量子力学2波函数和薛定谔方程

第二章波函数和

薛定谔方程§2.1波函数的统计解释§2.2态叠加原理§2.3薛定谔方程§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律§2.5定态薛定谔方程§2.6一维无限深方势阱§2.7线性谐振子§2.8势垒贯穿微观粒子的特性是波粒二象性，经典物理无法描述。量子力学引入几个假设，微观粒子是物质波，用波函数完全描述波函数满足波动方程-薛定谔方程几个问题：

如何体现波粒二象性的？

是怎样描述粒子的状态呢？§2.1波函数的统计解释（一）波函数（二）波函数的解释（三）波函数的性质如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：回忆：自由粒子的波函数一、波函数微观粒子的波本质是什么？1、历史上两种错误的看法（1）.波由粒子组成来源：如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布矛盾：单电子衍射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。根源：波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面。电子源感光屏PPOQQO佐证：正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。（2）.粒子由波组成电子是波包。即认为描述粒子的波是由无限多波长不同的平面波迭加而成的波包。来源：孤波。矛盾：波包经过一段时间就会散开。电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？

“电子既不是粒子也不是波”，既不是经典的粒子也不是经典的波， 但是我们也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一”

这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。二、波粒二象性经典概念粒子

1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度经典概念波

1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。电子源感光屏QQOPP再看一下电子的衍射实验1.

强电子束，屏上迅速显示出衍射图样2.

弱电子束(电子一个一个电子射向双缝)屏上就出现了一个个亮点,表明电子是作为完整的颗粒一个一个地到达屏上的3.

弱电子束作长时间曝光屏上出现和强电子束相同的衍射图样电子的波动性电子的粒子性电子的波粒二象性现代的观点：电子、电磁波等在运动传播过程中，表现出波动性，有干涉、衍射特性。当和物质发生相互作用时，表现出粒子性。电子衍射实验的理解：单个电子以场的形式运动，在空间各个位置出现有一定概率——波动性；而一旦出现在某个位置就是整个电子——粒子性三、波函数的几率解释描写粒子的波是概率波。波函数在空间某点的强度（振幅绝对值的平方）和在这点找到粒子的几率成比例。不同于经典物理，量子力学中，微观粒子的物理量没有确定的值，而是有多个可能值，每个值有一定的出现概率。波函数给出每个物理量的可能值及其概率。1926年，Born

提出的波函数的几率解释，它是量子力学的基本原理。微观粒子的波是一种物质波它以波的形式在空间传播，表现出波的特性，如干涉、衍射等；和其他物质相互作用时，表现出一份一份的，即量子性，或粒子性。波函数形式上是波，具有相干叠加性，可以表现出相干性；给出空间位置和其他物理量出现的概率（一旦到那里，就以粒子形式出现在那里），表示出粒子性。在t时刻，r点，dτ=dxdydz体积内，找到粒子的概率是：

2.概率密度：单位体积内找到粒子的几率3.归一性：粒子在全空间出现的概率为1-平方可积1.概率：波函数的模方表示粒子出现在空间的相对概率。4.归一化因子：概率的相对强度有意义，所以，可以给波函数乘上任意常数C，不改变基本性质：Ψ和Φ描述同一态。Ψ是归一化的波函数，用Φ描写：归一化因子5.相因子：归一化后的波函数，也可以乘上任意相因子：相因子6.某些波函数不是平方可积的，如自由粒子波函数作业补充题§2.2态叠加原理一、态叠加原理二、动量空间（表象）的波函数一、态叠加原理微观粒子具有波动性，会产生衍射图样。而干涉和衍射的本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波的干涉的结果产生衍射。因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学的波叠加原理称为态叠加原理。PΨ1Ψ2ΨS1S2电子源感光屏电子穿过狭缝１出现在Ｐ点的几率密度电子穿过狭缝２出现在Ｐ点的几率密度相干项：正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。例：电子双缝衍射一个电子有Ψ1和Ψ2

两种可能的状态，它们的线性叠加也是一种可能状态空间找到电子的几率则是：粒子各种可能态构成空间-Hilbert空间，每个态标记为：态叠加原理：这是态空间中的一个矢量若是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加(其中C1,C2,...,Cn,...为复常数)。 也是体系的一个可能状态。处于Ψ态的体系，部分的处于Ψ1态，部分的处于Ψ2态...，部分的处于Ψn，...，相应的概率分别为：态叠加原理一般表述：例：电子在晶体表面反射后，电子可能以各种不同的动量p

运动。具有确定动量的运动状态用de

Broglie平面波表示根据叠加原理，在晶体表面反射后，电子的状态Ψ可表示成

p取各种可能值的平面波的线性叠加，即而衍射图样正是这些平面波叠加干涉的结果。dΨΨp若动量是连续变化的，求和变成积分：任意的波函数Ψ(r,t)可看做各种不同动量的平面波的叠加：二、动量空间（表象）的波函数其中，动量为p的平面波：它出现的概率：系数C(p)：总结：Ψ和c互为傅里叶变换它们是波函数的两种不同描述方式-坐标表象和动量表象。Ψ是坐标空间波函数；c是动量空间（表象）波函数。两种表象的意义：t时刻，粒子出现在r处的概率密度为；具有动量p的概率密度为。一维情况：经典力学物体运动状态用位置、动量等力学量描述。运动状态随时间变化规律由牛顿方程描述。若知道力学体系的初始条件，利用牛顿方程即可求出体系在任何时刻的运动状态量子力学量子体系的运动状态由波函数(r,t)决定。波函数随时间变化满足什么样方程？若知道量子体系的初始状态，通过波函数随时间变化规律就可预测出量子体系在任何时刻的状态§2.3Schrodinger方程在德布罗意提出粒子波动性后，德拜指出，既然是波，就应该有个波动方程。1926年，薛定谔提出这样一个方程。注意，量子力学中的基本方程实际上是个公设，它既不能由其它理论导出，更不能由经典概念给出，基本方程的正确如否只能由它导出的结论和实验是否符合来检验。一、自由粒子满足的方程对坐标二次微商，得：自由粒子波函数:对

t微商，得：上面的推导过程意味着

能量、动量和微分算符有对应关系：自由粒子有关系：该方程称为Schrodinger方程，也称为波动方程。若粒子处于势场V(r)

中运动，则能动量关系为：二、势场V(r)中运动的粒子三、多粒子体系的Schrodinger方程设体系由N个粒子组成，质量和坐标分别为：体系的总势能包括单个粒子在外场中的势能，粒子间相互作用势能：（一）定域几率守恒（二）再论波函数的性质§2.4粒子流密度和粒子数守恒定律在经典物理中有各种各样的守恒定律，如：电荷、质量等守恒定律，类似定律也存在于量子力学中。在讨论了状态或波函数随时间变化的规律后，我们可以导出这些定律。在讨论了波函数随时间变化的规律后，我们进一步讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。粒子在t时刻r点周围单位体积内粒子出现的几率即几率密度是：一、概率（粒子数）守恒考虑低能非相对论实物粒子情况，因没有粒子的产生和湮灭问题，粒子数保持不变-概率（粒子数）守恒取共轭考虑Schrodinger方程及其共轭式：定义概率流密度：概率（粒子数）守恒的微分形式，与流体力学中连续性方程的形式相同分量形式：练习：求自由粒子波函数的概率流密度1.一维情况2.三维情况可以求出各个分量：实际上：在空间闭区域τ中将上式积分，则有：闭区域V上找到粒子的总概率在单位时间内的增量概率（粒子数）守恒的积分表示式：令V趋于∞，真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零：使用Gauss定理单位时间内通过V的封闭表面S流入（面积分前面的负号）V内的几率SV令V趋于∞，真实的波函数应该是平方可积的，波函数在无穷远处为零，则式右面积分趋于零：讨论：表明，波函数归一化不随时间改变，其物理意义是粒子既未产生也未消灭。概率守恒具有定域性质，当空间某处几率减少了，必然另外一些地方几率增加，使总几率不变，并伴随着某种流来实现这种变化。粒子数守恒是最基本的，可以导出其他守恒：量子力学的质量守恒定律：量子力学的电荷守恒定律：由Born的统计解释可知，描写粒子的波函数已知后，就知道了粒子在空间的几率分布已知ψ(r,t)，则任意力学量的平均值、可能值及相应的几率就都知道了，也就是说，描写粒子状态的一切力学量就都知道了。所以波函数又称为状态波函数或态函数。知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由Schrodinger方程即可确定以后时刻的状态。1、波函数完全描述粒子的状态二、再论波函数的性质2、波函数标准条件概率密度和概率流密度是连续的，要求波函数在空间任一点有限、连续且微商也连续。根据Born统计解释ω=ψ*ψ是粒子出现的概率，要求ψ是r,t的单值函数且有限。概括之，波函数在全空间每一点通常应满足单值、有限、连续三个条件，该条件称为波函数的标准条件。量子力学基本假定I

波函数完全描述粒子的状态量子力学基本假定II

波函数随时间的演化遵从Schrodinger方程三、量子力学基本假定I、II（一）定态Schrodinger方程（二）Hamilton算符和能量本征值方程（三）求解定态问题的步骤（四）定态的性质§2.5定态Schrodinger方程Schrodinger方程就像牛顿方程一样，原则上可以解决量子力学问题。在某些特殊情况下，可以有简化形式。一类普遍、重要的情况是，势能与时间无关（如氢原子）——定态U与t无关可以分离变量令：一、定态Schrodinger方程Schrodinger方程的一般形式为：于是：等式两边是相互无关的物理量，故应等于与

t,r无关的常数（设为E）该方程称为定态Schrodinger方程，ψ(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻ψ(r,0)的定态波函数。此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。由deBroglie关系可知：E就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写的状态时的能量。体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，这种形式的波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。空间波函数ψ(r)可由方程量子力学自然给出定态1.Hamilton算符（2）对定态波函数：这两个算符是相当的，都称为能量算符，称H为哈密顿算符。（1）由薛定谔方程：二、Hamilton算符和能量本征值方程2、能量本征值方程（1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数学物理方法中的本征值方程相似。 数学物理方法中：微分方程+边界条件构成本征值问题；（2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。常量E称为算符

H

的本征值；Ψ称为算符

H的本征函数。（3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。改写成定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数Ψ(r,t)

和在这些态中的能量

E。具体步骤：（1）列出定态薛定谔方程（2）根据波函数三个标准条件求解能量E的本征值问题：三、求解定态问题的步骤（3）写出对应第n个本征值En的定态波函数（5）通过归一化确定归一化系数Cn（4）知道了定态解（特解），薛定谔方程的一般解可写成这些定态波函数的线性叠加，即：（四）定态的性质（2）几率密度与时间无关（1）粒子在空间几率密度与时间无关

综上所述，当Ψ满足下列三个等价条件中的任何一个时，Ψ就是定态波函数：1.Ψ描述的状态其能量有确定的值；2.Ψ满足定态Schrodinger方程；3.|Ψ|2

与t无关。（3）任何不显含t得力学量平均值与t无关§2.6一维无限深方势阱在继续阐述量子力学基本原理之前，先用薛定谔方程来处理一类简单的问题——一维定态问题（一维无限深方势阱，一维谐振子,势垒散射）。处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；一维无限深方势阱问题来源：量子线，一维导体等。一、问题求解求解S—方程步骤：（1）列出各势域的一维S—方程（2）解方程（3）使用波函数标准条件定解（4）定归一化系数（5）讨论-a0aV(x)IIIIII1、列出各势域的S—方程方程可简化为：-a0aV(x)IIIIII22势U(x)分为三个区域，用I、II和III表示，其上的波函数分别为ψI(x),ψII(x)和ψIII(x)2、解方程：简单看，I和III区势能无限大，波函数的有限性要求ψI和ψIII为0；从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁外波函数为0.II区同于经典谐振子3、使用波函数标准条件-a0aV(x)IIIIII波函数连续，要求各区域的波函数在边界处相同：ψI和ψIII为0；为简单，把ψII记为ψ，薛定谔方程的解为：波函数导数在有无穷跳跃处不连续。A和B不能同时为0，因此有两组解：总的：粒子有无穷多个分立总的本征能量：能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。本征波函数：或写成同一形式：由此可见，对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，ψ=0。这样的状态，称为束缚态。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。4、由归一化条件定系数A（1）定态波函数是相反方向传播的平面波形成的驻波5、对解的物理意义讨论能级分立性的本质来源于波动性。在驻波边界下，本征态是一系列驻波，它们的波长分立，因而能量分立；所以，能级分立性不能由薛定谔方程本得到，而是通过边界条件表现出来的。量子力学自然得到能量的分立性！而不需要额外的假设（2）分立能级（3）.束缚态与分立能级粒子被束缚在(-a,a)小区域内，不可能到达无限远处。若粒子被束缚在有限区域内，其状态为束缚态。若粒子可到达无限远处，其状态为非束缚态。一般而言，只要是束缚态，其能级肯定是分立的。束缚态的例子很多：如原子外电子被限制在核外空间，其能级就是一系列束缚态，是分立的。（4）基态与激发态n=1,是能量最低的束缚态——基态与经典最低能量为零不同，这是微观粒子波动性的表现，因为“静止的波”是没有意义的。在经典物理中，粒子的能量可以为零，这意味着粒子静止，即粒子的坐标有确定值且动量为零。但在量子力学中，因为波粒二象性，坐标和动量不能同时确定，因此基态能量不能为零。高于基态的其他束缚态分别称为第一、二、……，激发态相邻两激发态的能量间隔当量子数n很大时，量子效应消失而过渡到经典情况。相对能量间隔为：能量分立性消失波动性消失（5）波函数宇称本例题之所以有确定的宇称源于势场对原点的对称宇称：坐标镜面反射对称性6.关于纳米问题为什么到纳米尺度才能观察到量子效应？

由上面的讨论我们知道对于大量子数n，问题回到经典情况，这就是为什么当我们需要强调量子效应时，必须到纳米尺度时才有意义。电子的deBroglie波长～0.1nmn=1a～0.025nmn=10a～0.25nmn=100a～2.5nmn=1000a～25nmn=10000a～250nm§2.7线性谐振子在经典力学和量子力学中，谐振子都是重要的例子，是少有的几个可以严格求解的例子。本节学习用定态薛定谔方程求解，重点要求掌握关键性结论，不要求学习求解的细节。后面的章节还要学习更简单的求解方法1、经典谐振子量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。其解为x=Asin(ωt+δ)。这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。一、背景自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。axV(x)0V02、为什么研究线性谐振子例：双原子分子两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在x=a处，V有一极小值V0。在x=a附近势可以展开成泰勒级数：axV(x)0V0可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。取新坐标原点为(a,V0)，则势可表示为标准谐振子势的形式：1、方程的建立为简单计，引入无量纲变量ξ代替x，二、线性谐振子的量子力学解是变系数的二阶常微分方程。如果直接用幂级数方法求解，系数递推公式将会非常复杂，常用方法是先求方程的渐近解，然后再求方程再整个区间的解（这也是解薛定谔方程的一种常用方法）1.渐近解：为求解方程，我们先看一下它的渐近解，即当ξ→±∞时波函数ψ的行为。在此情况下，λ<<ξ2，于是方程变为：欲验证解的正确性，可将其代回方程，2、求解其解为：波函数有限性条件要求，当ξ→±∞时，应有c2=0其中H(ξ)必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：

①当ξ有限时，H(ξ)有限；②当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→0。考虑渐近行为，把波函数设为：2.H(ξ)满足的方程保证波函数有限性，要求λ为奇数，相邻能级等间隔：基态（n=0）有非零能量——零点能：3、厄密多项式满足该方程的解是多项式——厄米多项式可写成封闭形式定态波函数：4、讨论（1）ψn具有n宇称（2）

递推关系：（3）

非零基态能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。（4）.波函数的局域性在ξ=0处找到粒子的几率最大；另一方面，在|ξ|≧1处，即在阱外找到粒子的几率不为零。以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在|αx|<1范围中运动。粒子被限制在阱内。然而，量子情况与此不同对于基态，其几率密度是：-101ω0(ξ)n=0n=1n=2（5）.概率密度-3-2-10123E0E1E2ωn(ξ)n=2n=1n=0-11-22-44|10|2-22-44|10|2粒子在原点出现的几率要么最大（n偶），要么为0（n为奇）；粒子可在经典禁区中出现；当n越大时，其几率密度分布与经典几率密度分布越来越接近，当n∞时，量子和经典无差别——当量子数很大时，量子体系过渡到经典情况。§2.8势垒贯穿——一维势散射问题前面两个例子的特点是，无穷远处势能为零，波函数也为零，粒子在有限区域运动，本征态是分立的束缚态；本节讲散射问题，无穷远处势能不为无穷大，因而波函数不为零。没有这个约束，粒子的能量可以取任意的连续谱一、问题势垒穿透是粒子入射被势垒散射的一维运动问题。典型势垒是方势垒，其定义如下：现在的问题是已知粒子以能量E沿x正向入射。0aV(x)V0IIIIIIE二、方程求解（1）E>U0情况三个区域的薛定谔方程：定态波函数ψ1,ψ2,ψ3

分别乘以含时因子exp[-iEt/]即可看出：式中第一项是沿x正向传播的平面波，第二项是沿x负向传播的平面波。由于在x>a区没有反射波，所以C'=0，于是解为：

物理分析利用波函数标准条件来定系数。解单值、有限条件：波函数连续；波函数导数连续综合整理得到关于5个系数的线性方程组：3.求解线性方程组4.透射系数和反射系数求解方程组得:为了定量描述入射粒子透射势垒的几率和被势垒反射的几率，定义透射系数和反射系数。I透射系数：透射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为透射系数D=JD/JIII反射系数：反射波几率流密度与入射波几率流密度之比称为反射系数R=JR/JI几率流密度矢量：其中负号表示与入射波方向相反。则入射波几率流密度由以上二式显然有D+R=1，说明入射粒子一部分贯穿势垒到x>a的III区，另一部分则被势垒反射回来。（2）E<V0情况引入：三、结果讨论（1）散射问题主要是计算透过势垒区的透射系数和反射系数。从以上计算过程看，系数A没有意义，以后计算中，可以设A=1，相当于设入射粒子概率密度为1，则方程简化为：0aV(x)xV0入射波+反射波透射波隧道效应（tunneleffect）粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象。这是纯量子力学效应，是粒子具有波动性的表现。（2）即使E<U0，在一般情况下，透射系数D并不等于零。（3）厚度的影响。估算厚度的影响，假设相对入射能量很高的势垒透射率随厚度增加，e指数减小。对电子，在纳米范围有可观测的透射效应。例1:入射粒子为电子。设E=1eV,V0=2eV,a=2×10-8cm=2Å，算得D≈0.51。若a=5×10-8cm=5Å，则D≈0.024，可见透射系数迅速减小。

质子与电子质量比

μp/μe≈1840。对于a=2Å

则D≈2×10-38。可见透射系数明显的依赖于粒子的质量和势垒的宽度。量子力学提出后，Gamow首先用势垒穿透成功的说明了放射性元素的α衰变现象。例2:入射粒子换成质子。0abV(x)E对每一小方势垒透射