计算动力学第二章

§2.1相平面的基本概念§2.2奇点与极限环§2.3相平面分析第2章相平面法1§2.1相平面的基本概念

相平面法由庞加莱1885年首先提出。该方法通过图解法将一阶和二阶系统的运动过程转化为位置和速度平面上的相轨迹，从而比较直观、准确地反映系统的稳定性、平衡状态和稳态精度以及初始条件及参数对系统运动的影响。

2相平面法概述

相平面法是一种求解一、二阶常微分方程的图解法,即二维状态空间法。这种方法的实质是将系统的运动过程形象地转化为相平面上一个点的移动,通过研究这个点移动的轨迹,就能获得系统运动规律的全部信息.3相平面法的基本概念式中,是的线性或非线性函数.设二阶系统的常微分方程如下：

由微分方程的理论可知，只要

是解析的，那么在给定的初始条件下，方程的解是唯一的。这个唯一的解可以写成时间解的形式——x(t),也可以写成以t为参变量的形式，用来表示。tx(t)x4相轨迹1.相轨迹：如果我们取x和作为平面的直角坐标，则系统在每一时刻的均相应于平面上的一点。当t变化时，这一点在

平面上将绘出一条相应的轨迹-----相轨迹。它描述系统的运动过程。5相轨迹二阶系统微分方程：两个独立变量： 位置量 速度量 构成相平面 为相变量。给定初始条件相变量 在相平面上的运动坐标轨迹称为相轨迹。

6相平面2.相平面:

平面称为相平面。对于一个系统，初始条件不同时，其方程的解也不同。因而针对不同的初始条件，可以绘出不同的相轨迹。若以各种可能的状态作为初始条件，则可得到一组相轨迹族。7相平面图3.相平面图：相平面及其上的相轨迹族组成的图形称为系统的相平面图。它表示系统在各种初始条件下的运动过程。8相轨迹的斜率方程设二阶系统的方程为：改写为：两边除以可得：----相轨迹的斜率方程9等倾线等倾线：在相平面中，相轨迹斜率相等的点的连线,即等倾线应满足方程：由前述可知，相轨迹的斜率方程为：

则等倾线方程为：10等倾线可见，等倾线为过原点、斜率为的直线。11等倾线注意：两等倾线之间用其平均值来表示相轨迹。若给定系统参数：=0.5,=1.取不同的值，求得等倾线如右图所示：若给定初始条件为A,则可作出相轨迹为ABCDE.....等倾线和相轨迹=-1.4=-1.6=-2=-3=1=2ABCDEx0=-1=∞=0则等倾线为：12所有通过等倾线的相轨迹都有相同的斜率13普通点

这样的点称为普通点。通过普通点的相轨迹只有一条。（即相轨迹曲线不会在普通点相交）

由相轨迹的斜率方程可知,相平面上的点只要不同时满足,则该点相轨迹的斜率是唯一确定的。

14奇点

若相平面中的某点，同时满足,则该点相轨迹的斜率,为不定值，这类特殊点称为奇点。通过奇点的相轨迹不止一条，它是相轨迹曲线的交点。二阶线性系统：奇点是唯一的，位于原点。二阶非线性系统：奇点可能不止一个。15相平面分析方法

由于相平面图表示了系统在各种初始条件下的运动过程，因而，只要绘出了系统的相平面图，就可以用它来分析：3）稳态误差。1）系统的稳定性；2）瞬态响应性能；16例题例2-1.设系统的微分方程为：

图中的箭头表示系统的状态沿相轨迹的移动方向。

其相平面图如右图所示相平面图1x0pDABCE17例题

（1）在各种初始条件下（任意一条相轨迹），系统都趋向原点（0,0）,说明原点是系统的平衡点，系统是稳定的。由图可知：

可将其状态转化为转化为时间响应曲线x(t)来验证如图所示

（2）如果初始条件为：x(0)=1，。则相应的相轨迹为ABCDE0。系统的瞬态响应为阻尼振荡形式，最大超调量为p，稳态误差为零。10x(t)tABCDE时间响应曲线18§2.2奇点与极限环由前述可知，奇点是相平面中斜率不确定的点，即有多条相轨迹以不同的斜率通过或逼近该点。

所以奇点是平衡点。奇点及临近的相轨迹反映了系统的稳定性问题。一、奇点19奇点邻域的运动性质奇点邻域的运动性质由于在奇点上，相轨迹的斜率不定，所以可以引出无穷条相轨迹。相轨迹在奇点邻域的运动可以分为1.趋向于奇点2.远离奇点3.包围奇点

20非线性系统奇点非线性系统的方程相平面上孤立奇点的位置可以从下列方程21非线性系统奇点在原点处，展成台劳级数22非线性系统奇点用矩阵表示其中23非线性系统奇点采用变换[b]为[a]的复模态矩阵，得到24结点如果特征值1和2为两个不同的实根且同号，对应于此种情况的奇点称为结点。稳定结点25鞍点如果特征值1和2为两个不同的实根且异号，对应于此种情况的奇点称为鞍点。26焦点如果特征值1和2为共轭复数，对应于此种情况的奇点称为焦点。稳定焦点27中心如果特征值1和2为共轭虚数，对应于此种情况的奇点称为中心。中心28极限环相平面内的封闭轨线是对系统周期运动的定性描述。稳定的中心周围密集的封闭轨线对应于单自由度保守系统的自由振动，振幅取决于初始条件。孤立的封闭轨线称作极限环，振幅取决于系统参数。极限环稳定性的几何解释29稳定极限环特点:极限环内外的相轨迹都卷向极限环,自振荡是稳定的.环内:不稳定区域,相轨迹发散环外:稳定区域,相轨迹收敛稳定极限环0x(t)t030不稳定极限环特点:极限环内外的相轨迹都卷离极限环环内:稳定区域,相轨迹收敛环外:不稳定区域,相轨迹发散这种系统是小范围稳定,大范围不稳定.设计时应尽量增大稳定区域(即增大极限环).不稳定极限环x(t)t0031半稳定的极限环环内,环外都不稳定.

具有这种极限环的系统是不会产生自振荡的,系统的状态最终是发散的。a)半稳定的极限环0x(t)t032半稳定的极限环

环内,环外都是稳定的.具有这种极限环的系统也不会产生自振荡的,系统的状态最终是趋向于环内的稳定奇点。.b)半稳定的极限环0x(t)t033§2.3相平面分析

对于非线性系统来说，相平面分析法的步骤为：（1）写出一阶微分方程；（2）求出奇点位置；（3）画出相轨迹。34单摆例题例2-2无阻尼单摆的自由振荡摆锤质量为m的单摆的运动方程为(1)35单摆例题令得(2)36单摆例题当很小时，平衡点两个：（0，0）和（，0）1.在（0，0）处37单摆例题特征值为共轭虚根，奇点为中心38单摆例题2.在（，0）处39单摆例题特征值为实数且符号相反，奇点为鞍点40单摆例题由式(2)中的两式相除．并消去t，则可得：再将式(5)改写为(3)积分上式，可得：(4)(5)41单摆例题式中h是一个积分常数，它正比于系统的总能量，可由初始条件来确定其值。(6)42自激振动例题例2-3范得波（VanderPol）方程范得波方程存在着和起始条件无关的定常解，称为自激振动系统。43自激振动例题将它化为两个一阶方程上面两式相除，则得相迹的微分方程为它有唯一的奇点(0，0)。44自激振动例题其一次近似系统显然有45自激振动例题其特征值为当ε＞2时,平衡点(0，0)为不稳定结点。46自激振动例题当ε<2时,平衡点(0，0)为不稳定焦点。当ε=2时,平衡点(0，0)为不稳定退化结点。由此可知，不论ε为何值；平衡点(0，0)都是不稳定的，且相迹均以平衡点为渐近点，而相点沿相迹的运动总是背离平衡点的。47