正弦定理典型例题与知识点

正弦定理教学重点：正弦定理教学难点：正弦定理的正确理解和娴熟运用,边角转化。多解问题1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即==2.三角形面积公式在随意斜△ABC当中S△ABC=3.正弦定理的推论：===2R（R为△ABC外接圆半径）4.正弦定理解三角形1）已知两角和随意一边，求其它两边和一角；2）已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。3）已知a,b和A,用正弦定理求B时的各种状况:（多解状况）eq\o\ac(○,1)若A为锐角时:eq\o\ac(○,2)若A为直角或钝角时:1,已知中，，，则角等于(D)A．

B．

C．

D．2,ΔABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若sinA=，b=sin

B，则a等于

(D)

A．3

B．

C．

D．1.在中，若，则肯定是()A,等腰三角形B,直角三角形C,等腰直角三角形D,等腰或直角三角形解析：[∵∴]3.在△ABC中，C=，则的最大值是_______________.[解析]∵在△ABC中，C=，∴，∵∴∴时，取得最大值。4.若中，，则角C的大小是__________解析7.在△ABC中，已知，，试推断△ABC的形态。解：由正弦定理得：，，。所以由可得：，即：。又已知，所以，所以，即，因而。故由得：，。所以，△ABC为等边三角形。６．在中，是成立的(C)Ａ．必要不充分条件Ｂ．充分不必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若c=，b=，B=120°,则a等于（）A.B.2 C.D.答案D3.下列推断中正确的是（）A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解答案B4.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC,则△ABC肯定是（）A.等腰直角三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等边三角形答案B10.在△ABC中，已知a=,b=,B=45°,求A,C和c.解∵B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解.由正弦定理得sinA===,则A为60°或120°.①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°,c====.②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,c====.故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=或A=120°,C=15°,c=.12.在△ABC中，a,b,c分别表示三个内角A,B,C的对边，假如（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），推断三角形的形态.解方法一已知等式可化为a2［sin（A-B）-sin（A+B）］=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］∴2a2cosAsinB=2b2cosBsin由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=-B,∴△ABC为等腰或直角三角形.方法二同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcos由正,余弦定理,可得a2b=b2a∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0∴a=b或a2+b2=c2∴△ABC为等腰或直角三角形.2．在△ABC中，已知∠B＝45°，c＝2eq\r(2)，b＝eq\f(4\r(3),3)，则∠A等于()A．15°B．75°C．105°D．75°或15°解析：依据正弦定理eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sinB)，sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(2\r(2)×\f(\r(2),2),\f(4\r(3),3))＝eq\f(\r(3),2).∴C＝60°或C＝120°，因此A＝75°或A＝15°.答案：D例1已知a,b为△ABC的边，A,B分别是a,b的对角，且，求的值.解：∵(这是角的关系)，∴(这是边的关系)于是，由合比定理得例2已知△ABC中，三边a,b,c所对的角分别是A,B,C，