电大复变函数形成性考核册参考复习资料

17/17复变函数习题总汇与参考答案第1章复数与复变函数一,单项选择题1,若Z1=（a,b）,Z2=(c,d),则Z1·Z2=（C）A（ac+bd,a）B(ac-bd,b)C（ac-bd,ac+bd）D(ac+bd,bc-ad)2,若R>0，则N（∞，R）={z：（D）}A|z|<RB0<|z|<RCR<|z|<+∞D|z|>R3,若z=x+iy,则y=(D)ABCD4,若A=，则|A|=（C）A3B0C1D2二,填空题1,若z=x+iy,w=z2=u+iv,则v=（2xy）2,复平面上满意Rez=4的点集为（{z=x+iy|x=4}）3,（设E为点集，若它是开集，且是连通的，则E）称为区域。4,设z0=x0+iy0,zn=xn+iyn(n=1,2,……)，则{zn}以zo为极限的充分必要条件是xn=x0，且yn=y0。三,计算题1,求复数-1-i的实部,虚部,模与主辐角。解：Re(-1-i)=-1Im(-1-i)=-12,写出复数-i的三角式。解：3,写出复数的代数式。解：4,求根式的值。解：四,证明题1,证明若，则a2+b2=1。证明：而3,证明：证明：第2章解析函数一,单项选择题1．若f(z)=x2-y2+2xyi,则2,若f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则柯西—黎曼条件为（D）ABCD3,若f(z)=z+1,则f(z)在复平面上（C）A仅在点z=0解析B无处解析C到处解析D在z=0不解析且在z≠0解析4,若f（z）在复平面解析，g(z)在复平面上连续，则f(z)+g(z)在复平面上（C）A解析B可导C连续D不连续二,填空题1,若f(z)在点a不解析，则称a为f(z)的奇点。2,若f(z)在点z=1的邻域可导，则f(z)在点z=1解析。3,若f(z)=z2+2z+1，则4,若，则不存在。三,计算题：1,设f(z)=zRe(z),求解：=2,设f(z)=excosy+iexsiny,求解：f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+iyu=excosyv=exsinyf(z)=u+iv∴f(z)在复平面解析，且=excosy+iexsiny3,设f(z)=u+iv在区域G内为解析函数，且满意u=x3-3xy2，f(i)=0,试求f(z)。解：依C-R条件有Vy=ux=3x2-3y2则V（x1y）=3x2y-y3+c(c为常数)故f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=x3-3xy2+i(cx2y-y3)+ic=z3+ic，为使f(i)=0,当x=0,y=1时，f(i)=0,有f(0)=-i+ic=0∴c=1∴f(z)=Z3+i4,设f(z)=u+iv在区域G内为解析函数，且满意u=2(x-1)y,f(2)=-i,试求f(z)。解：依C-R条件有Vy=ux=2y∴V==y2+(x)∴Vx=∴(x)=V=y2-x2+2x+c(c为常数)∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+c)为使f(z)=-i,当x=2y=0时,f(2)=ci=-i∴c=-1∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x-1)=-(z-1)2i四,证明题1,试在复平面探讨f(z)=iz的解析性。解：令f(z)=u+ivz=x+iy则iz=i(x+iy)=-y+ix∴u=-yv=x于是ux=0uy=-1Vx=1Vy=0∵ux,uy,vx在复平面内到处连接又Ux=VyUy=-Vx。∴f(z)=iz在复平面解析。2,试证：若函数f(z)在区域G内为解析函数，且满意条件（z）=0，z∈G，则f(z)在G内为常数。证：设f(z)=u+iv,z=x+iy,z∈G∵f(z)在G内解析，Ux=Vy,Uy=-Vx又（z）=0,（z）=Ux+iVxUx=0Vx=0Uy=-Vx=0Ux=Vy=0U为实常数C1，V也为实常数C2，f(z)=C1+iC2=Z0f(z)在G内为常数。复变函数课程作业参考解答2第3章初等函数一,单项选择题1.z=(A)是根式函数的支点.(A)0(B)1(C)(D)i2.z=(D)是函数的支点.(A)i(B)2i(C)-1(D)03.ei=(B).(A)e-1+e(B)cos1+isin1(C)sin1(D)cos14.sin1=(A)(A)(B)(C)(D)二,填空题1.cosi=2.=e(cos1+isin1)3.lni=4.ln(1+i)=k为整数.三,计算题1.设z=x+iy，计算.解:∴∴==2.设z=x+iy,计算.解:∵z=x+iy∴∴∴3.求方程的解.解:∵lnz=∴由对数函数的定义有:Z=∴所给方程的解为z=i4.求方程的解.解:∵=依据指数函数的定义有:z=n2+i或z=n(1+)四,证明题1.试证:.证明：依据正弦函数及余弦正数定义有：∴sin2z=2sinz·cosz2.证明:.证明:令A=B=sinx+sin2x+…sinnx∴=∴第4章解析函数的积分理论一,单项选择题1.(D),c为起点在0,终点在1+i的直线段.(A)0(B)1(C)2i(D)2(1+i)2..(A)0(B)10(C)i(D)3.(A)i(B)10(C)10i(D)04.=(A).(A)(B)(C)(D)二,填空题1.若与沿曲线c可积，则.2.设L为曲线c的长度,若f(z)沿c可积,且在c上满意,则.3.4.三,计算题1.计算积分,其中c为自0到2+i的直线段.解:c的方程为:其次由得∴==2.计算积分.解:=作区域D:积分途径在D内被积函数的奇点Z=2与Z=3均不在D内,所以被积函数在D内解析.由定理4.2得:=03.计算积分.解:∵奇点z=1和z=-1不在区域D,内的三个根也不在D内∴由定理4.2得=04.计算积分,.解:由定理4.6得四,证明题1.计算积分，并由此证明.证明：∵在圆域|z|≤1内解析∴=另一方面,在圆|z|=∴=(实部和虚部为0)====∵=0∴∴而为偶函数∴0==∴复变函数课程作业参考解答3第5章解析函数的幂级数表示一,单项选择题1.幂级数的收敛半径等于(B)(A)0(B)1(C)2(D)32.点z=-1是f(z)=r(B)级零点.(A)1(B)2(C)3(D)53.级数的收敛圆为(D).(A)|z-1|<3(B)|z|<3(C)|z-1|>1(D)|z|<14.设f(z)在点a解析,点b是f(z)的奇点中离点a最近的奇点,于是,使f(z)=成立的收敛圆的半径等于(C).(A)a+b+1(B)b-a+1(C)|a-b|(D)|a+b|二,填空题1.级数1+z+的收敛圆R=+．即整个复平面．2.若f(z)=(k为常数),则z=m(m=0,……)为f(z)的1级零点.3.幂有数的收敛半径等于0.4.z=0是f(z)=ez-1的1级零点.三,计算题1.将函数f(z)=在点z=0绽开幂级数.解:f(z)==-2.将函数f(z)=(1-z)-2在点z=0绽开成幂级数.解：而(1-z)-1==3．将函数f(z)=(z+2)-1在点z=1绽开成幂级数.解：f(z)=(z+2)-1==4．将函数f(z)=ez在点z=1绽开成幂级数.解：f(z)=ezf(n)=ez＝四,证明题1．证明:1-ei2z=-2isinzeiz证：eiz=cosz+isinze-iz=cos-isinzeiz-e-iz=2isinz-2isinz=-(eiz-e-iz)=eiz-e-iz-2isinzeiz=(e-iz-eiz)eiz=e0-e2iz=1-e2iz2．试用解析函数的唯一性定理证明等式:cos2z=cos2z-sin2z证①f1(z)=cos2z,则f1(z)复平面G解析设f2(z)＝cosz－sin2ｚ，则f2(z)也在整个复平面G解析②取E=K为实数轴,则E在G内有聚点.③当E为实数时,知cos2z=cos2z-sin2z,即f1(z)=f2(z)由解析函数唯一性定理,由以上三条知f1(z)=f2(z)成立即cos2z=cos2z-sin2z解析函数的罗朗级数表示一,单项选择题1．函数f(z)=在点z=2的去心邻域(D)内可展成罗朗级数.(A)0<(B)0<(C)1<(D)0<2．设点为f(z)的孤立奇点，若=c，则点为f(z)的(C).(A)本性奇点(B)极点(C)可去奇点(D)解析点3．若点为函数f(z)的孤立奇点，则点为f(z)的极点的充分必要条件是(D).(A)f(z)=c()(B)f(z)=(C)f(z)=c()(D)f(z)=4．若点为函数f(z)的孤立奇点，则点为f(z)的本性奇点的充要条件是（B）.(A)f(z)=c()(B)f(z)不存在(C)f(z)=c()(D)f(Z)=二,填空题1．设为函数f(z)在点的罗朗级数,称为该级数的主要部分.2.设点为函数f(z)的奇点,若f(z)在点的某个某个去心邻域内解析,则称点为f(z)的孤立奇点.3.若f(z)=，则点z=0为f(z)的0级极点.不是极点,若f(z)=则z=0为f(z)的一个极点.4.若f(z)=(sin)-1,则点z＝0为f(z)非孤立奇点.三,计算题1．将函数f(z)=(z-2)-1在点z=0的去心邻域展成罗朗级数.解:f(z)==-=-2．将函数f(z)＝在点ｚ＝１的去心邻域展成罗朗级数.解:f(z)=3．试求函数f(z)=z-3·sinz3的有限奇点,并判定奇点的类别.