单自由度及多自由度系统模态分析

单自由度及多自由度系统

模态分析结构振动分析基本理论一般的振动问题已知激励和振动结构，求系统响应（正问题）已知激励和响应，求系统参数——系统识别（逆问题）已知系统和响应，求激励——荷载识别激励输入振动结构系统响应输出结构振动分析基本理论振动结构模型：空间模型——用于描述结构的物理特性，即质量、刚度和阻尼特性。模态模型——一系列固有频率及相应的模态阻尼系数和模态振型。响应模型——一系列响应函数组成空间模型（质量、阻尼、刚度）模态模型（固有频率，模态振型）响应模型（频率响应、脉冲响应）物理参数识别模态参数识别非参数识别结构振动分析基本理论模态分析：以振动理论为基础，以模态参数为目标的分析方法。理论模态分析实验模态分析（EMA）在理论模态分析中，首先从空间模型开始最终到响应模型。在实验模态分析中，首先从响应特性开始，最终推求空间模型。空间模型（质量、阻尼、刚度）模态模型（固有频率，模态振型）响应模型（频率响应、脉冲响应）单自由度系统脉冲响应函数单自由度系统，承受单位脉冲荷载(t)时，响应为h(t)——单位脉冲响应函数（脉冲响应函数）该式的解为式中，若系统受到任意函数f(t)激励，则响应为（Duhamel积分）：单自由度系统脉冲响应函数单自由度系统频响函数单自由度系统振动微分方程：设系统作用简谐激励稳态位移响应：稳态速度响应：稳态加速度响应：单自由度系统振动微分方程：位移频响函数为稳态位移响应与激励幅值之比：速度频响函数：加速度频响函数：频响函数单自由度系统频响函数频响函数的倒数称为阻抗位移阻抗：速度阻抗：加速度阻抗：单自由度系统频响函数频响函数H()是h(t)的傅里叶变换。若系统的激励为已知此时系统稳态输出为因此脉冲响应函数与频响函数一样是反映振动系统动态特性的量，频响函数在频域内描述系统固有特性，而脉冲响应函数在时域内描述系统固有特性。脉冲响应函数与频响函数是系统识别的基础。线性系统的输入与输出关系根据傅里叶变换时域卷积性质，在时域的卷积在频域应为乘积单位力作用下的系统时域与频域的响应线性系统的输入与输出关系不同激励下频响函数表达式简谐激励下，频响函数定义为系统的稳态响应幅值与激励的幅值之比周期激励f(t)（周期为T）作用下，稳态位移响应为周期T的函数x(t)，都可写为傅里叶级数的形式系统在周期激励下的频响函数定义为在各倍频点上稳态响应幅值与激励的幅值之比瞬态激励f(t)下响应为x(t)，一般可做傅里叶变换系统在瞬态激励下的频响函数定义为在响应与激励的傅里叶变换之比随机振动中，无论是激励和响应信号都不能进行傅里叶变换，只能用概率统计方法来处理。频响函数定义为输出与输入的互功率谱与输入的自功率谱之比不同激励下频响函数表达式单自由度系统频响函数曲线（1）

——粘性阻尼由频响函数表达式可得频响函数复指数形式

式中称为频率比幅频特性相频特性共振幅值点半功率点静变形单自由度系统频响函数曲线（2）频响函数表示成复数形式：其中

实频特性虚频特性单自由度系统频响函数曲线（3）对于任一，根据上式可计算得到对应的一对HR()、HI()值，从而得到复平面上的一条矢量。从0变到∞，矢端将画出变化过程的轨迹，该轨迹近似为一个圆。（Nyquist图）半功率点ω=0，R=1/kω=ΩΩ=∞单自由度系统频响函数曲线（1）

——结构阻尼许多振动结构的阻尼不适用于粘性阻尼描述，这类结构的阻尼主要来源于材料内阻和部件结合面之间的干摩擦，因此引入结构阻尼，又称迟滞阻尼或固体阻尼。结构阻尼频响函数复指数形式

式中称为损耗因子幅频特性相频特性单自由度系统频响函数曲线（2）

——结构阻尼频响函数表示成复数形式：其中

实频特性虚频特性单自由度系统频响函数曲线（3）

——结构阻尼结构阻尼系统的Nyquist圆半径为一常数，是个名副其实的圆，该圆起点=0的坐标为多自由度系统的振动

——无阻尼系统多自由度无阻尼系统的运动方程：1、自由振动设特解代入上式得该方程有非零解的充要条件是其系数矩阵行列式为零，即解得的n个互异正根0i，称为无阻尼系统的固有频率（特征方程的特征值）系统特征方程多自由度系统的振动

——无阻尼系统将0i代入：解得n个线性无关非零矢量i的比例解，通常选择一定方法进行归一化，称为模态振型（特征方程的特征向量）模态振型具有正交性多自由度系统的振动

——粘性阻尼系统多自由度粘性阻尼系统的运动方程：其中设系统受简谐激励，则频响函数矩阵为多自由度系统的振动

——粘性阻尼系统多自由度粘性阻尼系统的运动方程：进行坐标变换，设物理坐标系中矢量x在模态坐标系中的坐标为

，则代入运动方程得多自由度系统的振动

——粘性阻尼系统左乘{s}T，考虑到模态振型的正交性，得ms——第s阶模态质量ks——第s阶模态刚度cs——第s阶模态阻尼系数qs——第s阶模态坐标令，则多自由度系统的振动

——粘性阻尼系统不考虑起始条件，可得位移响应：多自由度系统频响函数令令频响函数物理意义为：在j点作用单位力时，在i点引起的响应i=j时，称为原点频响函数频响函数与模态参数的关系频响函数矩阵中任一行为

如果在结构上的某一固定点i点拾振，轮流激励所有点，即可求得[H]中的一行。（单点拾振法）频响函数与模态参数的关系频响函数矩阵中任一列为

如果在结构上的某一固定点j点激振，在其他各点拾振，即可求得[H]中的一列。（单点激励法）频响函数图像频响函数表达式

频响函数的图像可以看作为一系列单自由度系统的频响函数曲线的迭加。123234频响函数图像

1.H11的幅频及相频曲线（原点频响函数）：共振点反共振点频响函数图像原点频响函数图像特征：在幅频图中，每两个共振峰之间必有一个反共振点；在相频图中，每经过一个共振点相位角滞后180°，每经过一个反共振点，相位角导前180°频响函数图像

2.H21的幅频及相频曲线（跨点频响函数）：共振点反共振点频响函数图像跨点频响函数图像特征：在幅频图中，若相邻模态同相位，在这两个模态之间存在一个反共振点，若相邻模态反相位，则这两个模态之间是一段平滑曲线；123234F结构模态试验技术结构模态实验是要通过某种激励方法，人为地使结构产生振动，提取激励输入和结构响应输出的时域或频域数据；或者在自然环境激励下，现场提取结构的响应输出数据。频响函数矩阵或单位脉冲响应函数矩阵中的任一列或任一行，蕴含了系统全部的模态参数信息。测量方法：SISO：选取一点作单点激振，在所有测量点依次测量响应

或选取一点作测量响应，在所有测量点轮流测量激振SIMO：选取一点作单点激振，在所有测量点同时测量响应MIMO：选取多点同时激振，在所有测量点同时测量响应结构模态试验技术结构模态实验基本步骤：将试验结构以适当的方式支撑起来选择适当方式激励试验结构，通过拾振系统测量，记录激励和响应的时间历程（用时域法往往只需记录响应的时间历程）将记录到的激励和响应时域信号送入A/D（模/数）转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号（采用计算机记录时域信号时，将此步并入2）如果采用频域法进行参数识别，需将上述时域数字信号进行FFT，获得系统的离散频响函数根据离散频响函数或时间历程信号进行参数识别，估算出系统的模态参数试件支承原则：尽量实现实际结构所要求的边界条件支承方式：约束支承方式：将试件安装在基础上

理想状态：基础绝对刚性。（难以达到）

试验中：基础的频响函数值远小于试件结构的频响函数值

基础质量至少为试件质量的10倍试件支承支承方式：自由支承方式：试件处于悬空状态

理想状态：系统具有六个刚体模态（难以达到）

试验中：气、磁悬挂空气弹簧支承模态试验激励方式分为单点激励和多点激励单点激励：对测试结构一次只激励一个点的一个方向，而在其他任何坐标上均没有激励作用。

单点激励是SISO参数识别所要求的激励方式多点激励：对多个点同时施加激振力模态试验激励信号正弦信号步进式正弦激励法自动正弦慢扫描激励快速扫描正弦激励平稳随机信号自然随机信号伪随机信号瞬态随机信号周期伪随机信号模态试验激励信号瞬态冲击信号

一般由锤击法产生阶跃激励

缆绳预拉试件，突然释放或切断缆绳，激起结构对初始位移输入的自由衰减振动响应环境激励激励点选择原则：能激起试验频带内全部模态，而且平均模态位移最大单点随机激励：

不在所要测量的任一阶模态节点上，保证不丢失模态多点随机激励：

能同时激起试验频带内各阶模态测点及测量方法安排测试系统激励设备传感系统分析设备模态实验方法时域模态参数识别方法SIMOMIMOTimeDomainmethodsIndirectmethodsDirectmethodsMDOFMDOFSIMOSISOMIMOLSCEITDCEPRCEERAARMADSPI模态试验设计试件边界条件与支承方式设计和技术实施试验频率范围的确定试验方法（激