第七章二阶电路(上课用)

第七章 二阶电路引言：1.什么是二阶电路? 1)其变量用二阶微分方程描述的电路；

2)从结构上看，含有两个独立动态元件

的电路。2.二阶电路的分析方法：

基本方法——经典法

根据两类约束，列写二阶电路微分方程,

求特征方程的根，即固有频率，根据根的性质确定解答形式（公式）。

初始状态求解与一阶电路方法相同3.二阶电路响应的特点：

可能出现振荡的情况71LC电路中的正弦振荡一、

LC电路振荡的物理过程：CL+_uLiLuC+_已知uC(0)=U0iL(0)=0求：uC(t),iL(t),t0回忆：由图推倒得：CL+_uLiLuC+_已知uC(0)=U0iL(0)=0定性分析：1.t=0时

uC=U0

：①电容具有初始能，

②iL=0

:电感没有初始能。t↑,电容C开始放电uC↓：电场能向磁场能转化CL+_uLiLuC+_定性分析：2.电感充满磁时：uC=0,

iL=I:电容C开始充电：磁场能向电场能转化，

uC↑且电容的实际电压为上负下正CL+_uLiLuC+_定性分析：③当电容充满电场能时：uC=-U0

iL=0即电容C开始放电:电场能向磁场能转化uC↓,︱iL︱↑且充磁的电流为由下往上。CL+_uLiLuC+_定性分析：④当电感充满磁时：uC=0

iL=-I同理：电容C又开始充电

——磁场能向电场能转化三、

LC振荡电路波形CL+_uLiLuC+_已知uC(0)=U0iL(0)=0t1t1t2t2t3t3t4t4t5t5t6t6t7t7t8t8t9t9t10t10t11t11t12t12TTuC(t)iL(t)U0U0ooImImttt1t1t2t2t3t3t4t4t5t5t6t6t7t7t8t8t9t9t10t10t11t11t12t12结论：两种不同储能元件构成电路，储能在电场和磁场之间往返转移，这种周而复始的过程叫振荡。

若元件为理想的，称等幅振荡（无阻尼）若电路中存在电阻，幅度逐渐衰减为零，称衰减振荡，也称阻尼振荡若电阻过大，储能在初次转移即被消耗，称过阻尼情况（无振荡）提问：“振荡”有几种含义？72RLC串联电路的零输入响应引例t=0RLCiL+_uC已知

uC(0)=U0iL(0)=0求

uC(t),iL(t),t0解：列方程：二阶微分方程：72RLC串联电路的零输入响应引例t=0RLCiL+_uC已知uC(0)=U0iL(0)=0求uC(t),iL(t),t0解：对应特征方程：二阶微分方程：齐次方程解：特征方程令特征根s—固有频率（特征根）—衰减常数,或者阻尼常数o

—等幅振荡角频率d

—衰减振荡角频率讨论：特征根1.当时，即：s1、s2为不相等的负实数—响应属于过阻尼(非振荡)2.当时，即：s1、s2为相等的负实数—响应属于临界阻尼(非振荡)讨论：特征根4.当时，s1、s2为纯虚数的共轭复数

—响应属于无阻尼(等幅振荡)3.当时，即：s1、s2为共轭复数—响应属于欠阻尼(衰减振荡)齐次方程解：解得：K1、K2由初始条件确定例7-2

：C=1/4F,L=1/2H,R=3ΩuC(0)=2V,iL(0)=1A求：uC(t)和iL(t)K1、K2的求解思路：依据初始值求4C)0(iC)0(iKSKSdtduLC2211t=0C===+=例7-2

：C=1/4F,L=1/2H,R=3ΩuC(0)=2V,iL(0)=1A求：uC(t)和iL(t)tOuC(t)2toiL(t)1解答形式为：响应属于过阻尼(非振荡)情况结论：当,即：时，特征方程有两个不相等的实数根s1、s2或时RLC串联电路的零输入响应K1、K2由初始条件确定齐次方程解：UotuCo说明：电路是非振荡，处于临界状态，称为临界阻尼。

例题：见教材P250例7-2RLC串联电路的零输入响应——欠阻尼情况,亦即s—固有频率（特征根）—衰减常数,或者阻尼常数o

—等幅振荡角频率d

—衰减振荡角频率令RLC串联电路的零输入响应——欠阻尼情况K1、K2由初始条件确定齐次方程解：说明：响应是以角频率为d，振幅却是以衰减系数

α的衰减振荡。touC(t)U0包络线例：电路如图所示。已知R=6,L=1H,

C=0.04F,uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求电容电压和电感电流的零输入响应。例：已知R=6,L=1H,C=0.04F,uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，解：1）先判断电路的状况并求解特征根3）利用初始值计算K1、K2

uC(0)=3ViL(0)=0.28A得到两个方程4）电容电压和电感电流的零输入响应:

2）代入欠阻尼解答形式4.重要特殊情况当=0

时,即R=0

时：共轭虚数K1、K2由初始条件确定uC(t)tU0U0o说明：R=0，uC是不衰减的等幅振荡，称为谐振角频率。在零输入时三种状态的比较：otuC(t)U0结论：二阶零输入响应其电容上的电压特点如下：欠阻尼状态最先到达0，但它不稳定会振荡；过阻尼状态与临界阻尼状态都不会振荡；临界阻尼到达0需要的时间比过阻尼到达0的时间相对短得多。欠阻尼过阻尼临界阻尼Us欠阻尼otuC(t)过阻尼临界阻尼在零状态时三种状态的比较：结论：二阶零输入响应其电容上的电压特点如下：欠阻尼状态最先到达US，但它不稳定会振荡；过阻尼状态与临界阻尼状态都不会振荡；临界阻尼到达US需要的时间比过阻尼到达US的时间相对短得多。RL+_uCiLt=0US过阻尼状态无阻尼状态临界状态欠阻尼状态实验教材P62图2-35课堂练习：1.教材P255练习题7-12.教材P256练习题7-3作业：1.教材P262习题7-42.教材P255思考题7-1课堂练习1、P261习题7-12、P262习题7-3解：微分方程73直流RLC串联电路的完全响应引例已知uC(0)=U0

,iL(0)=I0,求uC(t),t0USCRL+_uCiLt=0全解：特解：齐次方程的解，有四种解答通解：1.过阻尼2.临界阻尼3.欠阻尼4.无阻尼K1、K2由初始条件确定四种解答形式的全响应：例1：已知：RLC

串联电路，R=0,C=12F,L=3H,

uC(0)=-5V,iL(0)=0,US=10V,

求：uC(t),t0RL+_uCiLt=0US例1：已知：RLC串联电路，R=0,C=12F,L=3H,uC(0)=-5V,iL(0)=0,US=10V,求：uC(t),t0解：例2：二阶的应用—见教材P256例7-5例3：二阶的应用—见教材P259思考题7-2RC消火花电路RC消火花电路的原理一:直流电机M是一个感性负载，在切断电源开关Sl的瞬间，由于感性负载突然断电会产生反向自感电动势通常为300V~350V，这一电动势很大与电源电压一起加在了开关Sl两个触点之间，由于开关在快要接通或刚要断开时开关的两极靠得很近，这时的开关便形成空气电容结构，感应电动势给这个开关空气电容器充电并很快击穿这个电容器，击穿电容器时便会产生火花，这样开关的接通或断开时都会看到有火花，电路开关产生火花会对人身安全存在隐患，并且对开关的接触部分进行灼伤，影响开关的使用寿命。为此要加入Rl和Cl这样的消火花电路，以保护感性负载回路中的电源开关。

(1)消火花原理：开关Sl断开时，由于Rl和Cl接在开关Sl两触点之间，在开关Sl上的打火电动势等于加在Rl和Cl的串联电路上。这一电动势通过Rl对电容Cl充电，Cl吸收了打火电能，使开关Sl两个触点的电动势大大减小，达到消火花的目的。

(2)电阻Rl的作用。由于对Cl的充电电流是流过电阻Rl的，所以Rl具有消耗充电电能的作用，这样打火的电能通过电阻

Rl被消耗掉。

(3)元件参数。这种RC消火花电路中，一般消火花电容取

0.47μF，电阻取100Ω。

RC消火花电路RC消火花电路的原理二:在感性负载上并接RC电路条件：R、r、L、C构成的二阶电路满足阻尼振荡的条件由于开关断开，在电感上感应的高压的磁场能，通过电容构成阻尼振荡而逐渐衰减为零，即磁场能通过电容迅速分去一部分能量，电阻R和r消耗一部分能量，从而达到避免电感上的高压加到开关两端，产生火花放电。有趣的应用:一个12V的电池放在位于太平洋某荒岛的小屋中，其中正极连接到一个314.2pF的电容的一端，而该电容与一个869.1μH的电感串联，。在日本Bonin岛上的地震触发了一次海啸，海啸冲入小屋，海水打湿一块布，将电感-电容组合的另一端与电池的负极连接起来，构成了一个串联RLC电路。由此产生的振荡被附近的一艘船上正在监测290.5KHZ频率的无线电导航信号的设备接收到。问湿布的等效电阻是多大？L由题意可知显然是RLC全响应的欠阻尼状况。导航设备接收到的是电路欠阻尼时的衰减振荡频率。R12V314.2pF869.1μH思路：①先由电路判断出电路属于一阶电路的完全响应。②利用三要素法求出u(0+);u(∞);时间常数τ。例4已知iL(0)=2A求u(0+)和u(t)+_300V10Ht=0+_u1MiL解：例4已知iL(0)=2A求u(0+)和u(t)+_300V10Ht=0+_u1MiL已知iL(0)=2A,uC(0)=0,求u(t)。例5思路一：求出电路状态下对应的uC(t)→ic(t)→u(t)=uC(t)+ic(t)×10思路二：因为电路是线性电路，判断出电路状况后直接可写出u(t)的表达式，再利用条件求解相应的系数+_300V10Ht=0+_u10iLuC+_1nF+_uL+_300V10Ht=0+_u10iLuC+_1nF+_uL已知iL(0)=2A,uC(0)=0,求u(t)。例51）先判断电路的状况并求解特征根+_300V10Ht=0+_u10iLuC+_1nF+_uL已知iL(0)=2A,uC(0)=0,求u(t)。例5思路一：求解K3和K4的值已知iL(0)=2A,uC(0)=0思路一：已知iL(0)=2A,uC(0)=0+_300V10Ht=0+_u10iLuC+_1nF+_uL已知iL(0)=2A,uC(0)=0,求u(t)。例5思路二：方程一：关于u(0)的方程已知iL(0)=2A,uC(0)=0方程二：关于

的方程思路：显然还需要另一种方法获得iL+_300V10Ht=0+_u10uC+_1nF+_uL已知iL(0)=2A,uC(0)=0,求u(t)。解得：61130020o123t/su

/V74GCL并联电路的分析t=0ISiGiLiCGL+uLuCC+解： iG

+iL

+iC

=IS

t=0ISiGiLiCGL+uLuCC+回忆：

RLC串联二阶电路的微分方程：RLC：uC

LCRUSRLC二阶方程解答GLC：iL

CLGISGLC二阶方程解答特征根其特征根也分四种情况若G>阻尼电导Gd=过阻尼若G=阻尼电导Gd=临界阻尼若G<阻尼电导Gd=欠阻尼若G=0，R=∞→无阻尼若为过阻尼：依据初始条件定K1,K2：例：见教材P260例7-6作业：P2637-8练习：P2617-1；P2627-3作业讲解：P255思考题7-1§7-5一般二阶电路分析引例:+_10V+_uC1H1Ft=0iiL10已知:uC(0)=1ViL(0)=1A求:uC(t),iL(t)