第4章空间力系

第四章空间力系1第四章空间力系m2＝Pr2PFByxyzFBzFCzFCy作用在物体上的力系，其作用线分布在空间，而且不能简化到某一平面时，这种力系就称为空间力系。Fm1＝Fr1PFCBAE2§4—1空间汇交力系

一、力在空间直角坐标系上的投影1、直接投影法已知力与x、y、z

轴夹角，即力的方向角α、β、γ。

Fx＝FcosαFy＝FcosβFz＝Fcosγ90FyFzOFxyzαβγFx3xzφFyOγ已知力F与z

轴夹角γ，以及在与该轴垂直平面上的投影与另一轴的夹角φ。(2)Fxy向x、y轴投影Fz＝FcosγFxy＝Fsinγ(1)F向z轴和xy

面投影Fx＝FsinγcosφFy＝FsinγsinφFzFxFyFx＝FsinγcosφFy＝FsinγsinφFz＝Fcosγ2．二次投影法Fxy43、投影与分力的关系在直角坐标系中，投影与分力的关系和平面问题完全相同。力对同向平行轴的投影相等。（空间问题往往作辅助坐标轴）力投影（1）投影的绝对值＝分力的大小。（2）投影的符号为正，分力与相应坐标轴的方向一致。将力沿坐标轴分解，如图。FyFzFxFzFyFxOFxyzαβγ5Fyxzx’z’y’例：半径为r的斜齿轮，其上作用有力F。求力F沿坐标轴的投影。作辅助坐标轴x’y’z’。分解FxyFxy＝Fcos(1)先分解FFa

＝Fcos

cos(轴向力)Ft

＝Fcos

sin(圆周力或切向力)解：Fr

＝

Fsin(径向力)FrFxyFtFaxzFtFr(2)

求F在x、y、z轴投影。Fz＝－Fr

＝－

FsinFx

＝Ft

＝Fcos

sinFy

＝－Fa

＝－Fcos

cosxyFaFtFxyα压力角、β螺旋角6二、空间汇交力系的合力与平衡条件合力投影定理空间汇交力系的合力

合力的大小方向余弦空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点.7空间汇交力系平衡的充分必要条件是：空间汇交力系的平衡方程该力系的合力等于零，即空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零。注意：看懂题——看清图——必要时作辅助图8EzABy30oFθFAP例2已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；CBD与平面成30o，求：杆受力及绳拉力。EDxzABCy30oFθPx’解：研究对象：起重杆AB解得：FAF1F2∠CBE＝∠DBE＝45o9平面上力对一点之矩，实际上为力使物体对过该点与平面垂直的轴的力矩。即：xyF平面上实际中，当力不作用在垂直与转轴的平面内时，力也可使物体转动。仅有平面上力对点的力矩的概念是不够的。§4—2力对点的矩和力对轴之矩yxz空间F10§4–2力对点的矩和力对轴的矩(1)作用面：力矩作用面。（力和矩心确定的平面）(2)方向：转动方向。(3）大小：力F与力臂的乘积。空间力对点之矩与下列因素有关：xzyFF11BOxyzhA(x,y,z)1、

力对点的矩用矢量表示——力矩矢§4–2力对点的矩和力对轴的矩方位：力矩作用面法线；指向：右手螺旋法则。大小：定义式：12力矩矢量在坐标轴上的投影：

力矩矢的起点：力对点之矩大小和方向都与矩心Ｏ位置有关，故力矩矢的起点必须在Ｏ点。所以力对点之矩为定点矢量(定位矢量)。BOxyzA(x,y,z)13hBzyOx2、力对轴之矩是力使物体绕轴转动效果的度量。分解Fxy在与z轴垂直的xy面内FFz

∥

z经验可知：Fz不能使门转动。只有Fxy对门有转动效应。且这种转动效应与力Fxy的大小及其作用线到点O的距离有关。为代数量即：力对轴之矩，等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点之矩。Fz

Fxy

力对轴之矩定义式为：FA14逆z轴看，Fxy使物体绕O点逆时针转动为正，反之为负。符号规定：右手螺旋法则：四指屈向表Fxy绕O点转动方向，拇指与z轴指向一致为正，反之为负。>0zOFxyFxy<0zOFxy为代数量2、力对轴之矩15力对轴之矩为代数量即：力对轴之矩，等于力在垂直于该轴的平面上的投影对轴与平面交点之矩。1、力与轴平行，矩为零。即：力与轴位于同一平面内时，力对轴之矩为零。2、力与轴相交，矩为零。特殊情况：zyOxF1F2F16合力矩定理空间任意力系的合力对于任一轴的矩等于力系中所有各力对于该轴的矩的代数和。（用于求力矩）17力对轴之矩的解析式：xyzzyx以矩心Ｏ为原点。计算力对轴之矩，常用合力矩定理。力对点之矩在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴之矩。对照：O同理：A(x,y,z)18所以，欲求力对一点之矩，可先求力对过该点三个直角坐标轴的矩。理论分析——用力对点之矩。实际计算——用力对轴之矩。注意：19x’z’解：laθDlABCExzy例4-4直角手柄ABCDE在平面Axy内，力F在垂直与y轴的平面内如图。求力F对x、y、z轴的力矩。（方法1）利用合力矩定理（方法2）利用解析式求力的投影力作用点坐标分解力F20§4–3空间力偶400N400N0.2m0.5m0.5m讨论空间力偶对物体的作用效果（1）大小：力与力偶臂的乘积；（3）作用面：力偶作用面。

（2）方向：转动方向；400N400N400N400N1000N1000N21dCAB大小：力乘以力偶臂Fd=2∆ABC。方位：力偶作用面法线。转向：右手螺旋法则。力偶矩矢定义式：22ABO力偶的性质（3）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。(2）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。(1)力偶没有合力，力偶平衡只能由力偶来平衡。23AB2、空间力偶等效定理作用在同一刚体上的两个力偶，如果力偶矩矢相等，则它们彼此等效。力对点之矩为定点矢量。ABC力为滑移矢量。只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，可以同时改变力的大小与力偶臂的长短，且作用面可以平行移动，对刚体的作用效果不变。空间力偶矩矢为自由矢量。24与汇交力系的合成相同，对于空间力偶系：3．力偶系的合成与平衡条件（证明P80自习）为合力偶矩矢，等于各分力偶矩矢的矢量和。25合力偶矩矢的大小和方向余弦:合矢量投影定理：合力偶矩矢力偶系的合成（与汇交力系的计算完全相同）26空间力偶系的平衡方程.空间力偶系平衡的充分必要条件是：合力偶矩矢等于零。即：27把各力偶矩矢平行移到一点。求力偶在坐标轴的投影解：45o例4-5已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削力偶矩均为80N·m。求：工件所受合力偶矩在x、y、z

轴上的投影Mx、My、Mz

。xzyll45oxzyA28解：解得例4-6

已知：两圆盘半径均为200mm，AB=800mm，圆盘面O1垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N，F2=5N，构件自重不计，求：轴承A，B处的约束力。yzxABF1F2F’1F’2OO1O2研究对象：整体FAxFBxFAzFBz29xzyOxzyOxzyO§4–4

空间任意力系向一点的简化·主矢和主矩1．空间任意力系向一点的简化空间任意力系空间汇交力系空间力偶系30称为原力系的主矩称为原力系的主矢空间力偶系的合力偶矩空间汇交力系的合力1．空间任意力系向一点的简化31xzyO空间任意力系的主矩，大小方向一般与简化中心有关。xzyOD空间任意力系的主矢，大小方向与简化中心无关。DxzyOD空间任意力系向不同点O、D简化后，主矩的关系式。32—有效推进力飞机向前飞行—有效升力飞机上升—侧向力飞机侧移—滚转力矩飞机绕x轴滚转—偏航力矩飞机转弯—俯仰力矩飞机仰头飞机所受的全部力向重心简化的主矢和主矩，沿三个坐标轴方向的分量。33（1）（3）（2）（4）原力系的合力偶矩，大小方向与简化中心无关。（1）简化为一个合力偶的情况。2．空间任意力系的简化结果分析（最终结果）34O’dOO当原力系的合力，大小方向与简化中心有关。（2）简化为一个合力的情况。2．空间任意力系的简化结果分析（最终结果）O’O35（3）简化为一个力螺旋的情况。OOOO力螺旋是由静力学的两个基本要素力和力偶组成的最简单的力系。不能进一步合成。力的作用线为中心轴。右螺旋左螺旋2．空间任意力系的简化结果分析（最终结果）36（3）简化为一个力螺旋的情况。OOO’dOθ（4）空间任意力系平衡的情况。一般情况下，，都可以简化为一个力螺旋。37§4–5

空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件：该力系的主矢、主矩分别为零。1.空间任意力系的平衡方程空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和等于零，以及所有各力对于每一个坐标轴的矩的代数和等于零。6个独立方程，求解6个未知量。38空间平行力系的平衡方程3个独立方程，求解3个未知量。F1F2FnxzOy392.空间约束类型举例约束力(反力)：约束给予被约束物体的阻碍运动的力。观察被约束物体在空间可能的6种独立的位移中（沿x、y、z的移动和绕此三轴的转动）有哪几种位移被约束所阻碍。阻碍移动的是约束力，阻碍转动的是约束力偶。确定约束的约束力个数的方法

：P88401.2m2m0.2m0.2m0.6m0.6mOP1PABCDE例题4－7三轮小车，自重P＝8kN，载荷P1＝10kN。求小车静止时地面对车轮的约束力。yzxFAFBFD研究对象：小车解：承受空间平行力系41yzxθβF200200200F1F2DABR例题4-8

已知如图：皮带直径D＝400mm，拉力F2＝2F1,θ＝30O,β＝60O。曲柄R=300mm,作用铅垂力F＝2000N,求皮带张力和轴承反力。解：研究对象：曲轴F1z’Dx’RF2θβFFBzFBxFAxFAz4238848876DABCFxFyFzFrFtr例

车床主轴。车刀的切削力Fx=4.25kN，Fy=6.8kN，Fz=17kN。齿轮C的啮合力Ft＝0.36Fr，节圆半径R=50mm,工件的半径r=30mm。切削时工件等速转动。

求（1）齿轮C的啮合力；（2）轴承A、B

的约束力；（3）三爪卡盘对工件的约束力。FBxFBzFByyzxFAxFAz

FzFxxzFtFrrR100x’z’解（1）研究对象：轴43例

已知Fx=4.25kN，Fy=6.8kN，Fz=17kN。Ft＝0.36Fr，R=50mm,r=30mm。求（1）啮合力；（2）轴承约束力z38848876DABCFxFyFzFrFtrFBxFBzFByyxFAxFAz

FzFxxzFtFrrRx’z’解44例车刀的切削力Fx=4.25kN，Fy=6.8kN，Fz=17kN。求（3）三爪卡盘对工件的约束力。30100FxFzFyMzxzyOFOyFOzFOxMx解（1）研究对象：工件My45对于空间力系，相互独立的平衡方程有6个，可以根据题意列出多个力矩方程，灵活求解问题。平面力系的平衡方程有基本式、二矩式、三矩式。力矩平衡方程形式简单，求解方便。46EHABCDFGbbaP612345F例均质长方形板由6根直杆支撑于水平位置。板重P。F=2P，求各杆内力。F1F2F3F4F5F6αyzx解（1）研究对象：长方形板47ABC1、平行力系的中心平行力系的中心是平行力系的合力通过的一个点。利用合力矩定理，确定合力作用点。§4-6重心平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。此点称为平行力系的中心。48对于反向平行力系，上述方法和结论仍适用。平行力系合力作用点的位置仅与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。此点称为平行力系的中心。AB设合力作用点为CC49xzyo2、重心WC1∆W1∆W2∆WiCiC2C物体的重力——是地球对物体的吸引力。若将物体视为无数微元的集合，则所有微元所受地球引力近似构成空间平行力系。实验证明，无论物体怎样放置，其重力永远通过物体内一个固定的点，该点为物体的重心。其合力即为物体的重力。其中心即为物体的重心。502、重心xzyC1∆W1∆W2∆WiWCiC2CxCyCzCxiyizi利用合力矩定理：若物体在xi、yi、zi处单位体积的重量为。则：∆Wi=dVi对于均质物体为常量：51R3、确定物体重心的方法（1）简单几何形状的物体的重心均质物体有对称面、对称轴、对称中心，物体的重心一定在对称面、对称轴、对称中心上。xy例题：求图示扇形面积的重心。解：θ对于半圆2＝，重心由对称性，有xC＝052（2）组合法求重心若物体由多个形状简单的物体组合而成，每块物体重力为P1,P2….Pn，重心为（x1,y1,z1）（x2,y2,z2）…（xn,yn,zn），那么整个物体的重心为：53（2）组合法求重心若物体由多个形状简单的均质物体组合而成，每块物体体积为V1,V2….Vn，重心为（x1,y1,z1）（x2,y2,z2）…（xn,yn,zn），那么整个物体的重心为：均质物体的重心和形心重合。对于均质物体重心位置仅取决于物体的几何形状和尺寸，此时，重心又为物体的几何中心，即形心。54（2）组合法求重心若物体由多个形状简单的均质等厚的薄板组合而成，每块物体面积为A1,A