边开始，推出它等于另一边；也可以用作差法，证明等式两边之差等于零；还可以先证得另一个等式成立，并由此推出需要证明的等式成立。【变式练习】求证：2(1－sinα)(1＋cosα)＝(1－sinα＋cosα)2.证明左边＝2(1－sinα)(1＋cosα)＝2(1＋cosα－sinα－sinαcosα)，右边＝(1－sinα＋cosα)2＝(1－sinα)2＋2(1－sinα)cosα＋cos2α＝1－2sinα＋sin2α＋2cosα－2sinαcosα＋cos2α＝2(1＋cosα－sinα－sinαcosα)，因为左边＝右边，所以原等式成立．例6.已知eq\f(sinα－3cosα,3sinα＋5cosα)＝－eq\f(1,11)，求下列各式的值：(1)tanα；(2)eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)；(3)sin2α－2cos2α.解(1)显然cosα≠0，eq\f(sinα－3cosα,3sinα＋5cosα)＝eq\f(tanα－3,3tanα＋5)，即eq\f(tanα－3,3tanα＋5)＝－eq\f(1,11)，解得tanα＝2.(2)∵tanα＝2，cosα≠0，∴eq\f(3sinα－cosα,2sinα＋3cosα)＝eq\f(3tanα－1,2tanα＋3)＝eq\f(3×2－1,2×2＋3)＝eq\f(5,7).(3)∵tanα＝2，cosα≠0，∴原式＝eq\f(sin2α－2cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－2,tan2α＋1)＝eq\f(22－2,22＋1)＝eq\f(2,5).【变式练习】(1)已知tanα＝－eq\f(1,2)，则eq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)的值是()A．eq\f(1,3) B．3C．－eq\f(1,3) D．－3答案：Ceq\f(1＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(sin2α＋cos2α＋2sinαcosα,sin2α－cos2α)＝eq\f(sinα＋cosα2,sin2α－cos2α)＝eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝eq\f(－\f(1,2)＋1,－\f(1,2)－1)＝－eq\f(1,3).(2)若eq\f(sinα－2cosα,3sinα＋5cosα)＝－5，则tanα的值为()A．－2 B．2C．eq\f(23,16) D．－eq\f(23,16)答案：D由eq\f(sinα－2cosα,3sinα＋5cosα)＝eq\f(tanα－2,3tanα＋5)＝－5，所以tanα－2＝－15tanα－25，得tanα＝－eq\f(23,16).课堂总结：1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出