a第2讲力系的等效与简化

力系的等效与简化

EquivalenceandReductionofaForceSystem

第二讲张宇主讲

力系的实例力系的等效与简化力系(forcesystem):

作用在物体上的一组力张宇主讲—有效推进力飞机向前飞行—有效升力飞机上升—侧向力飞机侧移—滚转力矩飞机绕x轴滚转—偏航力矩飞机转弯—俯仰力矩飞机仰头力系的等效与简化张宇主讲问题是什么？问题的表面——力的集合看起来很麻烦，计算起来也很麻烦如何把复杂的变简单？F1F2FnF3M1Mn力系的等效与简化张宇主讲问题的性质是什么？需要考虑到——复杂变简单后，不改变力的作用效应（含义深刻）等效理论力系的等效与简化张宇主讲解决问题的方法是什么？简化理论力系的等效与简化张宇主讲引言需要建立或者重新认识的几个关键概念

力系

力对点之矩力对轴之矩

力系的基本特征

特殊的力系—力偶

等效简化

以上是本讲的关键概念，要特别加以注意，这几个概念也构成了本部分内容的纲要。力系的等效与简化张宇主讲等效力系(equivalentforcesystem):

对同一刚体产生相同作用效应的力系力系(forcesystem):

作用在物体上的一组力合力(resultantforce):与某力系等效的力平衡力系(forcesysteminequilibrium):

对刚体不产生任何作用效应的力系力系张宇主讲若汇交力系中，力的作用线在同一平面内，则称为平面汇交力系(concurrentcoplanarforcesystem)。

若汇交力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为空间汇交力系(concurrentnoncoplanarforcesystem)。AA汇交力系(concurrentforcesystem):力作用线汇交于一点的力系。力系张宇主讲一、几何法（矢量法）力多边形设为作用在A点的力系，求其合力结论：合力为力多边形的封闭边（直观但不便于运算）设为作用在A点的共点力系A力系张宇主讲二、解析法(投影法、代数法)xyzA其中：是合力矢量与三个坐标轴的夹角力系（便于运算但比较抽象）张宇主讲三、几何平衡条件结论：力多边形自行封闭特点：利用几何法（矢量法），便于定性分析平衡问题。力系张宇主讲四、解析平衡条件有三个独立的平衡方程有两个独立的平衡方程结论：满足平衡方程特点：利用解析法，便于定量分析平衡问题。xyzA空间力系平面力系力系张宇主讲AF

h问题的继续提出张宇主讲F问题的继续提出张宇主讲力对点之矩

力对点之矩张宇主讲

物理学中已经阐明，力对点之矩（momentofaforceaboutapoint）是力使物体绕某一点转动效应的量度。这一点称为力矩中心（centerofmoment），简称矩心。

力对点之矩张宇主讲AFBh力对点之矩张宇主讲脊椎骨受损敏感点请同学们配合我进行演示力对点之矩张宇主讲xyzO1、力对点之矩的数学描述（关键是如何描述转动效应）（1）矢量表示式（直观）rFd力对点之矩张宇主讲力矩矢量的方向

M=r

F按右手定则FrMO力系的等效与简化张宇主讲（2）解析表示式（便于运算）力对点之矩在轴上的投影：xyzijkrFxyz力对点之矩张宇主讲2、合力矩定理：则有：若作用在刚体上的力系存在合力力对点之矩张宇主讲AFBhh——力臂

O——

矩心MO（F）——代数量（标量）“＋”——使物体逆时针转时力矩为正；“－”——使物体顺时针转时力矩为负。力对点之矩3、平面力对点之矩张宇主讲

力矩与合力矩的解析表达式xAFFxFyOyxy平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。4、平面合力矩定理力对点之矩张宇主讲FnOrFrF例题h

已知：Fn，，r求：力Fn

块对轮心O的力矩。直接计算利用全力之矩定理计算解：（1）（2）力对点之矩张宇主讲力对轴之矩

力对轴之矩张宇主讲

定义:

力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴之矩。力对轴之矩的定义力系的等效与简化张宇主讲FFFzFxFy

力对轴之矩实例力系的等效与简化张宇主讲力对轴之矩(momentofaforceaboutanaxis)Fzod逆时针＋，顺时针－F力对轴之矩张宇主讲问题：如果已知：如何求力F对z轴之矩xzijkyFyxz力对轴之矩计算公式（工程中普遍使用）问题：力对轴之矩与力对点之矩有什么关系？力对轴之矩张宇主讲问题：力对轴之矩与力对点之矩有什么关系？力对轴之矩第一，力对点之矩是矢量，力对轴之矩是不是矢量？第二，力对轴之矩与力对点之矩有什么关系？张宇主讲力对轴之矩代数量的正负号力系的等效与简化张宇主讲力对轴之矩与力对点之矩的关系Mz(F)(x,y,z)）Fxy力系的等效与简化结论：力对点之矩的矢量在某一轴上的投影,等于这一力对该轴之矩。张宇主讲力对轴之矩力对点之矩在各坐标轴上的投影结论：力对点之矩的矢量在某一轴上的投影,等于这一力对该轴之矩。xyzOrF力对轴之矩张宇主讲xzFyOA例：在棱长为b的正方体上作用有一力F，求该力对x、y、z

轴之矩以及对OA轴之矩。解：力对轴之矩张宇主讲力系的主矢和主矩

力系的主矢和主矩张宇主讲力系的主矢FRMAx

一般力系（F1，F2，…，Fn）中所有力的矢量和，称为力系的主矢量，简称为主矢（principalvector），即力系的主矢和主矩张宇主讲主矢仅与各力的大小和方向有关，主矢不涉及作用点和作用线,因而主矢是自由矢。力系主矢的特点对于给定的力系，主矢唯一；力系的主矢力系的主矢和主矩张宇主讲力系的主矩FRMAx

力系中所有力对于同一点之矩的矢量和，称为力系对这一点的主矩（principalmoment），即力系的主矢和主矩张宇主讲力系主矩的特点力系主矩是定位矢,其作用点为矩心。力系主矩MO与矩心(O)的位置有关;力系的主矩力系的等效与简化张宇主讲力系等效定理

力系的等效与简化张宇主讲怎样判断不同力系的运动效应是否相同？如何判断力系等效MCFBFA力系1FCMEMD力系2力系的等效与简化张宇主讲所谓力系等效是指不同的力系对于同一物体所产生的运动效应是相同的。两个力系对刚体运动效应相同的条件是：主矢相等和对同一点的主矩相等。力系等效定理力系的等效与简化张宇主讲力偶与力偶系

力系的等效与简化张宇主讲1、力偶的定义

大小相等,方向相反,不共线的两个平行力所组成的力系，称为力偶（couple）。力系的等效与简化F1F2张宇主讲力偶实例F1F2F1＝－F2力系的等效与简化张宇主讲

二力作用线之间的垂直距离-力偶臂（armofacouple）。力偶的作用面与力偶臂F1F2

二力所在平面-力偶作用面（actingplaneofacouple）。力系的等效与简化张宇主讲ABFF’2、力偶矩(momentofacouple)FABF’dM注：力偶矩矢量垂直于力偶所在的平面，其大小和方向与取矩点无关。O力偶矩张宇主讲3、力偶的等效条件和性质1）力偶的等效条件(定理）两个力偶等效的条件是它们的力偶矩相等ABCD力偶矩张宇主讲力偶的表示MMM力系的等效与简化张宇主讲2）力偶的性质性质一

力偶不能与一个力等效力偶的性质张宇主讲2）力偶的性质性质二

力偶可在其作用面内任意移动（或移到另一平行平面),而不改变对刚体的作用效应ABAB力偶的性质张宇主讲性质三

只要力偶矩矢量的方向和大小不变（F，d

可变），则力偶对刚体的作用效应就不变。AB力偶的性质张宇主讲4、力偶系的合成设作用于刚体上的两个力偶结论：两个力偶的合成仍然为力偶，且力偶系的合成张宇主讲平衡的充分必要条件:空间力偶系的平衡条件：平面力偶系的平衡条件：作用于刚体上的力偶系合成为一力偶力偶系的平衡张宇主讲举例力系的等效与简化张宇主讲讨论题

试:画出AB和BDC杆的受力图；

求A、C二处的约束力。已知:结构受力如图所示,图中M,r均为已知,且l=2r.力系的等效与简化张宇主讲1.AB杆为二力杆;受力分析:2.

BDC杆的A、B二处分别受有一个方向虽然未知、但可以判断出的力。力系的等效与简化张宇主讲力系的等效与简化张宇主讲ABOABO（A）（B）例：结构如图所示，已知主动力偶

M，哪种情况铰链的约束力较小（不计构件自重）。1、研究OA杆2、研究AB杆力偶系的平衡张宇主讲ABO思考题：结构如图所示，已知各杆均作用一个主动力偶M，确定各个铰链约束力的方向（不计构件自重）力偶系的平衡张宇主讲CADB研究BD研究AC例:求当系统平衡时,力偶应满足的关系。ABDD力偶系的平衡张宇主讲空间一般力系(generalnoncoplanarforcesystem)：

力作用线在空间任意分布的力系？问题：力系的简化张宇主讲力系的简化

所谓力系的简化，就是将由若干力和力偶所组成的一般力系，变为一个力，或一个力偶，或者一个力和一个力偶的简单的、但是等效的情形。这一过程称为力系的简化(reductionofaforcesystem)。力系简化的基础是力向一点的平移定理力系的等效与简化张宇主讲一、力的移动1、力沿作用线移动加减平衡力系原理：

在刚体上增加或减去一组平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效应AB若则FFABFF’F”ABFF’F”ABF’F力系的简化张宇主讲刚体变形体定理：作用在刚体上的力，沿其作用线移动后，作用效应不变。作用于刚体上力的三要素：大小、方向、作用线力系的简化张宇主讲2、力向一点的平移FABFABFABF’F”力的平移定理F’ABMBrBA力系的简化张宇主讲力系的简化★可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。张宇主讲(b)F为什么钉子有时会折弯？FF(a)(b)图示两圆盘运动形式是否一样？M′F′FM力系的等效与简化张宇主讲你能不能自己举几个实际的例子来描述力向一点的简化？力系的等效与简化张宇主讲力系的等效与简化张宇主讲力系的简化对于平面任意力系一、向一点的简化二、简化结果：主矢和主矩三、简化结果分析对于空间任意力系一、向一点的简化二、简化结果：主矢和主矩三、简化结果分析力系的等效与简化张宇主讲F3F1F2OOOFR′MOF1′M1F1=F1′M1=MO(F1)F2′M2F2=F2′M2=MO(F2)F3′M3F3=F3′M3=MO(F3)简化中心OFR=F1+F2+F3=F1+F2+F3

MO=M1+M2+M3=MO(F2)+MO(F2)+MO(F3)′′′′力系的等效与简化

平面任意力系向作用面内一点的简化·主矢和主矩张宇主讲主矢FR′MO主矩OxyMOFR′★平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个力偶的矩等于力系对于点O的主矩。力系的等效与简化张宇主讲●

FR=0，MO≠0′●

FR≠

0，MO=0′●

FR≠

0，MO

≠0′●

FR=0，MO=0′1.平面任意力系简化为一个力偶的情形●

FR=0，MO≠0′★因为力偶对于平面内任意一点的矩都相同，因此当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择无关。力系的等效与简化平面任意力系的简化结果分析张宇主讲′O′FRO2.平面任意力系简化为一个合力的情形●

FR≠

0，MO=0′合力的作用线通过简化中心●

FR≠

0，MO

≠0′FROO′dFRFR′′dFR′OMoO′力系的等效与简化张宇主讲●

FR=0，MO=0′原力系平衡3.平面任意力系平衡的情形力系的等效与简化张宇主讲O二、空间任意力系向一点简化主矢主矩FR

一个作用在O点上的力,MO

一个作用在刚体上的力偶（与简化点无关）（与简化点有关）OABCoO称为简化点力系的简化张宇主讲三、空间任意力系简化的最后结果空间任意力系简化结果平衡合力合力偶2、1、3、4、?力系的简化张宇主讲oMoo1FR●

FR≠

0，MO

≠0且

FR⊥MO′′o1FR′′FRdo力系的等效与简化张宇主讲●

FR≠

0，Mo≠0且FR∥Mo′′OMoOMoOO力螺旋左螺旋右螺旋力系的等效与简化张宇主讲OMo′′Mo′●

FR≠

0，MO≠0，且为一般状态′OFRO1Mo′dOMo力系的等效与简化一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋张宇主讲结论与讨论力系的等效与简化张宇主讲结论与讨论对于重力——把分布力简化成集中力的分析力系的等效与简化张宇主讲力系的等效与简化张宇主讲结论与讨论力系简化在固定端约束力分析中的应用力系的等效与简化张宇主讲力系简化结果的应用固定端约束的约束力平面载荷作用的情形力系的等效与简化张宇主讲

FA

x;FAy;MA平面分布约束力简化结果:力系简化结果的应用固定端约束的约束力力系的等效与简化张宇主讲FAxFAy一般力系简化结果的应用固定端约束的约束力力系的等效与简化张宇主讲固定端约束的实例力系的等效与简化张宇主讲力系的等效与简化张宇主讲铰链约束与固定端约束结论与讨论力系的等效与简化张宇主讲这两种约束