第5章- 时变电磁场和平面电磁波

1第5章时变电磁场和平面电磁波

Time-VaryingFieldsandPlaneEMWaves

·

日常遇到的电磁场问题大多数是时变电磁场问题;·最常见的是随时间按正弦（或余弦）规律作简谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场;·

在空间，时谐电磁场的能量以电磁波形式传播;上海电台“990新闻”：用频率为990KHz的电磁波传送；上海电台“动感101”：用频率为101.7MHz的电磁波传送.例：2本章内容2、平面电磁波在不同媒质中传播特性的分析。1、时谐电磁场的复数表示和复数形式的场方程及能量关系。第5章时变电磁场和平面电磁波3§5.1时谐电磁场的复数表示

ComplexRepresentationofTime-HarmonicFields

一、复数·

定义（1）·复数的共轭·共轭复数的运算（2）由(1)+(2),由(1)-(2),4复振幅二、复矢量§5.1时谐电磁场的复数表示称为复振幅或相量5复振幅的求导运算因此

对时间的微分可化为对复振幅乘以的代数运算

比较：c)b)是实数，既是空间坐标的函数，又是时间t的函数，即

a)是复数，仅仅是空间坐标的函数,即；§5.1时谐电磁场的复数表示6·复矢量§5.1时谐电磁场的复数表示7例1（1）（2）将下列场矢量的瞬时值变换为复矢量，或作相反变换：

[解]（1）故(2)§5.1时谐电磁场的复数表示8§5.2复数形式Maxwell方程组

ComplexMaxwell’sEquations

本节介绍Maxwell方程组的复数形式，以及本构关系和边界条件的复数形式。时谐电磁场的应用非常广泛。同时，由傅里叶变换知，任何周期性或非周期性的时变电磁场都可看成是许多具有不同频率的时谐电磁场的叠加或积分。因此，研究时谐电磁场是研究一切时变电磁场的基础。9一、复数形式Maxwell方程组的导出(b)(c)(d)电荷连续性方程：(e)故(a)§5.2复数形式Maxwell方程组10二、本构关系和边界条件复数形式限定形式复Maxwell方程组§5.2复数形式Maxwell方程组11复矢量边界条件齐次复矢量波动方程(无源区:)同理,§5.2复数形式Maxwell方程组12例1[解]设自由空间某点电磁场的电场强度为求（a）电场强度复矢量（b）磁场强度§5.2复数形式Maxwell方程组13[解]（a）例2某卫星地面站在空中某点形成频率为5GHz的时谐电磁场，其磁场强度复矢量为求：(a)磁场强度瞬时值

(b)电场强度瞬时值§5.2复数形式Maxwell方程组14（b）在无源区内§5.2复数形式Maxwell方程组15§5.3复坡印廷矢量和复坡印廷定理

ComplexPoyntingVectorandTheorem

电磁场是具有能量的，Poynting定理是时变电磁场中能量守恒定律的表达形式。复坡印廷矢量和复坡印廷定理如何表达？16一、复坡印廷矢量坡印廷矢量代表瞬时电磁功率流密度。故(a)复坡印廷矢量的瞬时值§5.3复坡印廷矢量和复坡印廷定理17定义(5.3-2)为复坡印廷矢量,其实部为平均功率流密度，即有功功率密度。它在一个周期内的平均值：(b)坡印廷矢量的平均值§5.3复坡印廷矢量和复坡印廷定理18·直接将与相乘，其实部代表电磁功率流密度瞬时值与平均值之差，一个周期内的平均值为0。·定义式中因子“1/2”是因为平均功率密度在数值上等于,

这里E、H都代表振幅最大值,而不是有效值·坡印廷矢量的瞬时值与平均值之差是其交变分量：§5.3复坡印廷矢量和复坡印廷定理因此定义式对应与相乘19二、复坡印廷定理复坡印廷矢量的散度将复数形式麦氏方程代入，得到上式表示了作为点函数的功率密度关系。对其两端取体积分，得到积分形式——用复矢量表示的复坡印廷定理§5.3复坡印廷矢量和复坡印廷定理20无功功率的平衡：输入封闭面的无功功率等于体积中电磁场储能的最大时间变化率。虚部:注:

代表单位体积中电磁场储能的最大时间变化率。证明见P.142有功功率的平衡：输入封闭面的有功功率等于体积中热损耗功率的平均值。取其实部得§5.3复坡印廷矢量和复坡印廷定理21例

5.3-1

[解](a)§5.3复坡印廷矢量和复坡印廷定理两无限大理想导体平行板相距d，坐标如图6.3-1所示。在平行板间存在时谐电磁场，其电场强度为求：(a)磁场强度；

(b)坡印廷矢量及平均功率流密度；

(c)y=0导体板内表面的面电流分布；图5.3-1平行板波导由知，

22(c)x=d板：

（b）§5.3复坡印廷矢量和复坡印廷定理此平行板间电磁场有实功率沿z向传输

平行板起了引导电磁波功率的作用，故称之为平行板波导。23§5.4理想介质中的平面波

PlaneWavesinLosslessMedia

一、平面波的电磁场a)电场强度复矢量的齐次波动方程的解电场强度复矢量的齐次波动方程：设只沿z向变化，而与x，y无关：齐次波动方程简化为它的解为：对应的瞬时值为：从本节起，对复数不再打点，复振幅

仍写为，复矢量仍写为

。24第一项，令

，这个波波形图：图5.4－1电磁波的瞬时波形当t增加时，只要=const，其值是相同的。如，相应地，这两点处场的总相位不变，从而。说明随着t的增加，Z0处的状态沿+z方向移动到Z1，故波沿+z方向传播。正向行波：§5.4理想介质中的平面波解的第二项

的相位随着z的增加而逐渐引前，代表向-z方向行波。反向行波：25§5.4理想介质中的平面波26§5.4理想介质中的平面波27b)正向行波的传播参数电场复振幅：电场瞬时值：2.相位：是时间相位，kz为空间相位3.等相面（波前或波面）：4.波长λ

：空间相位kz变化2π所经过的距离,也叫相位波长。1.振幅：

是z=0处电场强度的振幅空间相位相同的场点组成的曲面，即z=const的平面。在同一时刻，波面上各点的场强相等。这种在波面上场强均匀分布的平面波称为均匀平面波。§5.4理想介质中的平面波285.波数k：所以：考察等相面上的一个特定的点，这样的点满足

，两边微分得到：※电磁波在真空中的相速：空间相位变化相当于一个全波，因而k表示单位长度内所具有的全波数目。故相速为：因为：等相面（波前）传播的速度。6.相速

：电磁波在真空中的相速等于真空中的光速。※在其它介质中：，因此，称为慢波。介质中的波长§5.4理想介质中的平面波29c)磁场强度复矢量和波阻抗式中：只与媒质的介电常数和磁导率有关，称为媒质的波阻抗。在真空中：§5.4理想介质中的平面波30二、平面波的传播特性均匀平面波的电场和磁场复矢量：因此，无源区Maxwell方程组化为：对此特定的场有§5.4理想介质中的平面波(a)(b)(c)(d)312）相位：电场

和磁场处处同相，二者振幅之比是媒质的波阻抗(实数)。从这组方程，可以得出以下一些结论：某一时刻和沿z轴的变化

(和相互垂直，同相)1）方向：电场和磁场相互垂直，且和均与传播方向相互垂直，都无纵向分量，是横波，称为横电磁波(TEM波)。§5.4理想介质中的平面波32没有虚部，说明均匀平面波沿传播方向传输实功率，且沿途无衰减（无损耗）。xz平面上的瞬时和(垂直于和，并指向传播方向)3)复坡印廷矢量：§5.4理想介质中的平面波33瞬时磁能密度：∵∴任意时刻瞬时电能密度与瞬时磁能密度相等，各为总电磁能密度的一半

4)瞬时电能密度：§5.4理想介质中的平面波34总电磁能密度的平均值：因此：结论：均匀平面波的能量传播速度等于相速。电磁波是电磁能量的携带者。5）均匀平面波的能量传播速度§5.4理想介质中的平面波35

“平面波”是一个理想化的简化模型。“一切科学的（正确的、郑重的、非瞎说的）抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。”日常所用的电视或通信接收天线都可以把到达的来波看成是均匀平面波。

§5.4理想介质中的平面波36例5.4-1[解]

(a)已知等效全向辐射功率36dBW，首先化为W的单位：所谓“等效全向辐射功率”就是假定等效于信号是向各方均匀辐射的，得接收点的功率密度为：我国实用通信卫星（CHINASAT-1）(DFH-2A)转播的中央电视台第二套节目中心频率为3.928GHz，它在我国上海的等效全向辐射功率（EIRP）为P=36dBW.求：（a）上海地面站接收的功率流密度，设它离卫星r=37900km;(b)求地面站处电场强度和磁场强度振幅，并以自选的坐标写出其瞬时值表示式；（c）若中央台北京发射站离卫星381700km，则接收信号比中央台至少延迟多久？故图5.4－4卫星电视广播线路

§5.4理想介质中的平面波37(b)得比规定的本地电视台播发的场强值()小得多。(c)延迟时间瞬时值：当在上海电视屏幕上见到央视时钟秒针跳到新年零点时，上海其实已步入新年约1/4秒了。

式中§5.4理想介质中的平面波38三、平面波电磁波谱Maxwell方程对电磁波的频率没有限制;

电磁波谱分为无线电波、红外线、可见光、紫外线、x射线，γ射线等(见图5.4-5);

这些波都是横波，在自由空间都以光速传播。但是无线电波呈现明显的波动性，而光波和更短波长的电磁波则呈现粒子性。

电磁波谱是有限的资源。图5.4-5电磁波谱§5.4理想介质中的平面波39§5.5导电媒质中的平面波

PlaneWavesinConductingMedia

一、导电媒质的分类导电媒质是

的媒质，它是有耗媒质。电磁波在导电媒质中传播时，将出现传导电流。在无源区，Maxwell第二方程(b)为称为等效复介电常数。引入等效复介电常数后，导电媒质可以看作等效的介质，只是的虚部取决于导电媒质中传导电流密度振幅与位移电流密度振幅的比值：

图5.5-1几种媒质的与频率的关系（对数坐标）401)（电）介质：2)不良导体：3)良导体：§5.5导电媒质中的平面波按照

的大小，把导电媒质分为三类41二、平面波在导电媒质中的传播特性a)导电媒质中波动方程的解在无源区,设时谐电场复矢量为对+z方向传播的波，其解为从麦氏方程得到磁场复矢量为是复传播常数，它可以写成实部和虚部之和：称为相位常数，

称为衰减常数。故电场复矢量：其瞬时值为§5.5导电媒质中的平面波42b)传播参数1)衰减量

场强振幅随z的增加按指数不断衰减（电磁能量变为热能损耗），衰减量可用场量衰减值的自然对数来计量，记为奈比(Np)。在工程上常用分贝dB来计算衰减量，其定义为：衰减系数

的单位Np/m，或者dB/m§5.5导电媒质中的平面波432)相速

场的相位随z的增加按滞后，即波向+z方向传播。波的相速为：※导电媒质中波的相速比μ、ε相同的理想介质中的慢，且σ越大，相速越慢。※相速还与频率有关，携带信号的电磁波，其不同的频率分量将以不同的相速传播，经过一段距离后，信号的相位将发生变化，从而导致信号失真。这种现象称为色散。§5.5导电媒质中的平面波※因此导电媒质是色散媒质。44导电媒质的波阻抗：3)波阻抗得波阻抗具有感性相角。电场相位比磁场相位引前，二者不再同相。§5.5导电媒质中的平面波454)磁场强度矢量磁场强度的相位比电场强度的相位滞后

，越大，滞后越多磁场强度的振幅随z的增加，按指数衰减电场强度和磁场强度相互垂直，都分别垂直于传播方向导电媒质中的电磁波也是横电磁波§5.5导电媒质中的平面波46导电媒质中平面电磁波瞬时图图5.5－2导电媒质中平面电磁波瞬时图形§5.5导电媒质中的平面波47复坡印廷矢量：平均功率流密度：瞬时坡印廷矢量：5)功率流密度§5.5导电媒质中的平面波486）电磁能电磁场储能在一周内的平均值：电能平均值：磁能平均值：∵

∴

所以，导电媒质中平均磁能密度比平均电能密度大。这是由于传导电流激发了附加磁场。§5.5导电媒质中的平面波49电磁能传播速度总平均储能密度：

导电媒质中均匀平面波的能量传播速度等于相速。§5.5导电媒质中的平面波50由于低损耗介质

，将其传播常数按照泰勒级数展开，只取前两项得相位常数：衰减常数：波阻抗：

可见，平面波在低损耗介质中的传播特性，除了由微弱的损耗导致的衰减外，与理想介质中几乎相同。c)平面波在低损耗介质中的传播特性§5.5导电媒质中的平面波51d)小结z§5.5导电媒质中的平面波52三、平面波在良导体中的传播特性，集肤深度和表面电阻a)传播常数对于良导体：如大多数金属，在无线电频段上，传导电流密度远大于位移电流密度相位常数和衰减常数为：1)§5.5导电媒质中的平面波533)相速与频率的平方根成正比。2)波阻抗§5.5导电媒质中的平面波54比平面电磁波在真空中的相速小得多。波长：比真空中的波长(3m)小得多。波阻抗：可见波阻抗

，因此例：频率为f=100MHz的平面波在金属铜中传播。相速:§5.5导电媒质中的平面波55良导体中平面波的电场强度：平面波的磁场强度：b)电磁场分量和功率流密度复功率流密度有虚部：在z=0即导体表面处的平均功率流密度为：它代表导体表面单位面积所吸收的平均功率，也是单位面积导体内传导电流的热损耗功率：（证见教材）即传入导体的电磁波实功率全部转化为热损耗功率。§5.5导电媒质中的平面波56

每单位长度的减小量应等于单位长度内的热损耗功率：得即与前同。根据该热损耗功率可确定衰减常数：§5.5导电媒质中的平面波57集肤效应：高频电磁波只能存在于导体表面的一个薄层内的现象。电磁波场强振幅衰减到表面处的深度，称为集肤深度。由得集肤深度：（m）对于高频电磁波，集肤深度一般在微米量级，因此，电磁波进入良导体后会很快衰减到很小，从而使薄金属有很好的屏蔽作用；用作导电涂层，也只需几微米。c)集肤深度（穿透深度）导电性能越好(

越大)，电磁波的频率越高，衰减得越快。图5.5-3场强或电流密度振幅在导体内的分布

§5.5导电媒质中的平面波58导体的表面阻抗：导体表面处切向电场与切向磁场之比导体的表面阻抗等于其波阻抗。

上式表明，表面电阻相当于单位长度、单位宽度、厚度为

的导体块的直流电阻。d)表面电阻通过表面电阻的损耗功率（密度）:表面电阻和表面电抗：§5.5导电媒质中的平面波59例6.5.2首先求

的值，判断其是良导体还是不良导体，然后才能用不同公式求深度。(1)f=3kHz：，此时海水为良导体，因此[解]海水，，。频率为3kHz和30MHz的电磁波在海平面处电场强度为1V/m。(1)求电场衰减到处的深度。应选择哪个频率作潜水艇的水下通信？(2)求3kHz的电磁波从海平面下侧向海水中传播的平均功率流密度。§5.5导电媒质中的平面波60，此时海水为不良导体可见，由于30MHz衰减太大，应选低频3kHz的电磁波。(2)平均功率流密度：f=30MHz：§5.5导电媒质中的平面波61例5.5－3(a)由于牛排为不良导体，因此图5.5-5简易型微波炉

[解]在8mm处电场与表面处电场关系可见，微波能对食品的内部进行加热。(b)发泡聚苯乙烯是低损耗介质，其集肤深度可见其集肤深度很大，微波在其中传播损耗很小，该材料对微波“透明”，所以不会被烧坏。微波炉利用磁控管输出的2.5GHz微波加热食品。在该频率上，牛排的等效介电常数为，

(a)求微波传入牛排的集肤深度及在牛排内8mm处的微波场强是表面的百分之几？

(b)微波炉中盛牛排的盘子用发泡聚苯乙烯制成,

说明为何用微波加热时牛排被烧熟而盘子并不会烧掉。§5.5导电媒质中的平面波62*四.电磁波对人体的热效应

·电磁波对人体的热效应是有耗的人体组织媒质吸收电磁波能量的结果。·单位体积的吸收功率为·人体实际吸收的射频功率用比吸收率SAR（SpecificAbsorptionRate）来定量表示。它定义为每单位质量的吸收功率：——材料的比重（kg/m3）

·国际上对一般公众的电磁照射限量为

·可见，对体重50Kg的人，不能超过§5.5导电媒质中的平面波63§5.5导电媒质中的平面波应用地区国际欧洲美国频率范围100KHz-10GHz100KHz-6GHz平均SAR（全身）0.08W/kg0.08W/kg0.08W/kg局部SAR及平均质量2W/kg100g(连续组织)2W/kg10g（立方体）6W/kg1g（立方体）表5.5-7一般公众电磁照射限量的普通标准64*§5.6等离子体中的平面波

PlaneWavesinPlasma一.等离子体的等效介电常数

等离子体（Plasma）是被电离的气体，含有正离子和带负电的自由电子。其正、负电荷总量相等。(例：地球上空的电离层,参看图6.3-2)当电磁波通过等离子体：1)有位移电流

；

2)电子运动形成运流电流：——电子平均速度e——电子电量N——单位体积中的电子数取决于电磁波的电场作用力：故65§5.6等离子体中的平面波等离子体中全电流：可见，等离子体可看作是一种导电媒质，其相对介电常数为——等离子体频率

例：白天电离层66二.平面波在等离子体中的传播特性

——无衰减地传播——相速大于光速图5.6-1等离子体中电磁波的相速和能速(1)§5.6等离子体中的平面波67(2)——不发生传播

(3)只有的电磁波才能通过等离子体。宇宙通信频率需高于9MHz

。结论：注：以上为简化分析，忽略了地球磁场的影响和电子碰撞引起的损耗。——场沿z向按指数衰减，无传播§5.6等离子体中的平面波68

根据矢量E的端点的轨迹形状，把电磁波的极化分为3种：线极化、圆极化和椭圆极化。§5.7电磁波的极化PolarizationofPlaneWaves

电场强度的方向随时间变化的方式称为电磁波的极化(在光学中称之为偏振)。讨论平面波的传播特性时，假设电磁波的场强方向与时间无关。实际上，平面电磁波在传播过程中，其方向有可能变化，即随时间按一定规律变化。（a）线极化(b)圆极化(c)椭圆极化图5.7-1三种极化波的电场矢量端点轨迹69一、线极化考察沿z向传播的平面波，电场矢量位于xy平面上，电场矢量瞬时值一般表示：式中x和y向的幅度可能不同，分别用E1和E2表示，频率和波数应该相同，初相位可能不同，它们之间相位差用

表示，所以：为了确定的端点轨迹，消去

（5.7－1）§5.7电磁波的极化701）当

这是斜率为（E2/E1）的直线，E(t)方向与x轴的夹角与时间无关：2）当这是斜率为（-E2/E1）的直线，E(t)方向与x轴的夹角与时间无关：我们把

和

的情形（E(t)的轨迹是一条直线）称为线极化LP(linearpolarization)。§5.7电磁波的极化71当对于给定z值的某点，随时间t的增加，E(t)的方向以角频率ω作等速旋转，E(t)矢量端点的轨迹是圆，因此称为圆极化CP（CircularPolarization）。二、圆极化由式(5.7-1)得这是圆心在（0，0），半径为

的圆，如图5.7-1(b)。E(t)的大小不随时间变化，方向沿圆周变化。E(t)与x轴的夹角为：§5.7电磁波的极化721）当

,上式取“-”值，E(t)的旋向与波的传播方向z成左手螺旋关系，称为左旋圆极化LHCP2）当,上式取“+”值，E(t)的旋向与波的传播方向z成右手螺旋关系，称为右旋圆极化RHCP§5.7电磁波的极化两个相位相差π/2，振幅相等的空间上正交的线极化波，可合成一个圆极化波；反之，一个圆极化波可分解为两个相位相差π/2，振幅相等的空间上正交的线极化波。

复数表示：

圆极化波电场复矢量：圆极化波旋向的判断：图5.7-3

瞬时电场矢量

沿传播方向的变化§5.7电磁波的极化1.

向相位落后的分量方向转；2.以大拇指为传播方向，判断：按左手转LHCP

按右手转RHCP74动画：三维左旋圆极化§5.7电磁波的极化75

一般情况，相差

任意，振幅不相等：有三、椭圆极化1）场强轨迹消去：即§5.7电磁波的极化76这是椭圆方程的一般形式，因此合成的电场矢量的端点轨迹是一个椭圆，故称为椭圆极化，记作EP(EllipticalPolarization)，如图5.7－1(c)。整理得：将坐标系旋转角，可以将椭圆方程化为最简形式：轴比和旋向及倾角，是描述椭圆极化的3个特征量。在已知直角坐标分量的情况下，可以求出这三个特征量。

极化椭圆长轴对x轴的夹角(新坐标系所旋转的角度)，称为极