山西省2023届高三3月月考数学理试题

2023-2023学年高三月考(命题人郭伟峰)一、选择题：（每小题5分，共60分）1.若复数是纯虚数，则的值为（）A．B．C．D．2．对于集合，定义：且，，设＝，，则=（）A．（，0]B．[，0)C．D．3．右图中，为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当时，等于（）A．11B．10C．8D．74．设甲：函数的值域为，乙：函数有四个单调区间，那么甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．规定记号“”表示一种运算，即：，设函数。且关于的方程为恰有四个互不相等的实数根，则的值是（）A． B． C． D．6.已知和分别是双曲线（，）的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.7．若当时，函数取得最小值，则函数是（）A．奇函数且图像关于点对称B．偶函数且图像关于点对称C．奇函数且图像关于直线对称D．偶函数且图像关于点对称8．过点作圆的弦，其中弦长为整数的共有（）A.16条B.17条C.32条D.34条9．在平面斜坐标系中，点的斜坐标定义为：“若（其中分别为与斜坐标系的轴，轴同方向的单位向量），则点的坐标为”．若且动点满足，则点在斜坐标系中的轨迹方程为（）A． B．C．D．10．已知为上的可导函数，且，均有，则有（）A．B．C．D．11．设是锐角三角形的外心，由向边引垂线，垂足分别是,给出下列命题：①；②；③：：=：：;④，使得..以上命题正确的个数是（）.A．1 B．2 C．3D．4；12．在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且平面，则与平面所成角的正切值构成的集合是（）A．B．C．D．二、填空题：（每小题5分，共20分）13．已知不等式组表示的平面区域为，直线与曲线所围成的平面区域为，现随机向区域内抛一粒豆子，则豆子落在区域内的概率为.14．对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，则,若的分解中最小的数是73，则的值为.15．抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线对称轴上，过可作直线交抛物线于点、，使得，则的取值范围是．16.给出以下四个命题：①若，则；②已知直线与函数的图像分别交于点，则的最大值为；③若数列为单调递增数列，则取值范围是；④已知数列的通项，前项和为，则使的的最小值为12．其中正确命题的序号为．三、解答题：17．（本小题满分12分）已知数列的相邻两项是关于的方程的两根，且.（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）设函数若对任意的都成立，求的取值范围。18．（本小题满分12分）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的组别PM2.5（微克/立方米）频数（天）频率第一组(0,15]40.1第二组(15,30]120.3第三组(30,45]80.2第四组(45,60]80.2第三组(60,75]40.1第四组(75,90)40.1（Ⅰ）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；（Ⅱ）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；（Ⅲ）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望．19．（本小题满分12分）如图，四边形中，为正三角形，，，与交于点．将沿边折起，使点至点，已知与平面所成的角为，且点在平面内的射影落在内．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若已知二面角的余弦值为，求的大小.20．（本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆，它的离心率为，一个焦点和抛物线的焦点重合,过直线上一点引椭圆的两条切线，切点分别是.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是.求证:直线恒过定点；并出求定点的坐标.（Ⅲ）是否存在实数，使得恒成立？(点为直线恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。21．（本小题满分12分）已知函数SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0.（I）若函数SKIPIF1<0在区间(1,2)上不是单调函数,试求SKIPIF1<0的取值范围;（II）已知SKIPIF1<0,如果存在SKIPIF1<0,使得函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得最小值,试求SKIPIF1<0的最大值.请考生在第22、23题中任选一题作答。若多做，则按所做的第一题计分。22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点．（I）求曲线，的方程；（II）若点，在曲线上，求的值．23.已知函数(I)求不等式的解集;(II)设，若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.2023-2023学年高三1.B2．C3．C4．B5．D6.D7．C8．C9．D10．D11．B12．D13．（文）14．915．16.①②17．【解】：（1），即（3分）（2）（6分）（3）∴当n为奇数时（9分）当n为偶数时综上所述，的取值范围为（12分）18．【解】：（1）众数为22.5微克/立方米,中位数为37.5微克/立方米．………4分（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为（微克/立方米）．因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进．…………8分（3）记事件表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，则.随机变量的可能取值为0,1,2.且.所以，所以变量的分布列为012（天）,或（天）……12分（文）【解】（I）守成被调查人答卷情况统计表：同意不同意合计教师112女生246男生325 …………5分（II）（人） …………8分（III）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法；其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8种满足题意，则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为 …………12分19．【解析】：（1）证明：由面，所以又所以-----4分（2）取中点，连结则，且，所以是平行四边形，所以，且所以面;----8分（3）过作，交于，由题得在中，所以，所以-------12分（理）【解析】：(Ⅰ)易知为的中点，则，又，又，平面，所以平面（4分）(Ⅱ)方法一：以为轴，为轴，过垂直于平面向上的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则,（6分）易知平面的法向量为（7分），设平面的法向量为则由得，解得，，令，则（9分）则解得，，即，即，又，∴故.（12分）20．【解】：（I）设椭圆方程为。抛物线的焦点是，故，又，所以，所以所求的椭圆方程为……………3分（II）设切点坐标为,,直线上一点M的坐标。则切线方程分别为，。又两切线均过点M，即，即点A,B的坐标都适合方程，而两点之间确定唯一的一条直线，故直线AB的方程是，显然对任意实数t，点（1,0）都适合这个方程，故直线AB恒过定点。……6分（III）将直线AB的方程，代入椭圆方程，得，即所以…..8分不妨设，同理……10分所以即。故存在实数，使得。……12分21．【解】：（I）由题意知,SKIPIF1<0在区间(1,2)上有不重复的零点,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0……3分令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0在区间(1,2)上是增函数,所以其值域为SKIPIF1<0,从而SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0………5分（II）SKIPIF1<0,由题意知SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立,即SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立,即SKIPIF1<0①对SKIPIF1<0恒成立………7分当SKIPIF1<0时,①式显然成立;………8分当SKIPIF1<0时,①式可化为SKIPIF1<0②,令SKIPIF1<0,则其图象是开口向下的抛物线,所以SKIPIF1<0………9分即SKIPIF1<0,其等价于SKIPIF1<0③,因为③在SKIPIF1<0时有解,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.从而SKIPIF1<0的最大值为SKIPI