量子力学课程第一章

量子力学课程学习量子力学课程的目的、意义学习量子力学课程的方法学习量子力学的参考书张怿慈《量子力学简明教程》高教出版社曾谨言：《量子力学》卷Ⅰ，科学出版社苏汝铿：《量子力学》，高等教育出版社顾莱纳：《量子力学导论》，北京大学出版社P.A.M.Dirac,ThePrinciplesofQuantumMechanics,ClarendonPress,(1958).量子力学经典著作，有中译本。

第一章绪论

§1.1经典物理学的困难

一、经典物理学的成就（截至1900年）力学：1687年牛顿《自然哲学的数学原理》1736年欧拉《力学》，引入惯量概念，推广到刚体1738年伯努力《流体力学》，推广到流体1788年拉格朗日，拉普拉斯《分析力学》，解析方法解力学问题。只要给出系统受力情况和初始条件，列出方程，解方程后，可以描述以后系统的状态

热学：十九世纪中叶，开尔文、克劳修斯、麦克斯韦、玻尔兹曼利用统计方法，把热学中的宏观物理量归结为与之对应的微观分子或原子运动的统计平均值。电磁学：1785年库仑定律，点电荷间作用力的实验定律 法拉第、安培、焦耳、麦克斯韦等人

1864年得到麦克斯韦方程组：知道电荷（电场的源）电流分布（磁场的源），边界条件，建立方程，解出电磁场二、经典物理学的困难 十九世纪末、二十世纪初，当物理学研究扩展到高速和微观领域时，经典物理学遇到一系列的困难。为了克服这些困难，在高速领域（光速、接近光速）建立了相对论。在微观领域建立了量子力学。

二十世纪初，微观领域遇到的困难包括黑体辐射、光电效应、康普顿效应、氢原子光谱等。

§1.2光的波粒二象性一：光的波动性光的波动性：光的干涉和衍射（实验方面）光的电磁理论（理论方面）二：光的粒子性光的波动性有大量实验事实和光的电磁理论支持，二十世纪初所发现的黑体辐射、光电效应等现象揭示把光看作波动性的局限性。1：黑体辐射黑体：如果一个物体能全部吸收投射到它上面的辐射而无反射，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。图：开有小孔的空腔可以看成黑体对一个保持恒定温度，完全封闭的空腔内的辐射场，实验表明，辐射强度随波长（频率）变化。黑体热辐射的理论与实验结果的比较M1900年瑞利，金斯用经典电动力学和统计物理求得瑞利－金斯公式一个振子的平均能量kT，频率在之间辐射场中，单位体积内频率在之间的能量是此为瑞利－金斯公式。低频（长波）与实验。的振子数为符合，高频与实验不符，用经典物理进行的计算和实验不符。另一位物理学家维恩，由热力学导出维恩辐射公式其中T为平衡温度，C1，C2为常数。这个公式与实验在高频（短波）相符，低频（长波）不符。普朗克提出假设，从理论上推出普朗克辐射公式。空墙壁的原子像线性谐振子那样向空腔内电磁场发射电磁波，电磁波的频率和振子的振动频率相同，单位体积内振子能量为式中表示振子的平均能量（如果按能量均分定理令则会得到瑞利－金斯公式）。（1）

普朗克假设，每一个振子吸收和发射的能量（因此振子的能量只能是一些分立值，，···即(n=1,2,3…)0，焦耳·秒，为普朗克常数）都与频率成正比由统计物理中求平均值公式设；配分函数

＝

＝利用公式上式＝

＝

＝即振子的平均能量代入（1）式（即代替瑞利－金斯公式中的kT）＝此公式给出的辐射能量与的函数关系，得到普朗克公式与实验相符。说明：（1）：普朗克理论关键在于，假设振子的能量去只是分立的，即现在所说的是量子化的。（2）：这是一个违背经典物理的概念。量子化能量（分立能量值）假说是对经典物理的巨大突破，导致了量子力学的诞生。（3）：普朗克公式的推导过程并不完善二：光电效应光电效应：金属受到光的照射，从表面逸出电子的现象叫光电效应。逸出的电子叫光电子。实验表明：（1）对一定的金属，只有当照射光的频率达到或超过一定的值（2）光电流强度（光电子密度）是由入射光的强度决定的，但是光电子的速度（动能）却是由入射光频率决定的。（3）光电子的释放是瞬时的。

经典物理解释不了上述问题。

时，才会有光电子从金属表面射出。1905年，爱因斯坦提出光量子假设：光束是一束光子流，对于频率为的光，每个光子的

当频率为的光子射到金属表面时，金属中大于电子则光电子动能能量为的电子吸收了光子的能量，如果摆脱金属对它的约束所需的功W（逸出功），电子就能从金属中逸出，设逸出功说明：（1）电磁波是由一个一个的光子组成，光波有“粒子性”。

(2)对光子由相对论能量动量关系式取静质量为零，得到设表示沿光传播方向上的单位矢量令则式中则

§1.3原子结构的玻尔理论一、氢原子光谱实验实验指出：氢原子光谱是频率（波长）分立的线光谱，而且原子在正常状态下是稳定的和不辐射的。

经典理论无法解释

图：氢原子光谱1913年玻尔提出氢原子结构模型，成功地解释了氢原子光谱，玻尔理论以下面三个假设为基础。原子系统只能有一系列不连续地能量状态，在这些状态中，电子虽然作加速运动但不辐射能量。这些状态称为稳定状态（定态），相应的能量是E1，E2，E3，┉

）二、玻尔的理论（（2）量子化条件――轨道半径量子化在这些稳定状态轨道上运动的电子的角动量必须满足（3）当原子从一个具有较大能量En的稳定状态跃迁到另一个较低能量Em的稳定状态时，原子发射单色光，其频率由式由牛顿运动定律能量E是动能和势能之和联立以上三式解出

将解出的En代入式中，称为里德堡常数。由此式计算结果与实验相符三、玻尔理论意义

以上旧量子论是拼凑的，不完整的。二十世纪初，经典理论和微观现象之间矛盾充分暴露，人们迫切希望找到一种能统一地解释微观世界，本身又是协调的新理论，旧量子论中那些有意义的假设，启发人们，在它们之中一定有微观世界的重要规律，量子力学就是在这样的历史背景中建立发展的。

量子力学是1923－1927年间建立的两个等价的理论，波动力学和矩阵力学几乎是同时提出的薛定諤――波动力学：从德布罗意物质波出发，导出量子体系的波动方程，薛定諤方程，从而建立波动力学。

海森堡――矩阵力学：认为实际上没有任何实验证实电子有绝对精确轨道，电子轨道是虚构的，物理理论建立在可观测量基础上，从原子辐射频率及强度出发，借助于玻尔的经典理论和量子理论之间的对应原理，建立矩阵力学。

可以证明，矩阵力学、波动力学是等价的，是一种力学规律的两种不同表述，本课程主要讲述波动力学。量子力学的作用，在近代物理，如激光、半导体、核物理得到验证及广泛应用。§1.4微粒的波粒二象性：德布罗意假设

1924年德布罗意提出假设：微观粒子也有波动性，粒子的能量E和动量P与波的频率和波长之间的关系为此式称为德布罗意关系。这种与实物粒子相联系的波称为物质波，又称德布罗意波。

光子和实物粒子的关系式的比较对光子由相对论能量动量关系式取静质量为零，得到所以光子的能量和动量是

从光子的能量和动量去求波长和频率只要其中一个关系式而对一个静止质量。不为零的粒子，要求出它的波长和频率，需要两个独立的式子

实物粒子既然有波动性，为何长期把它看成经典粒子，却没犯什么错误，对照光的波粒二象性。

光照到小孔上:，针孔成像，无波动性。

德布罗意认为，物质粒子的波动性与光相似，h很小，实物粒子波长很短，一般宏观条件下，波动性不表现出来，用经典力学处理是恰当的。当孔径a≈波长，圆孔衍射花样，光有波动性。当孔径a远大于波长

例1：计算一个电子和一个乒乓球的德布罗意波长，已知电子的加速电压为10伏，乒乓球的质量为10克，速率为5米/秒。解：对于电子德布罗意波长对乒乓球说明：宏观物体的德布罗意波长是很短的，同宏观物体本身的大小相比，这种不可能表现出来。--用经典力学2.微观粒子（如原子中的电子），其德布罗意波长和环境处于同样的数量级物质粒子波动性明显表现出来，经典力学无效。处理原子中粒子的运动――用量子力学

二：德布罗意假设的实验验证如果观察到实物粒子的衍射和干涉现象，就证明了粒子的波动性。

1927年，戴维逊和革末实验证明电子在Ni单晶上反射后产生衍射。当条件d是