构件的强度与刚度讲解

《机械设计基础》

—构件的强度与刚度

段齐骏南京理工大学设计艺术系2构件的强度与刚度2.1构件材料的要求与假设2.2构件的基本变形形式2.3拉伸与压缩★2.4剪切与挤压2.5圆轴的扭转2.6梁的平面弯曲2.7组合变形的强度计算2.1构件材料的要求与假设构件材料的相关要求

在任何外力(载荷)作用下,零件不允许发生破坏；材料抵抗破坏的能力，称之为强度。

在任何外力(载荷)作用下,零件不可发生过大的变形；材料抵抗变形的能力，称之为刚度。

在任何外力(载荷)作用下,零件应保持原有形式下的平衡；材料保持原有平衡形式的能力，称之为稳定性。

2.1构件材料的要求与假设构件材料的基本假设

均匀连续假设：假设变形体内部都是连续不断的均匀的物质；

各向同性假设：假设变形体在各个方向上具有相同的力学属性。

2.2杆件的基本变形形式材料力学的研究对象—杆件

杆件是指一个方向的尺寸远大于另两个方向的尺寸的构件。 典型的杆件有轴、连杆、梁。

杆件的与其长度方向垂直的截面称为横截面；横截面形心的连线称为轴线。 杆件的基本变形形式基本变形工程实例受力简图拉伸压缩剪切扭转弯曲2.3拉伸与压缩2.3.1拉伸、压缩的概念

在一对大小相等、方向相反、作用线与杆轴线重合的外力作用下，构件所发生的伸长或缩短变形。

2.3.2内力与截面法内力的概念

材料力学所指的内力,是指在外力作用下存在于构件内部的各质点之间、构件这一部分和另一部分之间的相互作用力。

2.3.3应力的概念

工程上常用单位面积上的内力大小来判断构件的危险程度；即有单位面积上的内力称为应力。

N—横截面上的内力，单位为N（牛顿）；

A—横截面的面积，单位为m2；

—横截面上的正应力，单位为Pa，1Pa=1N/m2

2.3.4材料在拉压时的力学性质低碳钢的拉伸

构件拉伸的长度与原长之比为应变：低碳钢的拉伸

弹性阶段(ab)E为材料的弹性模量。屈服阶段(bc)强化阶段(cd)缩颈阶段(de)延伸率：2.3.5许用应力与安全系数塑性材料的许用应力

ns称为屈服安全系数，取值1.2～1.5；σs称为屈服应力脆性材料的许用应力

nb称为屈服安全系数，取值2～3；σb称为屈服应力2.3.6拉（压）杆的强度计算根据该强度条件,可以解决三类计算问题:

强度校核

设计截面

确定许可载荷 拉(压)杆的强度条件:例:已知两45号圆钢成直角构成支承结构如图，B点悬挂的重物重量为1000N。根据强度条件，设计AB和BC杆的直径。解题步骤：1根据静力平衡条件，分别求得两杆的内力；2根据材料特征，确定许用应力；3 按照强度条件，分别计算两杆截面积，从而确定两杆直径。2.3.7拉（压）时的变形1 纵向变形及其规律

2横向变形及其规律 式中为横向变形系数；μ为泊松系数或泊松比。2.3.8应力集中的概念由于功能与结构的需要，在构件上常存在切口、孔洞、螺纹、轴肩等结构；实验证明，在截面形状突变部分，其应力不是均匀分布，在突变附近的局部范围内，应力显著增大，这种现象称为应力突变。减小应力集中的方法：2.4剪切与挤压2.4.1剪切剪切的特点

作用于构件两个侧面上且与构件轴线垂直的外力，可以简化成大小相等、方向相反、作用线相距很近的一对力，使构件两部分沿剪切面有发生相对错动的趋势。2.4剪切与挤压剪切强度计算（实用计算方法）

Q---剪力；A---受剪面积。键的受剪面积是多少？2.4剪切与挤压2.4.2挤压

挤压面上的压强习惯上称为挤压应力，用表示。挤压应力与直杆压缩的压应力不同，压应力在横截面上是均匀分布的。挤压应力则只限于接触面附近的区域，在接触面上的分布也比较复杂，因此也采用实用计算方法。例：电瓶车挂钩用插销联接，如图所示。已知t=8mm，插销的材料为20钢，[τ]=30Mpa，[σjy]=100Mpa，牵引力P=15KN。试选顶插销的直径。2.5圆轴的扭转2.5.1概念

在杆件两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截面都发生绕杆件轴线的相对转动，这种变形形式称为扭转变形。2.5.2扭矩与扭矩图

假想将圆轴沿mm截面分成两部分，并取部分I作为研究对象。由于整个轴是平衡的，所以部分I也是平衡的，也即在mm截面上存在一个内力偶矩Mn—部分II对部分I作用的内力偶矩。扭矩的符号法则若按右手螺旋法则把Mn表示为矢量，当矢量方向与截面的外法线方向一致时，Mn为正；反之，为负。判断：该圆轴内的扭矩的正负性。例：传动轴如图所示。已知MA=1170Nm，MB=MC=351Nm，MD=468Nm。求轴的扭矩图。【解】BC段：Mn1+MB=0∴Mn1=-MB=-351NmCA段：Mn2+MC+MB=0∴Mn2=-MC-MB=-702NmAD段：Mn3-MD=0∴Mn3=MD=468Nm例：传动轴如图所示。已知MA=1170Nm，MB=MC=351Nm，MD=468Nm。求轴的扭矩图。结构合理结构欠佳2.5.3圆轴扭转时的应力和强度条件

研究步骤：由杆件的变形找出应变的规律—研究圆轴扭转时的变形几何条件；由应变规律找出应力的分布规律—建立应力和应变间的物理关系；根据扭矩和应力之间的静力平衡关系，求出应力计算公式。1）变形几何关系圆轴扭转的基本假设：圆轴扭转变形前的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线。相邻两截面间的距离不变。mm面相对于nn面产生相对错动，转角为ab边相对于cd边的相对错动距离是：ab边相对cd边转动，即有单元体abcd的剪切变形：根据变形后横截面仍为平面、半径保持为直线的假设，可以求得在距离圆心为处的剪应变是：横截面上任意点的简应变与该点到圆心的距离成正比。2）物理关系G为剪切弹性模量。3）静力关系微面积dA微面积上的内力系在任何方向上的合力为零；只存在一个微力偶矩横截面上的内力偶矩和应等于外力作用所产生的扭矩，即有：称为横截面对O点的极惯性矩如果Wn—抗扭截面模量实心圆轴空心圆轴NOTES:以上结论是以平面假设为基础导出的。实验表明，只有对横截面不变的圆轴，平面假设才是正确的；所以，上述强度计算公式只适用于等径圆杆。在导出过程中，应用了剪切虎克定律，因此强度不可超出材料的剪切比例极限。圆轴扭转的强度条件：为材料的许用剪切应力。2.5.4圆轴扭转时的刚度条件

两个截面之间的相对转角

圆轴的绝对转角

圆轴扭转的刚度条件

圆轴单位长度的扭转角许用扭转角是按机器的工作要求和工作条件确定的，一般经验值为：精密机器的轴：=（0.15~0.5）°/m一般传动轴：=（0.5~1）°/m精密度较低的轴：=（1~2.5）°/m2.6梁的平面弯曲2.6.1概念

作用杆件上的外力垂直于杆件的轴线，使变形前原为直线的轴线，变形后成为曲线，此为弯曲。以弯曲变形为主的杆件习惯上称为梁。桥式起重机车刀梁的结构特征：受弯杆件的横截面具有一根对称轴，因此梁就存在一个包含轴线的纵向对称面。当作用于杆件上的所有外力都在纵向对称面内，梁弯曲变形后的轴线也将位于这个对称面内，这种弯曲形式称为平面弯曲。梁的典型横截面2.6.2梁的载荷及基本形式

载荷的简化根据力作用的范围与梁长的比，可以将载荷简化为集中载荷或均布载荷。比如车刀的切削力、桥式起重机的起吊重物对梁的载荷可简化为集中载荷；而梁的自重则可视为均布载荷。

静定梁的基本形式简支梁，桥式起重机外伸梁，火车轮轴悬臂梁，车刀支座反力可由静力平衡条件确定的梁，统称为静定梁。2.6.3剪力和弯矩

集中载荷简支梁：由静力平衡条件求支座反力截面法求梁的内力符号规定：mm以左，相对右段向上错动剪力为正，反之为负；mm处弯曲变形凸向下，弯矩为正，反之为负。剪力方程和弯矩方程一般情况下，梁上横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化，即有：Q=Q(x)；M=M(x)剪力图和弯矩图—用图线表示梁上各横截面剪力Q和弯矩M的变化情况。均布载荷简支梁：由静力平衡条件求支座反力剪力方程和弯矩方程集中载荷悬臂梁：由静力平衡条件求支座反力剪力方程和弯矩方程2.6.4平面弯曲应力

在AC与DB段内，梁上各横截面上既有弯矩又有剪力，因而既有正应力又有剪应力，这种情况称为横力弯曲或剪切弯曲。在CD段内，梁的各个横截面上剪应力为零，而弯矩为常量；此时在横截面上只有正应力而无剪应力，此为纯弯曲。此处主要研究纯弯曲。1）变形几何关系梁弯曲的实验观察：变形前原来的直纵向线，变形后呈曲线，一侧缩短，一侧伸长。横截面仍为平面且仍垂直于梁轴线，但相邻两横截面间存在夹角。受压与受拉区间存在“0”变形层，称作中性层；中性层与横截面的交线为中性轴。受力前弯曲时距中性层为y处的纤维，变形后的长度原长度上述纤维的线应变2）物理关系E为弹性模量。3）静力关系横截面上微内力,可简化为三个内力分量：纯弯曲，即有：令为横截面对中性轴的极惯性矩，即有—抗弯截面模量—弯曲强度条件2.6.5梁的变形

在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xy对称面内的一条曲线，称为挠曲线：v=f(x)

挠曲线方程v代表坐标为x的横截面沿y方向的位移，称为挠度。在梁弯曲变形过程中，梁的横截面对原来位置所转过的角度θ称为该截面的转角。在纯弯曲情况下：又，平面曲线的曲率：挠曲线平坦据平面假设：弯矩符号规定，挠曲线凸向下，弯矩M为正；而凸向下的挠曲线的二阶导数也为正；同理于挠曲线凸向上。则有：所以可用积分法求得转角方程和挠曲线方程：C、D可根据挠曲线方程的边界条件和连续条件确定。—挠曲线微分方程挠曲线方程的边界条件：挠曲线方程的连续条件：在铰支座上，挠度等于零；在固定端，挠度和转角等于零；在弯曲变形的对称点，转角等于零。在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角。均布载荷简支梁的变形：弯矩方程代入挠曲线微分方程两次积分，得：梁在两端铰支座上的挠度为零，故有边界条件：将边界条件代入挠度方程，有：于是有梁的转角方程和挠曲线方程：因为梁上的外力和边界条件都对跨度中点对称，所以挠曲线也对跨度中点对称。在跨度中点挠曲线切线斜率为零，挠度最大。两端截面转角数值相等为最大，符号相反。集中载荷悬臂梁：集中载荷简支梁：推导挠曲线方程与转角方程：建议：应对AC与CB段分别积分；在CB段内，对含有(x-a)的项就以(x-a)为自变量积分，可使计算得以简化。

刚度条件

提高梁弯曲刚度的措施改善结构形式，比如（1）在结构允许的条件下，应使轴上的齿轮、皮带轮等部件尽可能靠近支座；（2）把集中载荷分散为分布力；（3）缩短跨度。选择合理的截面形状，例如工字形、槽形、T形等截面都比面积相同的矩形截面有更大的极惯性矩。钢的E值差别不大，所以改变材料不是有效措施。2.7组合变形2.7.1概念

在工程实际中，往往存在两种以上基本变形组合的情况，称为组合变形。2.7.2组合变形的研究方法

把载荷简化成几个静力等效的载荷，使这几个静力等效的载荷各自对应着一种基本变形。在材料服从虎克定律且变形很小的前提下，杆件上虽然同时存在着几种基本变形，但每一种基本变形都各自独立，互不影响；于是，分别计算每一种基本变形各自引起的应力和形变，然后求其总和，便是杆件在原载荷下的应力和变形。2.7.3拉压与弯曲

起重机横梁可简化为简支梁。轴向力Rax和Tx引起AB杆的压缩变形。垂直于杆件轴线的G、Ray和Ty共同导致杆件的弯曲变形。2.7.4弯曲与扭转

已知T1、T2是皮带轮两边的拉力，皮带轮直径为D，其余