广州市荔湾区2023届高一下学期期末考试(数学)

广州市荔湾区2023届高一下学期期末考试数学本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给的四个选项中，只有一个是正确的．1.与角的终边相同的角是A.B.C.D.2.不等式表示的区域在直线的A.左上方B.左下方C.右上方D.右下方3.已知角的终边经过点，则的值是A.B.C.D.4.不等式的解集是A．B．C．D．5.若是第四象限角，则的值是Ａ． B．Ｃ．Ｄ．6.若，下列命题正确的是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则7.要得到函数图象，只需把函数图象A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位8.已知是平行四边形的对角线的交点，为平面内任意—点，则等于A.B.C.D.9.若，则的值是A.B．Ｃ．D．10.已知直角三角形的两条直角边的和等于，则直角三角形的面积的最大值是A.B.C.D.11.已知点在函数的图象上，则数列的前项和的最小值为A．B．C．D．12.若钝角的内角成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为，则的取值范围是 A． B． C．D．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上.13.若向量，则的值为．14.若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围是．15.设实数满足则的最大值是．16.设，则的单调递减区间是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知等比数列的前项和为，公比为，证明：．18．（本小题满分12分）已知平面向量，满足，．（1）若与的夹角，求的值；（2）若，求实数的值.19.（本小题满分12分）在中，内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，，求的面积．20．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且，．（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和．21.(本小题满分12分)某电力部门需在、两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量、两地距离.现测量人员在相距的、两地（假设、、、在同一平面上）测得∠，，，（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为、距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？22.(本小题满分12分)已知为锐角的内角，，，.（1），，能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求的最小值.数学参考答案说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题题号123456789101112答案ADCDBＡCAACBB二、填空题13.14.15.16.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)已知等比数列的前项和为，公比为，证明：．证法1：（错位相减法）因为，…………………2分所以…………………4分…………………6分所以…………………8分当时，有．…………………10分证法2：（叠加法）因为是公比为的等比数列，所以，，…………………2分所以，，…，，…………………6分相加得.…………………8分所以当≠1时，.…………………10分证法3：（拆项法）当≠1时，，…………………2分，……，，…………………8分以上个式子相加得.…………………10分18．（本小题满分12分）已知平面向量，满足，．（1）若与的夹角，求的值；（2）若，求实数的值.题根：《数学4》例1、例2、例4．（综合变式）解：（1），…………………2分…………………3分…………………4分又，，所以，…………………5分所以.…………………6分（2）因为，所以，…………………7分即…………………9分因为，，所以，…………………11分即.…………………12分19.（本小题满分12分）在中，内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，，求的面积．（根据2023课标卷Ⅱ理数17改编，正弦、余弦定理及三角变换的综合问题）解：（1）解法1：由及正弦定理可得.…………………2分在中，，所以.…………………4分由以上两式得，即，…………………5分又，所以．…………………6分解法2：由及余弦定理可得，…………………2分即，…………………3分由余弦定理得由以上两式得，即，…………………5分又，所以．…………………6分（2）的面积，…………………7分由，及余弦定理得，…………………8分因为，所以，即，…………………10分故的面积．………………12分20．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且，．（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项和．题根：《数学5》2.2习题B组第4题.（变式题）解：（1）因为，，…………………1分又，所以，…………………2分即，所以．…………………4分故数列是首项为，公比为的等比数列．…………………6分（2）由（1）得，即．…………………8分所以，……10分故数列的前项和．…12分21.(本小题满分12分)某电力部门需在、两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量、两地距离.现测量人员在相距的、两地（假设、、、在同一平面上）测得∠，，，（如图），假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度为、距离的倍，问施工单位应该准备多长的电线？题根：《数学5》1.2例2.（改编题）解：在中，由已知得，又,所以．……………………2分在中，由已知可得，由正弦定理得.…………………6分在中，由余弦定理得，………9分所以，．……………………10分故施工单位应该准备电线长为.………………12分22.(本小题满分12分)已知为锐角的内角，，，.（1），，能否构成等差数列？并证明你的结论；（2）求的最小值.（据2023年江苏卷第14题改编，三角变换、平面向量、数列及基本不等式的综合问题）解：（1）依题意有.……………2分在中，，所以，………………3分所以.…………………4分因为为锐角三角形，所以，所以，……………5分所以，，成等差数列.……6分（2）法一：在锐角中，，……7分即，………