机械测试技术讲解第五章

第五章信号分析与处理主要研究内容：1.数字信号处理基本知识2.掌握信号采样定理3.信号截断、能量泄露4.掌握信号相关分析和功率谱分析测试技术基础

数字信号处理

1、数字信号处理的基本步骤

物理信号x(t)传感器电信号信号调理电信号A/D转换数字信号数字信号分析仪或计算机显示物理信号y(t)传感器电信号信号调理电信号A/D转换数字信号数字信号处理

信号的预处理是把信号变成适于数字处理的形式，以减轻数字处理的困难。预处理包括：1)电压幅值调理，以便适宜于采样;2)必要的滤波，以提高信噪比，并滤去信号中高频噪声;3)隔离信号中的直流分量(如果所测信号中不应有直流分量)4)如原信号经过调制，则应先行解调。a、模数转换是模拟信号经采样量化并转化为二进制过程。计算机只能处理有限长度的数据，所以首先要把长时间的序列截断。b、对数据中的奇异点(由于强干扰或信号丢失引起的数据突变)应予以剔除。c、对温漂、时漂等系统性干扰所引起的趋势项(周期大于记录长度的频率成分)也应予以分离。还可以设计专门的程序来进行数字滤波，然后把数据按给定的程序进行运算，完成各种分析。数字信号处理

2、采样、混叠和采样定理

1）信号采样时域采样过程是将采样脉冲序列g(t)与信号x(t)相乘来．数字信号处理

1）信号采样时域采样过程是将采样脉冲序列g(t)与信号x(t)相乘来．数字信号处理

2）频混现象

数字信号处理

频域解释（混叠）时域解释（频混）3）采样(香农）定理

为保证采样后信号能真实地保留原始模拟信号信息，信号采样频率必须至少为原信号中最高频率成分的2倍。这是采样的基本法则，称为采样定理。fs＞2fmax

工程实际中采样频率通常大于信号中最高频率成分的3到4倍。在对信号进行采样时，满足了采样定理，只能保证不发生频率混叠，只能保证对信号的频谱作逆傅立叶变换时，可以完全变换为原时域采样信号xs(t)，而不能保证此时的采样信号能真实地反映原信号x(t)。数字信号处理

数字信号处理

频域采样

4、栅栏效应

对一函数实行采样，实质上就是“摘取”采样点上对应的函数值。其效果有如透过栅栏的缝隙观看外景一样，只有落在缝隙前的少数景象被看到，其余景象都被栅栏挡住，视为零。这种现象被称为栅栏效应。不管是时域采样还是频域采样，都有相应的栅栏效应。只不过时域采样如满足采样定理要求，栅栏效应不会有什么影响。而频域采样的栅栏效应则影响颇大，“挡住”或丢失的频率成分有可能是重要的或具有特征的成分，以致于整个处理失去意义。5、频率分辨率、整周期截断频率采样间隔△f也是频率分辨率指标。此间隔越小，频率分辨率越高，被“挡住”的频率成分越少。前面曾经指出，在利用DFT将有限时间序列变换成相应的频谱序列的情况下，△f和分析的时间信号长度了的关系是△f=fs／N=1／T

数字信号处理

根据采样定理，若信号的最高频率为fh，最低采样频率fs。应大于2fh。在f。选定后，要提高频率分辨率就必须增加数据点数N，从而急剧地增加了计算工作量。解决此矛盾有两条途径。1、在DFT的基础上，采用“频率细化技术(ZOOM)”，其基本思路是在处理过程中只提高感兴趣的局部频段中的频率分辨率。2、另一条途径则是改用其他把时域序列变换成频谱序列的方法。只有截取的信号长度T正好等于信号周期的整数倍时，才可能使分析谱线落在简谐信号的频率上，从而获得准确的频谱。显然，这个结论适用于所有周期信号。因此，对周期信号实行整周期截断是获得准确频谱的先决条件。若事先按整周期截断信号，则延拓后的信号将和原信号完全重合，无任何畸变。数字信号处理

3、量化和量化误差A/D转换过程量化――把采样信号x(nTs)经过舍入变为只有有限个有效数字的数，这一过程称为量化．数字信号处理

量化误差：模拟信号采样后的电压幅值变成为离散的二进制数码时，舍入到相近的一个量化电平上引起的随机误差。数字信号处理

量化误差实验：

数字信号处理

4、信号的截断、能量泄漏

和窗函数

为便于数学处理，通常对截断的信号做周期延拓，得到虚拟的无限长的信号。

不可能对时间历程无限的信号进行处理，因而取其有限的时间片段进行分析，这个截取过程成为信号的截断。（将无限长的信号乘以有限宽的窗函数）

数字信号处理

周期延拓后的信号与真实信号是不同的。

设有余弦信号x(t),用矩形窗函数w(t)与其相乘，得到截断信号:y(t)=x(t)w(t)将截断信号谱XT(ω)与原始信号谱X(ω)相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱.原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏。数字信号处理

能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。数字信号处理

常用的窗函数

1）矩形窗2）三角窗数字信号处理

3）汉宁窗常用窗函数数字信号处理

能量泄漏实验：

数字信号处理

相关分析及应用

1相关的概念相关指变量之间的线性关系，变量x，y之间的相关程度常用相关系数来描述。

xyxyxyxy例如，玻璃管温度计液面高度(Y)与环境温度(x)的关系就是近似理想的线形相关，在两个变量相关的情况下，可以用其中一个可以测量的量的变化来表示另一个量的变化。

相关分析及应用

2相关系数如果所研究的变量x,y是与时间有关的函数，即x(t)与y(t)，这时引入一个与时间位移τ有关的量，称为函数的相关系数：分子是时移τ的函数，反映了二个信号在时移中的相关性，称为相关函数。（变量不同时刻乘积的平均）相关分析及应用

计算时，令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差τ，再相乘和积分，就可以得到τ时刻二个信号的相关性。

相关分析及应用

x(t)y(t)时延器

乘法器

y(t-τ)X(t)y(t-τ)积分器

Rxy(τ)*图例相关分析及应用

3自相关分析如y(t)=x(t),可得自相关系数，并有：定义自相关函数相关分析及应用

可得自相关系数自相关函数取值范围相关分析及应用

当τ=0x(t)在同一时刻的记录样本完全成线性x(t)与x(t＋∞）彼此无关相关分析及应用

自相关函数是偶函数相关分析及应用

相关分析及应用

保留幅值和频率信息，丢失初始相位信息相关分析及应用

下图是某一机械加工表面粗糙度的波形，经自相关分析后所得到的自相关图呈现出周期性。这表明造成表面粗糙度的原因中包含有某种周期因素。从自相关图能确定该周期因素的频率，从而可以进一步分析其原因相关分析及应用

案例：自相关分析测量转速理想信号干扰信号实测信号自相关系数提取周期性转速成分。自相关分析的主要应用：用来检测混肴在干扰信号中的确定性周期信号成分。4互相关分析对x(t)和y(t)两个不同信号：定义互相关函数互相关系数相关分析及应用

可得相关函数互相关函数取值范围相关分析及应用

互相关函数非奇非偶相关分析及应用

不同频率不相关正余弦函数正交性相关分析及应用

同频率相关，不同频率不相关相关分析及应用

互相关函数的性质峰值点相关分析及应用

相关分析及应用

案例：热轧钢带运动速度的探测

案例：地下输油管道漏损位置的探测

相关分析及应用

相关函数的性质

（1）自相关函数是的偶函数，RX()=Rx(-)；（2）当=0时，自相关函数具有最大值。（3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不保留原信号的相位信息。（4）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，且保留原了信号的相位信息。（5）两个非同频率的周期信号互不相关。（6）随机信号的自相关函数将随的增大快速衰减。相关分析及应用

传输通路分析相关分析及应用

相关分析的工程应用

功率谱分析及应用1、自谱定义功率谱分析及应用物理意义功率谱分析及应用物理意义功率谱分析及应用物理意义功率谱分析及应用功率谱分析及应用线性系统输入输出有输入、输出的自谱存在如下自谱分析可得系统幅频特性，缺相频特性功率谱分析及应用自相关分析可以有效地检测出信号中有无周期成分。自功率谱密度也能用来检测信号中的周期成分。

周期信号的频谱是脉冲函数，在某特定频率上的能量是无限的。但是在实际处理时，用矩形窗函数对信号进行截断，这相当于在频域用矩形窗函数的频谱sinc函数和周期信号的频谱函数实行卷积，因此截断后的周期函数的频谱已不再是脉冲函数，原来为无限大的谱线高度变成有限长，谱线宽度由无限小变成有一定宽度。所以周期成分在实测的功率谱密度图形中以陡峭有限峰值的形态出现。自功率谱密度的应用功率谱分析及应用2、互谱定义功率谱分析及应用线性系统输入输出有输入自谱与输入、输出的互谱的存在如下互谱分析可得系统幅频特性，相频特性功率谱分析及应用功率谱应用互谱排噪功率谱分析及应用功率谱分析及应用

为了测试系统的动特性，有时人们故意给正在运行的系统以特定的已知扰动—输人z(t)。从式可以看出，只要z(t)和其他各输入量无关，在测量Sxy(f)和Sz(f)后就可以计算得到H(f)。这种在被测系统正常运行的同时对它进行测试，称为“在线测试”。3、相干函数

评测输入、输出信号间的因果性，即输出信号的功率谱中有多少是所测试输入量引起的响应。功率谱分析及应用测试中有外界干扰输出y(t)是输入x(t)和其它输入的综合输出联系x(t)与y(t)的系统是非线性的功率谱分析及应用船用柴油机润滑油泵压油管振动和压力脉动间的相干分析油压脉动自谱油管振动自谱功率谱分析及应用离散傅里叶变换DFT变换的实质：有限长序列的傅里叶变换的有限点离散采样(时域和频域都是离散化的有限点长的序列)。DFT变换的意义：开辟了频域离散化的道路，使数字信号处理可以在频域中进行处理，增加了数字信号处理的灵活性。DFT具有多种快速算法(FFT)，实现了信号的实时处理和设备的简化。DFT是信号处理的桥梁DFT要解决两个问题： 一是离散化(有利于计算机处理)， 二是快速运算(提高实时性)。信号处理DFT(FFT)傅氏变换离散化离散傅里叶变换离散傅里叶变换的定义

3.1.1DFT的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N点离散傅里叶变换(DFT)为式中，N称为DFT变换区间长度N≥M。

离散傅里叶变换X(k)的离散傅里叶逆变换(IDFT)为通常称为离散傅里叶变换对。离散傅里叶变换

例3.1.1x(n)=R4(n)，求x(n)的8点和16点DFT(1)设变换区间N=8，则离散傅里叶变换(2)设变换区间N=16，则离散傅里叶变换离散傅里叶变换快速傅氏变换（FFT）是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。快速离散傅里叶变换设x(n)为N项的复数序列，由DFT变换，任一X（m）的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N项复数序列的X（m）,即N点DFT变换大约就需要N2次运算。当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算。快速离散傅里叶变换在FFT中，利用的周期性和对称性，把一个N项序列（设N=2k,k为正整数），分为两个N/2项的子序列，每个N/2点DFT变换需要（N/2）2次运算，再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换。这样变换以后，总的运算次数就变成N+2（N/2）2=N+N2/2。继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT运算单元，那么N点的DFT变换就只需要Nlog2N次的运算，N在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是FFT优越性。

快速离散傅里叶变换Fourier变换的不足：对处理非线性问题力不从心。不能表征随时间变化的频率。变换在无限的时域上进行。不具有灵活可变的时间_频率窗。短时傅里叶变换基本原理：通过将信号截断来表征信号的时变频谱现象。截断函数（窗函数）会扰乱信号的特性。短时傅里叶变换短时Fourier变换示意图短时傅里叶变换数学描述：短时傅里叶变换频谱图短时傅里叶变换窗函数对信号的干扰窗函数的时宽不能太小窗函数的优化与选取总能量短时傅里叶变换（能量守恒定理）若窗函数的能量为1，则短时傅立叶变换后的能量不变。例：线性调频、二次调频和高斯调制函数的短时傅立叶变换时域形式短时傅立叶变换的时频形式短时傅立叶变换的时频相位短时傅里叶变换离散短时傅立叶变换：用离散傅立叶变换（DFT)一样的方法。可以研究离散短时傅立叶变换。离散短时傅里叶变换WaveletTransform

小波分析是近十几年才发展起来并迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域的一种数学工具。它是继110多年前的傅立叶(JosephFourier)分析之后的一个重大突破，无论是对古老的自然学科还是对新兴的高新技术应用学科都产生了强烈冲击。小波理论是应用数学的一个新领域。要深入理解小波理论需要用到比较多的数学知识。本教学提纲企图从工程应用角度出发，用比较直观的方法来介绍小波变换和它的应用，为读者深入研究小波理论和应用提供一些背景材料小波变换部分小波波形小波变换Waveletsareaclassofafunctionsusedtolocalizeagivenfunctioninbothspaceandscaling.Afamilyofwaveletscanbeconstructedfromafunction,sometimesknownasa"motherwavelet,"whichisconfinedinafiniteinterval."Daughterwavelets"arethenformedbytranslation(b)andcontraction(a).Waveletsareespeciallyusefulforcompressingimagedata,sinceawavelettransformhaspropertieswhichareinsomewayssuperiortoaconventionalFouriertransform.小波变换Anindividualwaveletcanbedefinedby

andCalderón'sformulagivesThenAcommontypeofwaveletisdefinedusingHaarfunctions.小波变换傅立叶理论指出，一个信号可表示成一系列正弦和余弦函数之和，叫做傅立叶展开式。用傅立叶表示一个信号时，只有频率分辨率而没有时间分辨率，这就意味我们可以确定信号中包含的所有频率，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候。为了继承傅立叶分析的优点，同时又克服它的缺点，人们一直在寻找新的方法。小波变换傅立叶变换的定义：Amathematicaldescriptionoftherelationshipbetweenfunctionsoftimeandcorrespondingfunctionsoffrequency;amapforconvertingfromonedomaintotheother.Forexample,ifwehaveasignalthatisafunctionoftime--animpulseresponse--thentheFourierTransformwillconvertthattimedomaindataintofrequencydata,forexample,afrequencyresponse.(/glossary.htm)小波变换哈尔(AlfredHaar)对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909年他发现了小波，1910年被命名为Haarwavelets他最早发现和使用了小波。小波变换20世纪40年代Gabor开发了STFT(shorttimeFouriertransform)STFT的时间-频率关系图小波变换CWT(continuouswavelettransform)20世纪70年代，当时在法国石油公司工作的年轻的地球物理学家JeanMorlet提出了小波变换WT(wavelettransform)的概念。20世纪80年代,从STFT开发了CWT：小波变换Definition-BasisFunctions:asetoflinearlyindependentfunctionsthatcanbeused(e.g.,asaweightedsum)toconstructanygivensignal.where:a=scalevariable－缩放因子k=timeshift－时间平移h*=waveletfunction－小波函数用y=scaled(dilated)andshifted(translated)Motherwaveletfunction,在CWT中，scale和position是连续变化的小波变换缩放(scaled)的概念例1：正弦波的算法小波变换例2：小波的缩放小波变换平移(translation)的概念小波变换CWT的变换过程可分成如下5个步骤步骤1:把小波和原始信号的开始部分进行比较；步骤2:计算系数c。该系数表示该部分信号与小波的近似程度。系数c的值越高表示信号与小波越相似，因此系数c可以反映这种波形的相关程度；步骤3:把小波向右移，得到的小波函数，然后重复步骤1和2。再把小波向右移，得到小波，重复步骤1和2。按上述步骤一直进行下去，直到信号结束；步骤4:扩展小波，例如扩展一倍，得到小波函数；步骤5:重复步骤1-4。小波变换(a)二维图小波变换(b)三维图连续小波变换分析图小波变换(6)三种变换的比较小波变换SBC(subbandcoding)的基本概念：

把信号的频率分成几个子带，然后对每个子带分别进行编码，并根据每个子带的重要性分配不同的位数来表示数据20世纪70年代，子带编码开始用在语音编码上20世纪80年代中期开始在图像编码中使用1986年Woods,J.W.等人曾经使用一维正交镜像滤波器组(quadraturemirrorfilterbanks，QMF)把信号的频带分解成4个相等的子带小波变换图(a)正交镜像滤波器(QMF)

小波变换图中的符号表示频带降低1/2，HH表示频率最高的子带，LL表示频率最低的子带。这个过程可以重复，直到符合应用要求为止。这样的滤波器组称为分解滤波器树(decompositionfiltertrees)图(b)表示其相应的频谱小波变换Mallat,Meyer等人提出multiresolutiontheory法国科学家Y.Meyer创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，他用缩放(dilations)与平移(translations)均为2的j次幂的倍数构造了平方可积的实空间L2(R)的规范正交基，使小波得到真正的发展小波变换的主要算法由法国的科学家StephaneMallat提出S.Mallat于1988年在构造正交小波基时提出了多分辨率分析(multiresolutionanalysis)的概念,从空间上形象地说明了小波的多分辨率的特性提出了正交小波的构造方法和快速算法，叫做Mallat算法。该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，它的地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位。小波变换小波分解得到的图像小波变换3.离散小波变换在计算连续小波变换时，实际上也是用离散的数据进行计算的，只是所用的缩放因子和平移参数比较小而已。不难想象，连续小波变换的计算量是惊人的。为了解决计算量的问题，缩放因子和平移参数都选择(j.>0的整数)的倍数。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变换叫做双尺度小波变换(dyadicwavelettransform)，它是离散小波变换(discretewavelettransform，DWT)的一种形式。小波变换使用离散小波分析得到的小波系数、缩放因子和时间关系如图所示。图(a)是20世纪40年代使用Gabor开发的短时傅立叶变换(shorttimeFouriertransform，STFT)得到的时间-频率关系图图(b)是20世纪80年代使用Morlet开发的小波变换得到的时间-缩放因子(反映频率)关系图。小波变换离散小波变换分析图小波变换DWT变换方法执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器该方法是Mallat在1988年开发的，叫做Mallat算法这种方法实际上是一种信号的分解方法，在数字信号处理中称为双通道子带编码用滤波器执行离散小波变换的概念如图所示S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生A和D两个信号A表示信号的近似值(approximations)D表示信号的细节值(detail)小波变换在许多应用中，信号的低频部分是最重要的，而高频部分起一个“添加剂”的作用。犹如声音那样，把高频分量去掉之后，听起来声音确实是变了，但还能够听清楚说的是什么内容。相反，如果把低频部分去掉，听起来就莫名其妙。在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量。而细节值是小的缩放因子产生的系数，表示信号的高频分量。双通道滤波过程小波变换离散小波变换可以被表示成由低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树原始信号通过这样的一对滤波器进行的分解叫做一级分解信号的分解过程可以叠代，也就是说可进行多级分解。如果对信号的高频分量不再分解，而对低频分量连续进行分解，就得到许多分辨率较低的低频分量，形成如图所示的一棵比较大的树。这种树叫做小波分解树(waveletdecompositiontree)分解级数的多少取决于要被分析的数据和用户的需要小波分解树小波变换(a)信号分解(b)系数结构(c)小波分解树小波分解树小波变换小波包分解树

小波分解树表示只对信号的低频分量进行连续分解。如果不仅对信号的低频分量连续进行分解，而且对高频分量也进行连续分解，这样不仅可得到许多分辨率较低的低频分量，而且也可得到许多分辨率较低的高频分量。这样分解得到的树叫做小波包分解树(waveletpacketde