【教案】导数的概念及其意义（第1课时）教学设计-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用《5.1.1变化率问题》教学设计第1课时教学目标教学目标通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，体会求瞬时速度的一般方法.教学重难点教学重难点教学重点：理解平均速度、瞬时速度的概念及算法教学难点：平均速度与瞬时速度课前准备课前准备PPT课件．教学过程教学过程【导入新课】问题1：阅读课本第58~61页，回答下列问题：（1）本章将要探究哪类问题？（2）本章要探究的对象在高中的地位是怎样的？（3）贯穿本章的一条主线是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结章引言的内容．预设的答案：章引言包括三方面的内容：一是简明地指出了函数与微积分的关系，微积分的研究对象就是函数，正是在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分；二是概述了微积分的创立史，以及它在数学和科学发展中的地位；三是概述了本章的内容和重要思想方法．导数是瞬时变化率的数学表达．章头图展示了生活中最常见的一种变化率——运动速度．速度是学生非常熟悉的物理知识，因此，教科书以高台跳水运动模型（近似看成竖直上抛运动）作为贯穿全章的主线问题，导数概念的引入，函数的单调性、极值与导数之间的关系等都以此为背景，这有利于学生借助同一个典型的运动模型理解导数的概念，并利用导数研究函数的性质．设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步构建学习内容的思维框架．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．回顾：在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多．问题2：进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢？设计意图：通过对函数学习的回顾，帮助学生发现和感受不同函数变化快慢的问题，同时引入新课．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．【探究新知】问题情景在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.思考1：如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？师生活动：直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动的越来越慢，在下降阶段运动的越来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v近似的描述它的运动状态．例如，在这段时间里，；在这段时间里，.知识点1：平均速度一般地，在这段时间里，.问题3：计算运动员在这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？师生活动：学生思考，举手回答，教师讲解．教师总结：我们发现，运动员在这段时间里的平均速度为0.显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.设计意图：通过物体运动问题，抽象出函数平均变化率、平均速度的概念．发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．知识点2：瞬时速度为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.问题4：瞬时速度与平均速度有什么关系？师生活动：学生分小组讨论，每组选出一位代表回答，教师总结、讲解教师总结：设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度.设计意图：通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出平均速度与瞬时速度的概念．发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养．问题5：你能利用平均速度与瞬时速度的关系求运动员在t=1s时的瞬时速度吗？师生活动：学生分小组讨论，每组选出一位代表回答，教师总结、讲解教师讲解：为了求运动员在时的瞬时速度，我们在之后或之前，任意取一个时刻，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当时，在1之后；当时，在1之前.当时，把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动，计算时间段内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在时的瞬时速度.当时，在时间段内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.当时，在时间段内当时，在时间段内…………问题6：给出更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度的值.当无限趋近于0时，平均速度有什么变化趋势？师生活动：学生一起观察、归纳，教师完善．预设的答案：当无限趋近于0，即无论从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于.教师讲解：由可以发现，当无限趋近于0时，也无限趋近于0，所以无限趋近于，这与前面得到的结论一致.数学中，我们把叫做“当无限趋近于0时，的极限”，记为.从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于0时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度.因此，运动员在时的瞬时速度.设计意图：通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出瞬时速度的求解，在此过程中，使学生理解解决瞬时速度问题的方法，感受其中蕴含的极限思想．【巩固练习】例1在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.（1）求运动员在t=2s时的瞬时速度；（2）如何求运动员从起跳到入水过程中在t0某一时刻的瞬时速度？师生活动：学生分小组讨论，每组选出一位代表板演，教师完善预设的答案：（1）由，当无限趋近于0时，也无限趋近于0，所以无限趋近于-14.8，所以运动员在t=2s时的瞬时速度为-14.8m/s.（2）由，当无限趋近于0时，也无限趋近于0，所以无限趋近于，所以运动员在t=t0s时的瞬时速度为()m/s.设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生掌握平均速度与瞬时速度的算法，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养．方法总结:求运动物体瞬时速度的三个步骤:设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s(t)，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：(1)写出时间改变量Δt，位移改变量Δs,Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0);(2)求平均速度：;(3)求瞬时速度v：当Δt→0时，→v是常数.例2．某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1s时的瞬时速度．师生活动：学生单独完成，教师巡视并完善.预设的答案：∵，∴，∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3.即物体在t＝1s时的瞬时速度为3m/s.变式1:在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度．师生活动：学生讨论后完成，教师巡视并完善.预设的答案:求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度．∵，∴，∴物体在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1m/s.变式2:在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.师生活动：学生分组讨论，一代表板演，教师完善.预设的答案:设物体在t0时刻的瞬时速度为9m/s.又，∴，则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4s时的瞬时速度为9m/s.设计意图：通过该典型例题的分析和解决，进一步让学生掌握平均速度与瞬时速度的算法，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养．方法总结:当已知运动物体在t0时刻的瞬时速度求t0时，先利用求瞬时速度的方法和步骤求出瞬时速度，列出方程求t0．练习：教科书P61页练习1、2、3设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1．板书设计：5.1.1变化率问题二、新知探究三、巩固练习1．平均速度的概念例1知识点1：例22．瞬时速度的概念知识2：2．总结概括：平均速度、瞬时速度的概念及求法.3．课堂作业：教科书P70习题5.11、3【目标检测设计】1．物体自由落体的运动方程为，g＝9.8m/s2，若m/s，那么下列说法中正确的是()A．9.8m/s是物体从0s到1s这段时间内的速度B．9.8m/s是1s到(1＋Δt)s这段时间内的速度C．9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速度D．9.8m/s是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速度设计意图：让学生进一步理解平均速度与瞬时速度的概念.2.若质点按照规律运动，则在时的瞬时速度为()A.6 B.18 C.5