大学物理第05章-刚体的转动

第5章刚体的转动本章内容5.1刚体转动的描述5.2转动惯量及计算5.3转动定律5.4转动定律的应用5.5角动量守恒5.6转动中的功和能5.7*进动5.1刚体转动的描述刚体可以看成是很多质元组成的质点系，且在外力作用下，各个质元的相对位置保持不变刚体在受力时不改变形状和体积的物体刚体是固体物件的理想化模型平动和转动平动：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。注：转动：刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。定轴转动：转轴固定不动的转动。P点线速度P点线加速度旋转(切向)加速度向轴(法向)加速度瞬时轴vωrrP×基点O刚体刚体绕O的转动其转轴是可以改变的，反映顺时轴的方向及转动快慢，引入角速度矢量和角加速度矢量5.2转动惯量及计算质元：组成物体的微颗粒元质元对点的角动量为沿转轴Oz的投影为刚体对Oz轴的角动量为令为刚体对Oz轴的转动惯量。刚体的转动惯量与刚体的形状、大小、质量的分布以及转轴的位置有关。结论：对于质量连续分布的刚体：（面质量分布）（线质量分布）（体质量分布）例1.

计算质量为m，长为l的细棒绕一端的转动惯量。oxzdxdmx解：O1.将棒弯一半成90度;2.将Z轴移至细棒中心位置;oR例2.一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心并与盘面垂直的Z轴转动惯量。解：rdr1.将圆盘切成一半;2.将轴平行移至与盘边缘相切处;3.将Z轴移至通过圆心并在圆面上;mRJz平行轴定理若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc，则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是Jc平行轴定理证明:平行=m质心=0

对薄平板刚体的正交轴定理y

rixz

yi

xi

mi

Δ例3.

已知圆盘JZ=0.5mR2,求对圆盘的一条直径的Jx

yxz

圆盘RCm由JJJJJJJmRzyxxyxy=+=ìíî\==142回转半径设物体的总质量为m，刚体对给定轴的转动惯量为J，则定义物体对该转轴的回转半径rG为：z例4.计算钟摆的转动惯量。（已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）ro解：摆杆转动惯量：摆锤转动惯量：解题思路1.确定研究对象属性;2.写出摆杆转动惯量;3.写出摆锤转动惯量;4.计算钟摆转动惯量;5.3转动定律

由质点系对轴的角动量定理，可得两边乘以dt，并积分刚体对定轴的角动量定理：在某一时间段内，作用在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。当J转动惯量是一个恒量时，有或刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。转动定律：转动惯量J是刚体转动惯性的量度例5.质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。解：MmmgTm1?例6.一质量为m，长为l的均质细杆，转轴在o点，距A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动，求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直位置时的角速度和角加速度。解：（1）coBA（2）coBA例7.一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为o，绕中o心旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为）or解drR3-1-4刚体对定轴的角动量守恒定律刚体对定轴的角动量定理恒量当时刚体对定轴的角动量守恒定律：当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时，刚体对该转轴的角动量保持不变。注意：该定律不但适用于刚体，同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。说明：1.物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速度的乘积不变。方向也不变。2.几个物体组成的系统，绕一公共轴转动，则对该公共转轴的合外力矩为零时，该系统对此轴的总角动量守恒常平架回转仪装置轴承光滑，在不太长的时间内，空气与轴摩擦阻力的冲量矩和回转仪的角动量相比是很小的!可近似认为:角动量守恒，矢量方向不变表现为转轴方向不变，大小不变表现为回转仪的恒定角速率转动

军舰的稳定性例8.质量为M0，半径为R的转盘,可绕铅直轴无摩擦转动,初角速度为零,一质量为m的人,在转盘上从静止开始沿半径为r的圆周相对圆盘匀速跑动,如图所示.求当人在转盘上运动一周回到盘上的原位置时,转盘相对地面转过的角度。解：由系统角动量守恒知:设人相对于转盘角速度为orR转盘相对于地的角速度为解题思路写出人的绝对角速度;运用角动量守恒定理;积分求解;3-1-5力矩的功力矩：力矩对刚体所作的功：功率：力矩对刚体的瞬时功率等于力矩和角速度的乘积。3-1-6刚体的定轴转动动能和动能定理zmi第i个质元的动能：整个刚体的转动动能：设在外力矩M的作用下，刚体绕定轴发生角位移d

元功：由转动定律有刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。例9.质量为M，长为2l的均质细棒，在竖直平面内可绕中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为m的小球以速度u垂直落到棒的一端上。设为弹性碰撞。求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度。ou解：由系统角动量守恒解题思路写出角动量守恒表达式;写出机械能守恒表达式;解方程组;小球作为刚体,对定轴角动量为:机械能守恒设碰撞时间为t消去tyou由冲量与冲量矩例10.一长为l，质量为M的杆可绕支点o自由转动。一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。解：角动量守恒：oalv30°子弹作为刚体,射入前的角动量：射入后,子弹与杆作为一个刚体的角动量：机械能守恒：oalv30°例11.一质量为M，半径R的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为多大？mgmMm解：T解题思路写出刚体动能定理表达式;写出质点动能定理表达式;解方程组;由力矩对刚体作功可知：由力对质点作功可知：也可视为力矩对刚体作功!mgmMmT例12.长为l的均质细直杆OA，一端悬于O点铅直下垂，如图所示。一单摆也悬于O点，摆线长也为l，摆球质量为m。现将单摆拉到水平位置后由静止释放，摆球在A处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试求：⑴细直杆的质量M；⑵碰撞后细直杆摆动的最大角度。（忽略一切阻力）解

⑴按角动量守恒定律系统的动能守恒解题思路写出刚体角动量守恒表达式;由动能不变列出表达式;确定质量;写出机械能守恒表达式;计算出角度;解得系统的机械能守恒，有杆与地球构成系统，只有重力做功,机械能守恒初始：，Ek10=

令

EP10=末态：EJko2212=w,

EmglP24=-sinq

则：

12402Jmglowq-=sin

(1)例13.已知均匀直杆质量为m,长为l,初始水平静止,轴光滑,AO=l/4.求杆下摆θ角度后,角速度为多少?轴对杆作用力为多少?解

由平行轴定理

JJmdoc=+2=+=1124748222mlmlml()(2)由(1)、(2)得：

wq=267glsin应用质心运动定理：vvvNmgmac+=$sinlmgNmalcl方向：-+=q

(3)$costmgNmatct方向：

q+=

(4)algcl==4672wqsin

(5)allmgJctlo==444aqcos=37gcosq(6)由(3)(4)(5)(6)可解得：Nmgl=137sin,qNmgt=-47cosqvNmglmgt=-13747sin$cos$qqNmg=+7153162sinqaq==--tgNNtgctgtl11413||()mghmv=122vghÞ=2(1)例14.如图所示已知:M=2m,h,θ=600,求:碰撞后瞬间盘的角速度是多少?P转到x轴时盘的角速度是多少?解

m下落:碰撞t极小，对m+盘系统，冲力远大于重力，故重力对O力矩可忽略，角动量守恒：mvRJocosqw=(2)JMRmRmR=+=122222

(3)由(1)(2)(3)得：wqoghR=22cos

(4)对m+M+地球系统，只有重力做功，E守恒，则：P、x重合时EP=0。令1mgRJJosinqww+=12222(5)由(3)(4)(5)得：wqq=+ghRgR222cossin=+12243RghR.()()q=60oa===MJmgRmRgR222汽车的驱动力、打滑、翻车ＭＦ２Ｆ１一、驱动力问题汽车发动机内的燃气压力推动汽缸内的活塞经过传导动机构传到后轮上，对后轮作用一个驱动力矩Ｍ，而地面给后轮一个摩擦力Ｆ１，（主动轮），前轮为从动轮，有前滑的趋势，地面对前轮有一个向后的摩擦力Ｆ２，只有当Ｆ１＞Ｆ２时，汽车才能前进，如果后轮不能提供足够的摩擦力，此时发生打