电工学-第3章交流电路

第3章交流电路3.1正弦交流电的基本概念3.2正弦交流电的相量表示法3.3单一参数交流电路3.4串联交流电路3.5并联交流电路3.6交流电路的功率

3.7电路的功率因数

*

3.8电路中的谐振3.9非正弦周期信号电路下一章上一章返回主页13.1正弦交流电的基本概念交流电:

大小和方向都周期性变化、在一个周期上的函数平均值为零。正弦交流电:

按正弦规律变化的交流电。最大值角频率初相位

i=Imsin(ωt+ψ)ImOiωtψ正弦交流电的三要素瞬时值最大值角频率初相位2大连理工大学电气工程系正弦交流电的波形:ωti

Oωti

Oψωti

Oωti

Oψ0＜ψ＜180°－180°＜ψ＜0°ψ=0°ψ=±180°3大连理工大学电气工程系周期T：变化一周所需要的时间（s）。频率f：1s内变化的周数（Hz）。

角频率ω：

正弦量1s内变化的弧度数。T1f

==2π(rad/s)T一、交流电的周期、频率、角频率ω=2πfi2πOωtT4大连理工大学电气工程系常见的频率值有线通信频率：300~5000Hz；中国和欧洲国家50Hz，美国、日本60Hz各国电网频率：高频加热设备频率：200~300kHz。

无线通信频率：30kHz~3×104MHz；5大连理工大学电气工程系如果热效应相当，Wd=Wa，则I

是

i的有效值。正弦电量的有效值：Wd=RI2TWa=∫Ri2dtT0e、i、uEm、Im、UmE、I、U二、交流电瞬时值、最大值、有效值I=Im√2U=Um√2E=Em√2瞬时值最大值有效值IRRi

交流电压、电流表测量数据为有效值

交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值6大连理工大学电气工程系i=10sin（1000t+30°）Au=311sin（314t－60°）V相位:

ωt+ψ初相位:ψi

=30°

,

ψu

=－60°相位差:

同频率的正弦电量的初相位之差。

i=100sin（314t+30）A

u=311sin（314t－60）V

=ψu

－ψi=－60－30=－90相位初相位三、交流电的相位、初相位、相位差7大连理工大学电气工程系ωti

Oωti

Oωti

Oωti

O0＜＜180°－180°＜

＜0°

=0°=±180°uuuuu与i同相位u超前于iu滞后于iu与i反相8大连理工大学电气工程系ωt

O+1+j

Oψψωωt2ωt1ωt1ωt2(b)正弦交流电(a)旋转矢量3.2正弦交流电的相量表示法+j+1

Oψ正弦交流电可以用一个固定矢量表示Im最大值相量

I有效值相量

Im

I

i=Imsin(ωt+ψ)9大连理工大学电气工程系模辐角代数式指数式极坐标式三角式O+1+jψba

p=c(cosψ+jsinψ)一、复数的表示方法=ce

jψ=cψOp

=a+jb10大连理工大学电气工程系二、复数的运算方法复数的运算：加、减、乘、除法。加、减法：A1±A2=(a1±a2)+

j(b1±b2)

乘法:

A1A2=c1

c2ψ1＋ψ2设：

A1=a1＋jb1=c1ψ1A2=a2＋jb2=c2ψ2

≠０=A1A2c1c2ψ1－ψ2除法：11大连理工大学电气工程系+1O+jψ1e±j90

=

1±90

=±j由于：－jI=Ie

j90=Iejψ·

ej90=Iej(ψ

90)jI1I

jI1则jI=Iej90=Iejψ

·

ej90=Iej(ψ+

90)12大连理工大学电气工程系(2)相量图[例3.2.1]

已知i1

=20sin(ωt+60º)A，i2

=10sin(ωt－45º)A。两者相加的总电流为i，即i=i1

+i2。

(1)求i的数学表达式；(2)

画出相量图；(3)

说明i的最大值是否等于i1和i2的最大值之和，i的有效值是否等于i1和i2的有效值之和，并说明为什么。[解](1)采用相量运算I1m=2060AA–45I2m=10Im=I1m+I2mA=19.930.9

i=Imsin(ωt+ψ)=19.9sin(ωt+30.9)A+j+1O60°30.9°45°I1mI2mIm13大连理工大学电气工程系(3)因为i1

+i2的初相位不同，故最大值和有效值之间不能代数相加。14大连理工大学电气工程系uiRu=i·R=则twsinU2=twsinI2·RitwsinI2=

设twsinIm=twsinUm=3.3单一参数交流电路一、纯电阻电路15大连理工大学电气工程系1.电压、电流的关系(1)波形图(2)

大小关系U

=

RI

Um

=

RImωtOiuU

=

RI如：U=U

0UI则：I=I

0(3)相量关系：u=twsinUm=twsinI2·RitwsinI2=twsinIm=16大连理工大学电气工程系(2)平均功率(有功功率):=

UI(1－cos2ωt)∫pdtP

=T10T=UI(W)

(1)瞬时功率

p=ui=Umsinωt

Imsinωt=UmImsin2ωt

2.功率关系p≥0——耗能元件。p与

u2和

i2成比例。iOωtPp

u17大连理工大学电气工程系[例3.3.1]

一只电熨斗的额定电压UN

=220V，额定功率PN

=500W，把它接到220V的工频交流电源上工作。求电熨斗这时的电流和电阻值。如果连续使用1h，它所消耗的电能是多少？[解]UN500PN220IN

==A=2.27AW=PN

t=（500×1）W·h=0.5kW·hIN220UN2.27R

===96.918大连理工大学电气工程系u，i基本关系式:设：uiC则：二、纯电容电路19大连理工大学电气工程系1.电压、电流的关系(1)频率关系：同频率的正弦量;(2)大小关系:ωC1Um=Im(3)相位关系:ψu

=

ψi

-90°

1ωC容抗:

XC=U

=jXLIU

=

XC

I(4)相量关系:(5)

波形图:ωC1U=I90°wtOui(6)

相量图:UI0U=U如I=I

90则20大连理工大学电气工程系瞬时功率:

p＞0

电容储存电场能量(电能→电场能量)

p＜0

电容释放电场能量(电场能量→电能)Q=UI

=XCI2(3)无功功率:U2XC=(var)2.功率关系(2)平均功率(有功功率)P=0p=UIsin2t21大连理工大学电气工程系[例3.3.2]

今有一只47F的额定电压为20V的无极性电容器，试问：(1)能否接到20V的交流电源上工作；(2)将两只这样的电容器串联后接于工频20V的交流电源上，电路的电流和无功功率是多少？(3)将两只这样的电容器并联后接于1000Hz的交流电源上，电路的电流和无功功率又是多少？[解]故不可以接到

20V的交流电上。√2U=1.414×20V=28.8VUm=(1)(2)C1C2C1+C2C==23.5FQ=UI=20×0.15var=3var12πfCXC

==135.520U所以:135.5XCI==A=0.15A22大连理工大学电气工程系(3)C=C1+

C2=94FQ=UI=10×11.83var=118.3var12

fCXC

==1.69I==AUXC201.69=11.83A23大连理工大学电气工程系dtdiLu=u、i

基本关系式：iuL设=dtdiLu)90sin(2o+=tLIwwcos2=tLI·ww则)90sin(2o+=tUw三、纯电感电路24大连理工大学电气工程系(1)频率关系:同频率的正弦量;(2)大小关系:Um

=ωLIm

U

=ωLI

感抗:

XL=ωL=U/I

U

=XLI(3)

相位关系:ψu=

ψi+90°

(4)

相量关系：1.电压、电流的关系U

=jXLI(5)

波形图:90°ωtOui(6)

相量图：U=U则：90I=I

0如：IU25大连理工大学电气工程系结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐）。2.功率关系

(1)瞬时功率

ωtOiu取用发出取用发出p=ui=Umcosωt

Imsinωt=UIsin2ωtpωtO22232322(3)无功功率=XLU2(var)(2)平均功率(有功功率)

=0∫

pdtT10P=T

=UI=XLI2Q26大连理工大学电气工程系[例3.3.3]有一电感器,电阻可忽略不计,电感L=0.2H。把它接到220V工频交流电源上工作，求电感的电流和无功功率？若改接到100V的另一交流电源上，测得电流为0.8A，此电源的频率是多少？[解](1)接到220V工频交流电源时XL

=

2πfL=62.8U22062.8XLI==A=3.5AQ=UI=220×3.5var=770var(2)接到100V交流电源时XL2

Lf==100Hz100U0.8IXL===12527大连理工大学电气工程系一、R、L、C

串联电路根据KVLU=UR

+UL+UC3.4串联交流电路=RI+jXLI－jXCI=[R+j

(XL－XC)]Iu=uR+

uL+

uC复数阻抗:Z

Z=R+j(XL－XC)=R+jX=√R2+X2

arctan(X/R)uCuL+uRLCi+++uR=[R

+jX

]

I28大连理工大学电气工程系0＜＜90°感性电路阻抗角:=arctan(X/R)=ψu－ψi

阻抗:│Z│=√R2+X2

=U/IuCuL+uRLCi+++uRU=UR+UL+UC电压三角形I

ULUCUCUUX=UL+UCX│Z│R阻抗三角形UR相量图:U=│Z│IUR=RIUX=XI=(XLXＣ)I29大连理工大学电气工程系

＝0I

URULUCUUCULUCUUX=UL+UCIULUR90＜＜90电路呈阻性电路呈容性30大连理工大学电气工程系[例3.4.1]已知U=12V，

R=3，XL

=4。求：1

XC

为何值时（XC≠0

），开关S闭合前后，电流I的有效值不变。这时的电流是多少？2

XC

为何值时，开关S闭合前电流I最大，这时的电流是多少？[解]1开关闭合前后电流I有效值不变，则开关闭合前后电路的阻抗模相等。R2+XL2R2+(XL

XC)2=故

(XL

–

XC)2=XL2ULUCUR＋＋SRjXLjXCI

U＋

因

XC

≠0，求得XC=2XL=2×4=8|Z|=R2+XL2=32+42=5UI|Z|==2.4A31大连理工大学电气工程系2开关闭合前，XL

=

XC时，|Z|最小，电流最大，故XC=

XL=4|Z|=R=3UI|Z|==4A32大连理工大学电气工程系二、阻抗串联电路Z=Z1＋Z2

KVL:U=U1＋U2=ZIU=Z1I＋Z2I=(Z1＋Z2)

IIＵ1Ｕ2ＵZ1Z2－＋++=∑Ri＋j∑Xi

Z=∑Z

i=(R1＋R2)＋j(X1＋X2)33大连理工大学电气工程系[例3.4.2]有一个R、C串联的负载，R=6，

C=159F。由工频的交流电源通过一段导线向它供电，测得电流为1.76A。已知输电线的电阻RW=0.5，电感LW=2mH。试求输电线上的电压降、负载的电压、电源的电压，并画出相量图。[解]XLW

=2

fLW

=0.6280I=1.76AZW

=RW+jXLW=0.5+j0.628

=0.851.5UW=ZWI=1.451.5V12πfCXC

==2073.3VUL=ZLI=36.75ZL

=RjXC=6j20

=20.8873.334大连理工大学电气工程系U

=ZI=3671.45VZ=ZW

+

ZL=0.5+j0.628+6j20

71.45=20.43ULUWIU71.45°35大连理工大学电气工程系3.5并联交流电路Z=Z1∥Z2其中：Z1=R1+

j

XLZ2=R2jXCKCL:R1R2+LCUII1I2Z1Z2I=UUZ1Z2+)UZU)U=I=Z21Z11+(I=I1+I236大连理工大学电气工程系[例3.5.1]已知交流电路U=220V，R1=20Ω

，R2=40Ω

，XL

=157Ω

，XC

=114，试求电路的总电流。[解]方法1:39.60=0.86A0U=220VA=1.3675.70I2Z2=U=22040+j157AIj114Ωj157Ω+UI2

I1jXCjXLR1R220j114I1Z1=U=220A0=II1+I2=（1.980+1.3675.7）A1.90=80A37大连理工大学电气工程系=25539.639.6IZ=U=2550220A=0.8639.6A方法2:20j114+40+j157Z1Z2Z1+Z2Z==（20j114）（40+j157）80=60+j4311616275.738大连理工大学电气工程系∫

pdt10TP=Ti=Imsinωt

u=Umsin(ωt+)

p=ui=UmImsin(ωt+)sinωt=UIcos

+U

Icos(2ωt+)=UIcos3.6交流电路的功率IP

=

Icos称为电流的有功分量IZ+－U二、有功功率

IU一、瞬时功率

IP39大连理工大学电气工程系三、无功功率Q=UIsinIQ=UIsinIQ

——I的无功分量四、视在功率S

=UI

(V·A)

=√P2+Q2PQS

P

=

Scos

Q

=

Ssin

=Ptan功率三角形IQIU

IP40大连理工大学电气工程系

SN

=

UNIN

——

额定容量▲有功功率守恒:

P=∑Pi

=∑Ui

Iicos

i

▲无功功率守恒:

Q=∑Q

i

=∑Ui

Iisin

i

▲视在功率不守恒:

S≠∑S

i

=∑UiIi

▲额定视在功率

41大连理工大学电气工程系[例3.6.1]求电路的总有功功率、无功功率和视在功率。已知数据注明在图上。P=UIcos=220×0.86×cos(039.6)W=146WQ=UIsin

=220×0.86×sin(039.6)var=121varS=UI=220×0.86V·A=190V·A[解]方法1由总电压总电流求总功率I39.6A80=A+R1

75.7=1.36AI2

I1jXCjXL20Ωj114Ωj157Ω40Ω=0.861.900U=220R242大连理工大学电气工程系P=P1+P2=U1I1cos

1+U2I2cos

2=190V·A

S=√P2+Q2Q=Q1+Q2=P1tan1+P2tan2=(411+290)var=121var方法2由支路功率求总功率=(72+74)W=146W=｛2201.9cos(080)+220

1.36

cos[0(75.7)]｝W43大连理工大学电气工程系由元件功率求总功率P=R1I12+R2I22=(20×1.92+40×1.362)W=146WQ=

XC

I12+XLI22=(114×1.92+157×1.362)var=190V·A

S=√P2+Q2=121var解法344大连理工大学电气工程系

一、什么是功率因数功率因数功率因数角纯电阻电路的功率因数为多少？纯电感电路的功率因数为多少？纯电容电路的功率因数为多少？3.7电路的功率因数有功功率与视在功率的比值

=cosPS45大连理工大学电气工程系

纯电阻电路RLC串联电路纯电感电路纯电容电路电动机空载满载

日光灯

二、常用电路的功率因数cosj=1cosj=0cosj=00＜cosj＜

1cosj=0.2~0.3cosj=0.7~0.9cosj=0.5~0.6

三、功率因数和电路参数的关系RZXLXC=arctanXLXCR（）46大连理工大学电气工程系四、功率因数低的害处1.

降低了供电设备的利用率

P=SN

cosjSN——供电设备的容量例如：SN=1000kV·A，cos=0.5时，输出P=?cos=0.9时，输出P=?2.增加了供电设备和输电线路的功率损失

I=P/

(Ucos)当P一定时，cos↓→I↑→功率损失↑而且线路电压降落↑47大连理工大学电气工程系

五、造成功率因数低的原因(1)大马拉小车。(2)电感性负载比较多，无功功率多。六、提高功率因数的办法并联补偿电容。C

U＋－ILR48大连理工大学电气工程系

U＋－iLRC1IＵＩ1I2I2I2=I1sin1

I

sinωCU=(tan1

tan)PUC=(tan1

tan)PωU2

I1=P

Ucos1

I=P

UcosI2=ωCU49大连理工大学电气工程系＊3.8电路中的谐振◆什么叫谐振？

在既有电容又有电感的电路中，当电源的频率和电路的参数符合一定的条件时，电路总电压与总电流的相位相同，整个电路呈电阻性。◆谐振时要注意一些什么？

某些物理量会达到极大值。◆谐振有几种？串联谐振、并联谐振50大连理工大学电气工程系1.谐振的条件及谐振频率

Z=R+j(XL

XC)=R+jX当X=0时:Z=R

=0一、串联谐振——u与i同相位谐振的条件：

谐振频率：√LC

1ωn=fn=2√LC1+RLC+++UURULUCIωnC1→ωnL=XL=XC51大连理工大学电气工程系电压谐振2.串联谐振的特点(3)UL=UC→电压谐振(1)Q

=

0→QL=

QC

0λ=cos

=1(2)L和C

串联部分相当于短路

Z=R=│Z│，最小——电路呈现纯电阻特性(4)品质因数

Q

f=ULUUCU=XLI2

RI2

=IURULUC=

U+RLC+++UURULUCI+UX52大连理工大学电气工程系[例3.8.1]下图为收音机的接收电路，各地电台所发射的无线电电波在天线线圈中分别产生各自频率的微弱的感应电动势e1、e2、e3、…调节可变电容器，使某一频率的信号发生串联谐振，从而使该频率的电台信号在输出端产生较大的才输出电压，以起到选择收听该电台广播的目的。今已知L=0.25mH，C在40～350pF之间可调。求收音机可收听的频率范围。[解]当C=40pF时2√LCf=1=1592kHz=2√0.25×10-3×40×10-121HzRＬCe1e2e3uo+-+-+--+53大连理工大学电气工程系所以可收听的频率范围是538～1592kHz。2√LCf=1当C=350pF时：=538kHz=2√0.25×10-3×350×10-121Hz54大连理工大学电气工程系UIRICIL=

I二、并联谐振×+RCLuiiLiXiCiR1.谐振条件

2.谐振频率√LC

1ωn

=2π√LCf

n=1ωnC1

ωn

L=XL=XC

i

=

iRiX

=055大连理工大学电气工程系3.并联谐振特点λ=cos

=1(4)品质因数：

Q

f=ILIICI=(2)L和C

并联部分相当开路

Z=R=│Z│，最大

——电路呈现纯电阻特性+RCLuiiLiXiCiR(1)Q

=0

QL=

QC

0(3)IL=IC

电流谐振56大连理工大学电气工程系[例3.8.2]下图所示电路中，外加电压含有800Hz和2000Hz两种频率的信号，现要滤掉2000Hz的信号，使电阻R上只有800Hz的信号，若L=12mH，C值应是多少？只要使2000

Hz的信号在LC并联电路中产生并联谐振，ZLC→∞，该信号无法通过，R上只有800Hz的信号。=0.53F[解]uRLC4×3.142×20002×12×10-3=1F4π2f2

LC=1n57大连理工大学电气工程系3.9非正弦周期信号电路非正弦周期信号的分解方法？直流分量、交流分量交流分量——谐波谐波：一次谐波、二次谐波、三次谐波、···高次谐波：三次谐波及三次以上的谐波。非正弦周期信号有效值的计算方法？非正弦周期信号电路的分析方法？58大连理工大学电气工程系一、谐波分析的概念谐波分析:对非正弦周期信号可以用傅里叶级数将它们分解成许多不同频率的正弦分量的方法。u=U0+U1msin(ωt+ψ1)

+U1msin(ωt+ψ1)

+…=U0+Unmsin(nωt+ψn)基波一次谐波二次谐波U02+U12+

U22+

···U=√I02+I12+

I22+

···I=√非正弦周期信号的有效值即方均根：59大连理工大学电气工程系二、非正弦周期信号电路当作用于电路的电源为非正弦周期信号电源，或者电路中含有直流电源和若干个不同频率的正弦交流电源的线性电路可以采用叠加定理。在计算过程中，对于直流分量，可用直流电路的计算方法，要注意电容相当开路，电感相当短路。对于各次谐波分量，可用交流电路的方法，要注意感抗和容抗与频率的比例关系。

电路的总有功功率：P0=U0I0+U1I1cos1+U2I2cos2+···60大连理工大学电气工程系＋RCLui[例3.9.1]R、L、C并联电路，已知i=11sint301sin2t+30A，

=1000rad/s，R=10Ω，C=10F，L=10mH。求电路两端的电压u和它的有效值。[解](1)直流分量单独作用时，由于L相当于短路，故U0=0(2)基波分量单独作用时11CXC1

==1100