第七章应力状态

材料力学中南大学土木工程学院1一、应力状态的概念

第七章应力状态和强度理论§7.1概述一点的应力状态是指某点处各截面上的应力情况。

前面各章研究的拉伸、扭转、横力弯曲的正应力和切应力都是横截面上的应力，通过应力状态分析，可以了解各点任意斜截面上的应力情况。研究应力状态的目的是找出某点处的最大正应力和最大切应力数值及所在截面的方位，以便进行失效分析并研究构件破坏的原因。材料力学中南大学土木工程学院2轴向拉伸斜截面上的应力轴向拉伸横截面上的应力几个问题1、简单变形（拉压、扭转、平面弯曲）某点横截面有应力，通过该点的斜截面上是否也有应力？FpaFpaaasata材料力学中南大学土木工程学院3

从两种不同材料的扭转试验可知，低碳钢在横截面破坏，铸铁在斜截面破坏，所以斜截面上的应力当然要研究！2、如果斜截面上有应力，是否需要研究？低碳钢扭转断口断口铸铁扭转断口450断口3、应力的三个概念应力点的概念:不同点处应力不同。应力面的概念：同一点处不同截面上的应力不同。应力状态的概念：过一点不同截面上应力的的集合，称为这一点的应力状态。应力必须指明是哪点、哪个截面上的应力。材料力学中南大学土木工程学院4单元体：围绕构件内一点所截取的微小正六面体。dxdzdy（1）各边长为无穷小直六面体；dx，dy，dz→0（2）各面应力均匀分布；（3）平行两面对应应力数值相等。（4）单元体各个面上的应力已知或可求；二、一点应力状态的描述一点应力状态xzyOsxsysz正视图sxsxsysytxytyxtxytyxtxytyxtzytyztzxtxz材料力学中南大学土木工程学院5单元体的取法

原则：各面应力已知或可求。FS平面材料力学中南大学土木工程学院6123S平面5432154321sx1sx2t2t3材料力学中南大学土木工程学院7三、主平面主应力1、主平面——切应力等于零的平面。一点处一般有三个主平面，互相垂直。2、主应力——主平面上的正应力。一点处一般有三个主应力，按代数值大小排列分别记为s1，

s2，

s3，且xysxztxytxzsytyxsztyztzxtzy旋转s1y'x'z's2s3材料力学中南大学土木工程学院81、单向应力状态——只有一个主应力不为零。单元体四、一点应力状态的分类s简化表示s2、二向（平面）应力状态——有两个主应力不为零。s1s2s1s2纯剪应力状态tt材料力学中南大学土木工程学院93、三向（空间）应力状态——三个主应力都不为零。s2s3s1三向应力状态特例二向应力状态特例单向应力状态纯剪应力状态材料力学中南大学土木工程学院10薄壁圆筒实例材料力学中南大学土木工程学院11横截面与纵截面上均存在的正应力，对于薄壁圆筒，可认为沿壁厚均匀分布。轴向应力Asxst材料力学中南大学土木工程学院12周向应力1径向应力一般忽略不计材料力学中南大学土木工程学院13§7.2平面应力状态分析——解析法一、平面应力状态的一般情形sxsytxytyxxysysxtxytyx简化表示特别注意：由x轴正向到y轴正向必须是逆时针转向。材料力学中南大学土木工程学院14二、任意斜截面上的应力“任意”斜截面是指法线位于xy面内的斜截面，也称面内任意！

平面应力状态下只要知道单元体2个面上的应力，“任意”斜截面上的应力便可通过切开单元体后局部的平衡求出。1、“任意”斜截面的表示方法sxsytxytyxtasanaxsxtxytyxsysata局部平衡×体内任意！材料力学中南大学土木工程学院15a面——斜截面

自x轴正向逆时针转到a

面外法线时a

角定义为正。2、应力的正负号规定正应力以拉应力为正，压应力为负。

xsxtxytyxsyaatasanaxsxtxytyxsysata简化表示切应力以绕单元体或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。txytyxta应力的正负号规定是为画出应力的指向及画应力圆用，不表示应力的指向与图示相反。材料力学中南大学土木工程学院163、“任意”斜截面上的应力平衡对象——用

斜截面截取的局部单元。参加平衡的量——应力乘以其作用的面积。平衡方程——

xsxtxytyxsyaatasant图示单元各截面面积如图所示。dAdAcosadAsinasadA-sx(dAcosa)cosa+txy

(dAcosa)sina

+tyx(dAsina)cosa

-sy(dAsina)sina=0这里要特别指出，式中tyx要按其大小计算，不考虑负号。材料力学中南大学土木工程学院17

tadA-sx(dAcosa)sina-txy(dAcosa)cosa+tyx(dAsina)sina+sy(dAsina)cosa=0

xsxtxytyxsyaatasantdAdAcosadAsina根据切应力互等定理tyx=txy，及三角函数关系整理后得到（7-1）（7-2）材料力学中南大学土木工程学院18由式（7-1）、（7-2）可得，

某点处互相垂直的两个截面上的正应力之和为常数。

某点处互相垂直的两个截面上的切应力大小相等，(负号表示)方向相反。（切应力互等定理）材料力学中南大学土木工程学院19解：C点应力状态如图所示，其拉应力和切应力为：已知图示圆轴直径d=100mm，轴向拉力F=500kN，外力偶矩M=7kN·m。求C点=300截面上的应力。FFMMCsxtxytyxC图示斜截面上应力分量为：n300s-300t-300材料力学中南大学土木工程学院20式（7－1）对a求导，得当时，必有单元体正应力取极值的截面上其切应力为零，即为主平面。主平面上的正应力为主应力，为该点处的最大值或最小值。三、主平面及位置由得（7-3）材料力学中南大学土木工程学院21

式（7-3）可求出相差900的两个角a0，对应两个互相垂直的截面上，一个是最大正应力所在截面，另一个是最小正应力所在截面。（7-4）四、面内最大切应力及位置式（7-2）对a求导，得由可确定面内切应力取极值的截面。（7-5）面内是指截面法线是位于xy平面内的。材料力学中南大学土木工程学院22

式（7-5）可求出相差900的两个角a1，对应两个互相垂直的截面上，作用着大小相等，同时指向或背离交线的切应力所在截面。（7-6）式（7-3）和式（7-5）有：所以有材料力学中南大学土木工程学院2325MPa75MPa40MPa单元体的应力状态如图所示，求该点的主应力并确定主平面的位置。解：建立图示坐标，其拉应力和切应力为：xy因为，且朝上，所以主平面如图所示。按主应力规定s1s319.330材料力学中南大学土木工程学院24已知图示圆轴直径d=100mm，轴向拉力F=500kN，外力偶矩M=7kN·m。求C点处的主平面和主应力及面内最大切应力和位置。FFMMC解：C点应力状态如图所示，其拉应力和切应力为：sxtxytyxC由得a=24.10和114.10单元体旋转s1s324.10CC点处的主单元体材料力学中南大学土木工程学院25单元体旋转

面内最大切应力的位置不必计算，由主单元体旋转450就可得作用面内最大切应力的单元体，但是必须强调指出的是，此时单元体不是纯剪切应力状态，截面上有正应力作用，且正应力大小为平均正应力。平均正应力为单元体旋转s1s324.10CsxtxytyxCsm450Csmtmaxtmin69.1024.10材料力学中南大学土木工程学院26一、应力圆方程sa，ta为变量a

为参数§7.2平面应力状态分析——图解法材料力学中南大学土木工程学院27二、应力圆的作法ROstsxtxyAA(sx,txy)BsytyxB(sy,tyx)CA1B1材料力学中南大学土木工程学院28三、应力圆的应用

点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面上的正应力和切应力值；

转向对应——半径旋转方向与单元体斜截面法线旋转方向一致；

二倍角对应——半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍。1、单元体与应力圆的对应关系ABsOtCA(sx,txy)B(sy,tyx)转向对应nx2二倍角对应点面对应D(sa,ta)sataDsxtxysytyxtxy材料力学中南大学土木工程学院292、单元体斜截面上的应力ABsOtCA(sx,txy)B(sy,tyx)nx2D(sa,ta)sataDsxtxysytyxtxy2a0D1材料力学中南大学土木工程学院303、主应力值及主平面方位主应力值平均应力值主平面方位COstABA1B1FsmaxEsmin20BsytyxsxtxyAFEsmaxsmina0材料力学中南大学土木工程学院31COstABA1B1FsmaxEsmin20BsytyxsxtxyA4、面内最大切应力值及其作用面方位

应力圆上的最高点的切应力最大，即为面内最大切应力，其作用面与主平面的夹角为450。C2C1(sm,tmax)a0FEsmaxsminsmtmax材料力学中南大学土木工程学院32纯剪切tsOttABA(0,t)B(0,－t)CDEDEs1=ts3=－t单向拉伸ssABEDtsOBCA(s,0

)DEsm=s/2tmax=s/2sm=s

/2材料力学中南大学土木工程学院33求：1、指定斜截面上的应力；

2、主平面；

3、主应力；

4、面内最大切应力；

5、画出主应力单元体。

x=－20MPa；

y=

40MPa；

xy=10MPa；

=300

解析法:（1）建立坐标系已知单元体如图，图中应力单位为MPa。401020300（2）求sa

，ta=－13.7MPasa

，ta

算好后按实际方向画在原图上300nyxx轴正向到y轴正向是逆时针的tasa材料力学中南大学土木工程学院34（3）求主平面a0=9.220，99.220（4）求主应力401020300tasa∴s1=41.6MPa，s2=0，s3=－21.6MPa（5）画主应力单元体注：主应力smax

的方向是sx与sy中的较大者，顺单元体切应力t

的指向偏转a0角中绝对值较小角而得。s1s39.2209.220（6）求面内最大切应力材料力学中南大学土木工程学院35图解法:（1）画应力圆401020300sOtA(-20,10)A(-20,10)B(40,-10)C（2）求应力圆上的几何数据应力圆半径B截面与最大正应力所在主平面夹角a020B(40,-10)B1a0=9.220FEs1s39.2209.220材料力学中南大学土木工程学院36（3）求sa

，ta401020300A(-20,10)B(40,-10)sOtA(-20,10)C20B(40,-10)B1FE300n20a0=9.220D(sa,ta)600（4）求面内最大切应力材料力学中南大学土木工程学院37a114MPa483828已知平面应力状态某点处的两个截面上的应力如图所示。求该点处的主应力和主平面方位，并求出两截面的夹角a值。图中应力单位为MPa。P252.7-11解析法：设图中的x面和1800-

a面如图示。xn1800-a则：sx=114MPa，txy=-48MPa；

s180-a=38MPa，t180-a=28MPa代入以上数据求得sy=58MPa1144848xysyas180-at180-a材料力学中南大学土木工程学院38主应力为于是：s1=142MPa，s2=30MPa，s3=0a0=29.90，119.90由s180-a和t180-a消去cos2a得，sin2a=0.5，a=150，750

消去sin2a

得，cos2a

=－0.87，a

=750，1050最终得a=750a114MPa483828114484858xy14229.9030x材料力学中南大学土木工程学院39A面的正应力s=114MPa，切应力t=-48MPaB面的正应力s=38MPa，切应力t=28MPa在应力坐标轴上做A、B两点如图所示。ABstOA(114,-48)B(38,28)连接AB，做AB的垂直平分线交横轴于C，连CA、CB。以C为圆心，CA或CB为半径做应力圆于图示。应力圆半径求得sm=86，R=56于是：s1=

sm+R=142MPas2=sm－R=30MPas3=0C(sm,0)Da114MPa483828材料力学中南大学土木工程学院402a0因为三角形ACB的顶角为2a。aastOA(114,-48)B(38,28)C(sm,0)Da0=29.90因为sm=86，R=56a114MPa483828ABa=750材料力学中南大学土木工程学院41四、梁的主应力和主应力迹线梁在横力弯曲时的正应力和切应力为：lhbqsxMFStxym—m截面上的应力分布mm材料力学中南大学土木工程学院42mm梁内任意一点处的单元体及主应力为：sxtxys1s3m—m截面上各点的主应力方向s3s1s3s1s3s1s3s1注：中性轴以上横截面受压，主应力s1

与铅直方向的夹角小于450。中性轴以下横截面受拉，主应力s1的方向与水平方向的夹角小于450。材料力学中南大学土木工程学院43主应力迹线：在梁的平面内绘制的两组正交的曲线，曲线上各点的切线方向为该点的主应力方向。

图示受均布荷载作用简支梁的主应力迹线。及根据主应力迹线做的配筋图。实线——主应力s1

的迹线；虚线——主应力s3的迹线。材料力学中南大学土木工程学院44一、定义

三个主应力都不为零的应力状态。二、三向应力状态应力圆

可利用主应力单元体作出。s1s2s3三向应力状态的主应力单元体§7.3空间应力状态分析三种特殊的斜截面s3s1s2平行于s1的斜截面s3s1s2平行于s2的斜截面s3s1s2平行于s3的斜截面材料力学中南大学土木工程学院45

平行于s1的斜截面上的应力与s1无关，其应力由s2

、s3作出的应力圆I上的点确定。s3s1s2平行于s1的斜截面tsOs2Ⅰs3

平行于s3的斜截面上的应力与s3无关，其应力由s1

、s2作出的应力圆Ⅱ上的点确定。s3s1s2平行于s3的斜截面s1Ⅱ材料力学中南大学土木工程学院46Ⅲs3s1s2平行于s2的斜截面

平行于s2的斜截面上的应力与s2无关，其应力由s1

、s3作出的应力圆Ⅲ上的点确定。三向应力圆三种特殊斜截面上的应力在对应圆上s1Ⅱs3s2ⅠtsO单元体任意斜截面上的应力在三个应力圆所围区域内K材料力学中南大学土木工程学院471、极值正应力

smax=s1

smin=s3三、极值应力Ⅲs1Ⅱs3s2ⅠtsO2、极值切应力各面内最大切应力某点处最大切应力最大切应力位于平行于s2的斜截面上。s1s2s3tmax材料力学中南大学土木工程学院48试确定图示应力状态的主应力和最大切应力，并确定主平面和最大切应力作用面位置。30015014090解：①建立坐标，给定应力状态中有一个主应力是已知的，即sz=90MPa。因此，可将该应力状态沿z方向投影，得到平面应力状态，可直接求主应力及其方位。②sx=300MPa，sy=140MPa，txy=－150MPa，因此：③根据s1、s2、s3的排列顺序，可知：

s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPaxyz材料力学中南大学土木工程学院49④主应力方位最大切应力所在平面法线与主平面夹角成450即与x轴夹角760或-140。⑤单元体内的最大切应力材料力学中南大学土木工程学院5030015014090stOABA(300,-150)(140,

150)BC20应力圆半径smax=39050=smin材料力学中南大学土木工程学院51x300150y140z90Asy=140txy=150sx=300A视图xzys2y'31o31os1x's3材料力学中南大学土木工程学院52解：①这是主应力单元体，由定义s1=60MPa，s2=30MPa，s3=－50MPa①求图示单元体的主应力和最大切应力。30(MPa)605030(MPa)3040②②已知一个主应力40MPa，另两个主应力可按纯剪切应力状态结论直接写出。s1=40MPa，s2=30MPa，s3=－30MPa材料力学中南大学土木工程学院53

各向同性材料，应力不超过材料的比例极限。胡克定律成立

§7.4应力与应变的关系一、广义胡克定律yxn--泊松比sxsx材料力学中南大学土木工程学院54三向应力状态的广义胡克定律——叠加法叠加s2s3s1同理。其它方向的应变为材料力学中南大学土木工程学院55xzyOsxsysztxytyxtzytyztzxtxz三向应力状态的广义胡克定律——叠加法（1）线应变只与正应力有关，与切应力无关；切应变只与切应力有关，与正应力无关。（2）一个方向的线应变不仅与该方向的正应力有关，而且与两个垂直方向的正应力有关。因此，考察一个方向的线应变时，需要考虑三个互相垂直方向的正应力。材料力学中南大学土木工程学院56二、体积胡克定律单元体变形前体积V=dxdydz单元体变形后体积定义体积应变为定义体积弹性模量为其中平均应力dzdydxs3s1s2于是材料力学中南大学土木工程学院572、求t3、求Me

解：1、应力状态分析画单元体已知轴扭转时的d，E，v，e45o，求Me。450MeKMettK450s1=tKs3=－t材料力学中南大学土木工程学院58解：k点的应力状态为图示纯剪应力状态。图示简支梁k点450方向的线应变为450，材料的弹性模量为E，泊松比为n，求作用的荷载F。450Fl/32l/3hbttK450s1=tKs3=－t求得材料力学中南大学土木工程学院59解：铜块应力状态如图所示，横截面上的压应力为：如图所示边长a=0.1m的铜立方块，无间隙地放入体积较大变形不计的钢凹槽中。当受到F=300kN的均布压力作用时，试求铜块的主应力、体积应变以及最大切应力。已知铜的弹性模量E=100GPa，泊松比=0.34。aaaFszsxsy

受钢槽的限制，铜块在另两个方向的应变为零，并产生压应力。材料力学中南大学土木工程学院60解得：最大切应力为：则铜块的主应力为：由此可得其体积应变为：材料力学中南大学土木工程学院61一、外力功与应变能

1、外力功W荷载在其作用点位移上所作的功。(1)

常力作功§7.5弹性固体的应变能W=FDFADFBqW=MqMM(2)

静载(变力)作功

静载是指从零开始逐渐地、缓慢地加载到弹性体上的荷载，静载作功属于变力作功。材料力学中南大学土木工程学院62D

FDFdDF对于一般弹性体F—D图下方面积对于线性弹性体，即位移与力成正比的弹性体FDD

FF为广义力，D为广义位移。2、应变能Ve弹性体因变形而储存的能量，称为应变能。

由能量守恒定律，储存在弹性体内的应变能Ve在数值上等于外力所作的功W。（忽略能量损失）即Ve=W材料力学中南大学土木工程学院63二、线弹性体的应变能1、轴向拉压FN为变量时lFFFDlDlF材料力学中南大学土木工程学院642、扭转T为变量时MejMejMe材料力学中南大学土木工程学院653、平面弯曲横力弯曲时忽略剪力对应变能的影响，如矩形截面，当l/b=10时，剪力的应变能只占弯矩应变能的3﹪。纯弯曲时横力弯曲M(x)为变量MdxMdq材料力学中南大学土木工程学院66

应变能Ve是内力（FN、T、M）的二次函数，应变能一般不符合叠加原理。但若几种荷载只在本身的变形上作功，而在其它载荷引起的变形上不作功，则应变能可以叠加。三、线弹性体的应变能密度

应变能密度

1、单向拉压的应变能密度sdxdydz材料力学中南大学土木工程学院672、纯剪切的应变能密度dxdydzttg3、复杂应力状态下的应变能密度

三向应力状态下，假定各主应力按比例同时从零增加到最终值，每一主应力与相应的主应变仍为线性关系。

由广义胡克定律材料力学中南大学土木工程学院68于是对k积分得复杂应力状态下的应变能密度为复杂应力状态下的应变能密度v

e体积改变能密度vV形状改变能密度vd因体积变化、形状不变而储存的应变能密度。

因形状改变体积不变而储存的应变能密度。材料力学中南大学土木工程学院69s1s2s3=smsmsm+图示单元体三个正应力相等，只有体积改变能。图示单元体三个正应力不相等，且三个正应力之和为零，只有形状改变能。材料力学中南大学土木工程学院70smsmsm注意：由于应力、应变与应变能密度不是线性关系，所以应变能密度一般不符合叠加原理。材料力学中南大学土木工程学院71上式展开，并注意有复杂应力状态下的应变能密度为得形状改变能密度vd单向应力状态时材料力学中南大学土木工程学院72轴向拉伸ss§7.6强度理论及相当应力一、建立强度条件的复杂性单向应力状态强度条件横力弯曲st

轴向拉伸横截面上任一点和横力弯曲边缘上的点均处于单向应力状态。材料力学中南大学土木工程学院73t扭转t纯剪切强度条件横力弯曲st

扭转横截面上边缘上的点和横力弯曲中性轴上的点均处于纯剪切应力状态。st平面应力状态强度条件？×材料力学中南大学土木工程学院74

复杂应力状态的形式是无穷无尽的，建立复杂应力状态下的强度条件，采用模拟的方法几乎是不可能的，即逐一用试验的方法建立强度条件是行不通的，需要从理论上找出路。二、利用强度理论建立强度条件

（1）对破坏形式分类；（2）同一种形式的破坏，可以认为是相同的原因造成的；（3）至于破坏的原因是什么，可由观察提出假说，这些假说称为强度理论;

（4）利用简单拉伸实验建立强度条件。三常用四种强度理论脆性断裂塑性屈服破坏形式分类

强度理论也可分为两类，分别对不同的破坏形式提出强度条件。材料力学中南大学土木工程学院75铸铁扭转材料力学中南大学土木工程学院76低碳钢扭转材料力学中南大学土木工程学院77

无论材料处于什么应力状态，只要最大拉应力达到极限值，材料就会发生脆性断裂。Ⅰ、脆性断裂理论

1、最大拉应力理论（第一强度理论）破坏原因：stmax

（最大拉应力）破坏条件：s1=s

0

（sb）s1s2s3s0=sb强度条件适用范围:脆性材料拉、扭；一般材料三向拉；铸铁二向拉-拉，拉-压（st>sc）材料力学中南大学土木工程学院78拉断！铸铁断口450ttABDEs1=ts3=－t材料力学中南大学土木工程学院79

无论材料处于什么应力状态，只要最大伸长线应变达到极限值，材料就发生脆性断裂。破坏原因：etmax

（最大伸长线应变）破坏条件：e1=e02、最大伸长线应变理论（第二强度理论）强度条件：s1－n（s2+s3

）≤sb/n=[s]适用范围：石、混凝土压；铸铁二向拉—压（st

≤sc）材料力学中南大学土木工程学院80

无论材料处于什么应力状态，只要最大切应力达到极限值，就发生屈服破坏。破坏原因：tmax

破坏条件:tmax=t

0

Ⅱ、塑性屈服理论1、最大切应力理论（第三强度理论）s1s2s3s0=sss1－s3=s

0=ss强度条件适用范围：塑性材料屈服破坏；一般材料三向压。材料力学中南大学土木工程学院812、形状改变能理论（第四强度理论）

无论材料处于什么应力状态，只要形状改变能密度达到极限值，就发生屈服破坏。只改变体积只改变形状s1s2s3s0=ss破坏条件材料力学中南大学土木工程学院82适用范围：塑性材料屈服；一般材料三向压。强度条件四、相当应力强度条件中直接与许用应力[s]比较的量，称为相当应力sr(形状改变能理论)(最大切应力理论)(最大拉应力理论)(最大伸长线应变理论)强度条件的一般形式sr