《数学史》分析的严格化(上)

第10章

分析的严格化

第十章分析的严格化

10.1柯西与分析基础

经过近一个世纪的尝试与酝酿，数学家们在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初开始获得成效．这方面的先声来自捷克学者波尔察诺(B.Bolzano，1781—1848)，他在1817年发表了《纯粹分析证明》，以证明连续函数的中值定理为目的，其中包含了对函数连续性、导数等概念的合适定义，但波尔察诺的工作长期湮没无闻．19世纪分析严格化真正有影响的先驱是法国数学家柯西．

柯西长期担任巴黎综合工科学校教授，他有许多著作都是以工科大学讲义形式面世的．在分析方法方面，他写出了一系列著作，其中最有代表性的是《分析教程》(1821)和《无限小计算教程概论》(1823)，它们以严格化为目标，对微积分的基本概念，如变量、函数、极限、连续性、导数、微分、收敛等等给出了明确的定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理．什么叫数学概念？什么叫数学里面的定义？什么叫数学概念？数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。为了公式化新的猜想以及从合适选定的公理及定义中建立起严谨推导出的真理，数学家们拓展了这些概念。什么叫数学里面的定义？数学概念(mathematicalconcepts)：是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。

正确地理解和形成一个数学概念，必须明确这个数学概念的内涵——对象的“质”的特征，及其外延——对象的“量”的范围。一般来说，数学概念是运用定义的形式来揭露其本质特征的。

有些数学概念要经过长期的酝酿，最后才以定义的形式表达，如函数、极限等。

定义是准确地表达数学概念的方式。下面欣赏柯西给出的一些定义：以下是这方面的一些例子：

1.变量.“依次取许多互不相同的值的量叫作变量”．

2.函数.“当变量之间这样联系起来的时候，即给定了这些变量中的一个值，就可以决定所有其他变量的值的时候，人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的，这时这个量就取名为自变量，而由这些自变量表示的其他量就叫作这个自变量的函数”．

3.极限.“当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值的差要多小就多小，那么最后这个定值就称为所有其他值的极限”．

4.无限小量.“当同一变量逐次所取的绝对值无限减小，以致比任意给定的数还要小，这个变量就是所谓的无限小或无限小量”．

5.连续函数．柯西第一次解决了函数连续性的定义问题．按他的定义，函数在给定限之间关于保持连续，如果在这两限之间变量的每个无限小增量总产生函数本身的一个无限小增量．6.导数与微分．柯西把导数明确定义为差商当无限地趋向于零的极限，函数的微分则定义为

.

7.积分．柯西首先指出，在研究积分或原函数的各种性质以前，应先证明它们是存在的．也就是说需要首先对一大类函数给出积分的一般定义．设函数在给定区间上连续，并用点把区间划分为个子区间，对应于每个这样的划分，构造近似和：问：你能简单的总结一下这个过程吗？柯西证明这个和数当区间长趋向于零时的极限与划分的方式无关，并把这个极限定义为在区间上的积分这个定义后来被黎曼直接推广，将每个区间端点用区间内任一点来代替，就得到现在所说的黎曼积分．

分割---近似---作和---取极限。

在以上一系列定义的基础上，柯西得以严格地表述并证明微积分基本定理，中值定理等一系列重要定理，如微积分基本定理被表述为：在区间上给定连续函数，对于，由

定义的新函数就是的原函数或反导数，即在上有我们一般还称为什么函数？柯西还对无穷级数进行了严格化处理，明确定义了级数的收敛性，并研究了判别级数收敛的条件．令是所研究的无穷级数前项的和，为自然数，若当趋向于无限大时，和无限趋近于某一极限，柯西就说级数是收敛的．

柯西在数学发明方面有特别丰富能力，其多产能力在历史上只被超过了两次（被欧拉和凯莱超过）。他的工作就象他的时代，是革命的。

现代数学的两个引起兴趣的主要问题应归功于柯西，这两个问题中的每一个都标志着与十八世纪数学的断然决裂。

第一个是把严格性引进了数学分析。

第二个是组合方面。

柯西(A-L.Cauchy，1789—1851)于1789年8月21日（巴士底狱陷落后不到六个星期）出生在巴黎。柯西○1813年，柯西已经以他光辉的研究工作，特别是关于多面体的论文和关于对称函数的论文，吸引了法国主要数学家们的注意。

○柯西到二十七岁(1816年)时已经使自己上升到当时的数学家的最前列。他唯一的重要竞争对手是沉默的高斯。柯西

○1826—1830年，创办一个他自己的杂志《数学练习》，第二辑继续以《分析数学和物理练习》为名，发表他在纯数学和应用数学方面的评论性的和独创性的著作。伟大数学家柯西柯西

柯西（Cauchy1789-1857），法国数学家，在数学领域，有很高的建树和造诣。很多数学的定理和公式也都以他的名字来称呼，如柯西不等式、柯西积分公式...

柯西创造力惊人，数学论文像连绵不断的泉水在柯西的一生中喷涌，他发表了789篇论文，出版专著7本。从他23岁写出第一篇论文到68岁逝世的45年中，平均每月发表一至两篇论文.

柯西

他在纯数学和应用数学的功力是相当深厚的，在数学写作上，他是被认为在数量上仅次于欧拉的人，他一生一共著作了789篇论文和几本书，其中有些还是经典之作。

柯西柯西在幼年时，有机会遇到拉普拉斯和拉格朗日两位大数学家。他们对他的才能十分赏识；拉格朗日认为他将来必定会成为大数学家，但建议他的父亲在他学好文科前不要学数学。柯西于1805年考入综合工科学校，在那里主要学习数学和力学；1807年考入桥梁公路学校，1810年以优异成绩毕业，前往瑟堡参加海港建设工程。柯西

柯西去瑟堡时携带了拉格朗日的《解析函数论》和拉普拉斯的《天体力学》，后来还陆续收到从巴黎寄出或从当地借得的一些数学书。他在业余时间悉心攻读有关数学各分支方面的书籍，从数论直到天文学方面。根据拉格朗日的建议，他进行了多面体的研究，并于1811及1812年向科学院提交了两篇论文。

柯西27岁即当选为法国科学院院士，还是英国皇家学会会员和许多国家的科学院院士.二、柯西的数学成就

柯西对数学的最大贡献是在微积分中引进了清晰和严格的表述与证明方法.正如著名数学家冯·诺伊曼所说：“严密性的统治地位基本上由柯西重新建立起来的.”

在这方面他写下了三部专著：《分析教程》、《无穷小计算教程》、《微分计算教程》.他的这些著作，摆脱了微积分单纯的对几何、运动的直观理解和物理解释，引入了严格的分析上的叙述和论证，从而形成了微积分的现代体系.柯西冯·诺伊曼的简介，参看第99页。柯西

作为一位学者，他思路敏捷，功绩卓著。由柯西卷帙浩大的论著和成果，人们不难想象他的一生是怎样孜孜不倦的勤奋工作。但是柯西却是个具有复杂性格的人。他是忠诚的保王党人，热心的天主教徒，落落寡欢的学者。尤其作为久负盛名的科学泰斗，他常常忽视青年学者的创造。例如，由于柯西“失落”了才华出众的年轻数学家阿贝尔和伽罗华的开创性论文手稿，造成群论晚问世半个世纪。柯西1857年5月23日，他突然去世，享年68岁，他因为热病去世，临终前，他还与巴黎大主教在说话，他说的最后一句话是：

“人总是要死的，但是，他们的功绩永存！”

10.2分析的算术化

柯西的工作是令人尊敬的，但他的理论还只能说是“比较严格”，人们不久便发现柯西的理论也存在漏洞.例如，他用了许多“无限趋近”、“想要多小就多小”等直觉描述的语言．特别是，微积分计算是在实数舞台上进行的，但直到19世纪中叶，对于什么是实数，竟还没有明确的定义．数学家们对实数系本身仍然是以直观的方式来理解的，他们相当随意地使用无理数(如)，而没有认真考察它们的确切意义和性质．为了进行计算，他们依靠了这样的假设：任何无理数都能用有理数来任意逼近，如=1.4142…．由于对实数系缺乏充分的理解，就不可能真正为微积分奠定牢固的基础．例如，柯西在证明连续函数积分(作为和式的极限)的存在性、证明级数收敛判别准则的充分性以及证明中值定理

时，都需要实数的完备性，而实数系的这种基本性质在当时并没有证实．

对实数系缺乏认识不仅造成逻辑上的间断，而且实际上常常导致错误．由于没有建立一致收敛性概念，柯西得出过一个错误判断：

若皆连续，且级数收敛，则连续；他还断定这时对收敛级数可以逐项积分

另一个在当时普遍持有的错误观念是认为凡连续函数都是可微的．因此，当德国数学家魏尔斯特拉斯在1861年举出一个处处连续但却处处不可微的函数例子时，数学界可以说是大为震惊.

魏尔斯特拉斯的例子是：其中是奇数，常数，是使得．

高斯曾经称“数学是眼睛的科学”，但是要看清魏尔斯特拉斯摆在数学家们面前的这条曲线，单靠一双好眼睛是无论如何不够的．魏尔斯特拉斯的例子使人们迫切感到彻底摆脱对几何直觉的依赖，重新认识考察分析基础的必要性．另一位德国数学家戴德金(R.Dedekind)在1858年开始讲授微积分时说过的一段话，也反映出当时的数学家不满足于柯西的标准，而寻求使分析进一步严格化的途径的愿望：

“我比以往任何时候更加强烈地感到这种算法缺乏真正科学的基础．在讨论一个变量逼近于一个固定的极限值的概念时，特别是在证明每个连续增加但不超过一切界限的量必定趋向于一个极限这一定理时，我依靠的是几何上的证据．……但是，决不能认为以这种方式引入微分学是科学的．这一点已经得到公认．至于我本人，也无法克制这种不满意的感觉而下定决心研究这个问题，直到为无穷小分析原理建立纯粹算术的和完全严格的基础为止．”

把分析建立在“纯粹算术”的基础之上，这方面的努力在19世纪后半叶酿成了数学史上著名的“分析算术化”运动，这场运动的主将是上面已经提到的魏尔斯特拉斯．魏尔斯特拉斯认为实数赋予我们极限与连续等概念，从而成为全部分析的本源．要使分析严格化，首先就要使实数系本身严格化．为此最可靠的办法是按照严密的推理将实数归结为整数(有理数)．这样，分析的所有概念便可由整数导出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填补．这就是所谓“分析算术化”纲领，魏尔斯特拉斯本人和他的学生们为实现这一纲领作出了艰苦的努力并获得了很大成功．10.2.1魏尔斯特拉斯

魏尔斯特拉斯(Weierstrass，1815—1897），德国数学家，中学毕业时成绩优秀，共获7项奖，其中包括数学，但他的父亲却把他送到波恩大学去学习法律和商业．魏尔斯特拉斯对商业和法律都毫无兴趣．在波恩大学他把相当一部分时间花在自学他所喜欢的数学上，攻读了包括拉普拉斯的《天体力学》在内的一些名著。他在波恩的另一部分时间则花在了击剑上．魏尔斯特拉斯体魄魁伟，击剑时出手准确，加上旋风般的速度，很快就成为波恩人心目中的击剑名星．魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯这样在波恩大学度过四年之后，魏尔斯特拉斯回到家里，没有得到他父亲所希望的法律博士学位，连硕士学位也没有得到．这使他父亲勃然大怒，呵斥他是一个“从躯壳到灵魂都患病的人”．这时多亏他家的一位朋友建议，魏尔斯特拉斯被送到明斯特去准备教师资格考试．1841年，他正式通过了教师资格考试．在这期间，他的数学老师居德曼认识到他的才能．

居德曼(C.Gudermann)是一位椭圆函数论专家，他的椭圆函数论给了魏尔斯特拉斯很大影响，魏尔斯特拉斯为通过教师资格考试而提交的一篇论文的主题就是求椭圆函数的幂级数展开．居德曼在这篇论文的评语中写道：“论文显示了一位难得的数学人才，只要不被埋没荒废，一定会对科学的进步作出贡献”．

居德曼的评语并没有引起任何重视，魏尔斯特拉斯在获得中学教师资格后开始了漫长的中学教师生活．他在两处偏僻的地方中学度过了包括30岁到40岁的这段数学家的黄金岁月．

他在中学不光是教数学，还教物理、德文、地理甚至体育和书法课，而所得薪金连进行科学通信的邮资都付不起．但魏尔斯特拉斯以惊人的毅力，过着一种双重的生活．他白天教课，晚上攻读研究阿贝尔等人的数学著作，并写了许多论文．其中有少数发表在当时德国中学发行的一种不定期刊物“教学简介”上，但正如魏尔斯特拉斯后来的学生、瑞典数学家米塔·列夫勒所说的那样：“没有人会到中学的教学简介中去寻找有划时代意义的数学论文。”不过魏尔斯特拉斯这一段时间的业余研究，却奠定了他一生数学创造的基础．

一直到1853年，魏尔斯特拉斯将一篇关于阿贝尔函数的论文寄给了德国数学家克雷尔主办的《纯粹与应用数学杂志》(常常简称《数学杂志》)，这才使他时来运转．

克雷尔的杂志素以向有创造力的年青数学家开放而著称．他接受了魏尔斯特拉斯的论文并在第二年就发表出来，随即引起了轰动．哥尼斯堡大学一位数学教授亲自到魏尔斯特拉斯当时任教的布伦斯堡中学向他颁发了哥尼斯堡大学博士学位证书．普鲁士教育部宣布晋升魏尔斯特拉斯，并给了他一年假期带职从事研究．此后，他再也没有回到布伦斯堡．1856年，也就是他当了15年中学教师之后，魏尔斯特拉斯被任命为柏林工业大学数学教授，同年被选进柏林科学院．他后来又转到柏林大学任教授直到去世，晚年享有很高的声誉，几乎被看成是德意志的民族英雄．在数学史上，魏尔斯特拉斯关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号．这种严格化的突出表现是创造了一套语言，用以重建分析体系．可以说，数学分析达到今天所具有的严密形式，本质上归功于魏尔斯特拉斯的工作.

10.2.2实数理论

魏尔斯特拉斯很少正式发表自己的研究成果，他的许多思想和方法主要是通过他在柏林工业大学和柏林大学的课堂讲授而传播的，其中有一些后来由他的学生整理发表出来．在1857年开始的解析函数论课程中，魏尔斯特拉斯给出了第一个严格的实数定义，这个定义大意是先从自然数出发定义正有理数，然后通过无穷多个有理数的集合来定义实数．像大多数情况一样，魏尔斯特拉斯只是在课堂上作了讲授．1872年，有人曾建议他发表这一定义，但被魏尔斯特拉斯拒绝了．不过，1872年，戴德金、康托尔(Cantor，1845—1918)、梅雷(H.C.R.Meray)和海涅(H.E.Heinte)等人几乎同时发表了他们各自的实数理论，而其中戴德金和康托尔的实数构造方法正是我们现在通常所采用的．戴德金尤利乌斯·威廉·理查德·戴德金（JuliusWilhelmRichardDedekind

，1831—1916）又译狄德金，最伟大的德国数学家、理论家和教育家，近代抽象数学的先驱。据《辞海》，戴德金还是格丁根大学哲学博士、柏林科学院院士。格奥尔格·康托尔

格奥尔格·康托尔（Cantor，GeorgFerdinandLudwigPhilipp，1845.3.3-1918.1.6）德国数学家，集合论的创始人。生于俄国圣彼得堡（今俄罗斯列宁格勒）。父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。1856年全家迁居德国的法兰克福。先在一所中学，后在威斯巴登的一所大学预科学校学习。

戴德金的方法也称为戴德金分割，是将一切有理数的集合划分为两个非空不相交的子集和，使得中的每一个元素小于中的每一个元素，这时戴德金把这个划分定义为有理数的一个分割，记为。有些分割是有理数产生的，在这样的分割中，要么有最大元素，要么有最小元素．但有些分割却不是.例如，若是由满足的一切正有理数组成，是由一切其余的有理数组成，则既不存在的最大元素，也不存在的最小元素，因为不存在有理数使得．戴德金说：每当我们考虑一个不是由有理数产生的分割时，就得到一个新数即无理数，我们认为这个数是由分割完全确定的．因此，戴德金就把一切实数组成的集合R定义为有理数集的一切分割，而一个实数就是一个分割．

康托尔的基本思想则是把实数定义为有理数序列，这里必须是满足柯西收敛准则的基本序列，即当时，对任意正整数一致地趋于0．康托尔把每个有理数基本序列与一个实数等同起来．而两个基本序列与,若，则被看成是等价的，即它们定义同一个实数．用现代语言说，康托尔的定义相当于把实数集合定义为有理数的基本序列的一切等价类的集合．如果是一个有理数，则序列就表示对应于的实数．

戴德金和康托尔在他们各自的实数定义下都严格证明了实数系的完备性．例如，康托尔证明了，若是任一实数序列，又若对于任意正整数一致地有成立，则必存在唯一的一个实数，它被一个由有理数构成的基本序列所确定，使得．这表明，由实数构成的基本序列不会产生任何更新类型的数，或者说由实数构成的基本序列不需要任何更新类型的数来充当它的极限，因为已经存在的实数已足够提供其极限了．因此，从为基本序列提供极限的观点来说，实数系是一个完备系．这样，长期以来围绕着实数概念的逻辑循环得以彻底消除．实数的定义及其完备性的确立，标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成．10.2.3集合论的诞生在分析的严格化过程中，一些基本概念如极限、实数、级数等的研究都涉及到由无穷多个元素组成的集合，特别是在对那些不连续函数进行分析时，需要对使函数不连续或使收敛问题变得很困难的点集进行研究，这样就导致了集合论的建立．狄利克雷、黎曼等人都研究过这方面的问题，但只有康托尔在这一过程中系统发展了一般点集的理论，并开拓了一个全新的数学研究领域．

康托尔是在研究函数的三角级数表达式的唯一性问题时开始接触无穷点集的．为了描述这种集合，他在1872年发表的《关于三角级数中一个定理的推广》这篇文章里，定义了一系列点集论的基本概念，如极限点、导集、二阶导集，…，第一型导集、第二型导集等，奠定了无穷点集论的初步基础．在将唯一性定理推广到允许无穷例外点等的过程中，康托尔认识到，这些例外点的集合及其导集所产生的问题与全体实数集合的构造性质密切相关．因此，康托尔开始关注这样一个问题：

像自然数集那样的无穷集合和像实数集那样的无穷集合存在着怎样的关系?

1873年11月29日，康托尔在给戴德金的信中将上述问题以更明确的形式提了出来：

全体正整数集合和全体实数集合能否建立一一对应?

康托尔这个问题看起来似乎不成问题，因为是离散的，是连续的，但康托尔认为这个问题也许并不那么简单，我们不能过分相信直觉．

康托尔

导致康托尔作出这种判断的，是他不久前刚刚证明的一个结论：全体有理数的集合是可数的．这很有些出乎意料，因为有理数不像自然数，它是稠密的，在任何两个不同的有理数之间都存在另一个有理数，事实上，有无限多个．依靠直觉，似

考虑正有理数按以下方式排成的阵列（如图）。在其中，第一行依大小次序包括所有以1为分母的正分数，即全体正整数；第二行依大小次序包括所有以2为分母的正分数；第三行依大小次序包括所有以3为分母的正分数等等．显然，每个正有理数出现在这个阵列中．如果我们按箭头所示依次重新排序，略去已经出现过的数，就得到全体正有理数的一个无穷序列，

于是序列就是包括所有有理数的集合。这样就证明了有理数集的可数性．乎可以断言有理数是不可数的，但事实并非如此．康托尔的证明如下(这里是他1895年给出的第二个证明)．更令人惊异的是，康托尔还证明全体实代数数的集合也是可数的，而在直觉上实代数数似乎要比有理数多得多．康托尔起初想要证明实数集也是可数的，但他终于发现，在自然数集和实数集之间不可能建立一一对应．康托尔的第一个证明是在1873年12月作出的，而以“康托尔对角线法”著称的第二个证明则发表于1890年．在这第二个证明中，康托尔实际考虑的是实数集．他的思路是，假定是可数集，则必然存在中所有实数的一个序列，现将每个这样的实数写成十进小数形式，并约定将有理数写成无穷小数，如于是有现构造，并规定如果，则，如果，则，因此是中的一个实数，但却不同于上面序列中的任何一个数．这就与假定相矛盾，因此是不可数的．康托尔关于实数不可数性的发现，是为建立超穷集合论而迈出的真正有意义的一步．之后，康托尔开始考虑在正整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年到1877年，他经过三年的探索，证明了维空间的点集与线性点集是可以建立一一对应的．这个结论与直觉如此相悖，以致康托尔惊呼：“我见到了，但我不相信．”当这个结果在1878年发表后，也引起了克罗内克等人的激烈反对．正是在这篇文章中，康托尔明确提出了“基数”或“势”的概念：给定两个集合和，如果能够根据某种规则在它们之间建立起一一对应的关系，就称这两个集合有相同的“基数”，或者说“等势”．康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数推广到无穷数．为此，他建立了超穷基数和超穷序数的理论．因为既然维空间不能产生更大的无穷集合，进一步就要问能否从已知的无穷集合出发根据确凿的数学运算来形成更大的无穷．康托尔先是在1883年的一篇文章里提出了良序集和序数的概念，并根据序数理论从序数集来形成更大的无穷．而后他又在1891年发表的“集合论的一个根本问题”里，利用一集合的幂集(即该集合所有子集的集合)来形成较原集合更大的无穷，并证明了著名的康托尔定理：一集合的幂集的基数较原集合的基数大。

因此，从自然数集的基数(也是一切可数集的基数)出发，根据康托尔定理就得到了超穷基数一个无限上升的序列：

这里表示自然数集的基数，表示其幂集的基数，等等．这样，康托尔就为我们展现了一幅壮丽的图景：无穷也具有无穷多的“层次”，并不存在一个最大的无穷．

可以证明，就是实数集的基数(也称连续统的基数)，那么在自然数集基数与连续统基数之间是否还存在其他基数?上述序列是否穷尽了一切超穷基数呢?

这就是著名的连续统假设和广义连续统假设，康托尔没有解决这个问题，后来希尔伯特把它列为他所提出的23个著名问题的第一个问题(见第11章)．格奥尔格·康托尔

格奥尔格·康托尔（Cantor，1845-1918）德国数学家，集合论的创始人。生于俄国圣彼得堡（今俄罗斯列宁格勒）。父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。1856年全家迁居德国的法兰克福。先在一所中学，后在威斯巴登的一所大学预科学校学习。

康托尔，1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于库默尔（Kummer，1810-1893）、维尔斯特拉斯和克罗内克(Kronecker，1823-1891)。

1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下获博士学位。毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。他在哈雷大学任教（1869-1913）的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数。

1872年成为该校副教授，1879年任教授。由于学术观点上受到的沉重打击，使康托尔曾一度患精神分裂症。

1884年，由于连续统假设长期得不到证明，再加上与克罗内克（康托尔的老师）的尖锐对立，精神上屡遭打击，5月底，他支持不住了，第一次精神崩溃。虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。1918年1月6日在德国哈雷（Halle）-维滕贝格大学附属精神病院去世。令人唏嘘不已…

康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建立。除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题.1888-1893年康托尔任柏林数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。主要贡献

康托尔对数学的贡献是集合论和超穷数理论。

两千多年来，科学家们接触到无穷，却又无力去把握和认识它，这的确是向人类提出的尖锐挑战。康托尔以其思维之独特，想象力之丰富，方法之新颖绘制了一幅人类智慧的精品——集合论和超穷数理论，令19、20世纪之交的整个数学界、甚至哲学界感到震惊。

可以毫不夸张地讲，“关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的。”评价

康托尔的集合论得到公开的承认和热情的称赞应该说首先在瑞士苏黎世召开的第一届国际数学家大会上表现出来。随着时间的推移，人们逐渐认识到集合论的重要性。希尔伯特(Hilbert，1862-1943)高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”，“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”，“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。希尔伯特用坚定的语言向世界宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。

10.3分析的扩展

19世纪分析的严格化成为这个时代分析的特点，但是，加固基础的工作并没有影响到19世纪的分析学家们去进一步拓广自己的领域。伴随着分析的严格化，分析中的一朵奇葩——复变函数论成长壮大起来；与物理问题密切相关的微分方程继续成为数学家和物理学家共同关注的焦点；数学家们也开始更自觉地将分析工具应用于其他的数学分支，解析数论应运而生，概率论则为在20世纪的独立发展作好了准备(概率论的发展将在第11章中介绍)．10.3.1复分析的建立

直到19世纪初，复数的“合法性”仍是一个未解决的问题，但是这并没有妨碍18世纪的数学家如达朗贝尔和欧拉等人在他们的工作中大量地使用复数和复变量，他们也由此发现了复函数的一些重要性质．例如，达朗贝尔在研究流体力学问题时，欧拉在用复函数计算实积分时，都得到了现在所称的柯西—黎曼方程：

其中分别是复变量的一个复函数的实部和虚部．他们的工作导致了分析技巧和函数概念的重要发展然而不论是欧拉还是达朗贝尔都没有进一步研究复函数的性质，在他们那里复函数并不是一个基本的实体，相反，他们是依靠把的实部和虚部分开来进行其分析工作的．下面简单回顾一下：达朗贝尔和欧拉达朗贝尔(法,1717-1783)

自学成才，进入巴黎科学院：院士、终身秘书1751-1757年与狄德罗(1713-1784)共同主编《百科全书》“科学处于17世纪的数学时代到18世纪的力学时代，力学应该是数学家的主要兴趣。”《动力学》、《数学手册》数学分析的重要开拓者之一，其成就仅次于欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和丹尼尔•伯努利

18世纪最伟大的数学家、分析的化身、“数学家之英雄”

圣彼得堡科学院(1727-1741,1766-1783)柏林科学院(1741-1766)1748年《无穷小分析引论》、1755年《微分学原理》、1768-1770年《积分学原理》最多产的数学家、《欧拉全集》84卷李善兰译的《代数学》（1859）等著作记载了欧拉的学说“读读欧拉，他是我们大家的老师”“四杰”：阿基米德、牛顿、欧拉、高斯欧拉(瑞士,1707-1783)

复分析真正作为现代分析的一个研究领域，是在19世纪建立起来的，而且主要是通过柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯三个人的工作而发展的．

柯西的第一篇复变函数论方面的重要论文是他1814年所写的“关于定积分理论的报告”．确切地说，柯西讨论的是计算反常(实)积分的值，这是自欧拉时代起数学家们所研究的一个课题．

柯西认为，在计算定积分的值时，欧拉以及后来的拉普拉斯等人使用了“一种基于从实到虚的过程的归纳法”，而他本人的目的则是将这一过程用“直接的和严格的分析来建立”．他还讨论了二重积分的换序问题，正是在这里，他引入了我们上面提到的那个著名方程．

然而，柯西在这篇文章中仍旧像欧拉和拉普拉斯那样没有把复函数作为一个基本实体来考虑．事实上，直到1825年，柯西在这方面并没有前进几步．柯西在1825年出版的一本小册子《关于积分限为虚数的定积分的报告》可以看成是复分析发展史上的一个里程碑．在其中他建立了我们现在所称的柯西积分定理．柯西本人对这个定理的叙述如下：如果对于和是有穷的并且是连续的，，并令，其中取实值，那么积分的值与函数和的形式无关，也就是说与积分路径无关．柯西还考虑了在矩形区域内部或边界上成为无穷的情形．这时沿着两条不同路径的积分的值一般是不同的．他在各种假设下计算了它们之间的差．例如只在位于两条积分路径之间的一点处成为无穷，并且以下极限存在，即在有一个单极点，他证明积分之间的差是．柯西在1826年的一篇论文中称量本身为积分留数．另外柯西还指出，当一个函数在两条积分路径之间有几个极点时，积分之差必须取留数之和.从1826年起，柯西发表了一系列有关留数计算的文章，并给出了留数的新的表达式．留数的概念和发展是柯西的一个重要贡献．然而，直到1846年，柯西所关心的中心问题还是实积分及其值的计算．标志着柯西复变函数观点发生转变的是他在1846年发表的两篇文章，其中他把与路径无关的基本定理和留数定理分别推广到了任意闭曲线的情形。到1850年前后，柯西已完全认识到他的工作作为复变函数基本结果的重要性．

也就在这个时候，黎曼以他的一篇关于复分析基础的论文在哥廷根大学获得博士学位．正如著名数学家阿尔福斯(L.V.Ahlfors)所说，这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新了代数几何，并为黎曼自己的微分几何研究铺平了道路．

就复变函数论来讲，这篇论文最突出的特征是其中的几何观点．正是在这里，黎曼引入了一个全新的几何概念，即黎曼曲面．

引入这种曲面的出发点在于对多值函数进行研究．黎曼面可以看作是由一些互相适当连接的重叠的平面构成．例如考察函数，对于每个值，一般有的两个值与之对应．为了研究这个函数并保持两个值集和(或者说函数的两个分支)分开，黎曼给每个分支引进一个值平面，还在每个平面上引进一个点对应于，将这两个平面看成是一个位于另一个的上方，它们在两个分支给出相同值的那些值处，即和处连接起来．这样的这两个平面(或称叶)就构成了黎曼面．因此，当在黎曼面上变动时，就变为的一个单值函数．

虽然黎曼面是一个几何概念，但它远非是直观的，我们也不可能在三维空间里准确地表示出黎曼面，为此，黎曼的观点还遭遇到了一些同时代人的反对．例如魏尔斯特拉斯就称黎曼面不过是一种“几何幻想物”．

黎曼非欧几何黎曼(1826-1866）德国著名数学家。1846年，进入哥廷根大学学神学，后在数学家的影响下，放弃神学改学数学，有幸成为高斯晚年的学生。获博士后留校。

黎曼（1826-1866）魏尔斯特拉斯本人为复变函数论开辟了又一条研究途径．魏尔斯特拉斯的工作一向以严格著称，这一点我们在上一节已经领略到了．同样，他关于解析函数的工作也是以追求绝对的严格性为特征的．因此，魏尔斯特拉斯不仅拒绝使用柯西通过复积分所获得的结果(包括柯西积分定理和留数理论)，他也不能接受黎曼提出的那种几何“超验”方法．他相信函数论的原理必须建立在代数真理的基础上，所以他把目光投向了幂级数．用幂级数表示已用解析形式给出的复函数，对于魏尔斯特拉斯来说并不是一个新的创造．但是，从已知的一个在限定区域内定义某个函数的幂级数出发，根据幂级数的有关定理，推导出在其他区域中定义同一函数的另一些幂级数，这个问题是魏尔斯特拉斯解决的．上述过程也称为解析开拓，它在魏尔斯特拉斯的理论中起着基本的作用．使用这种方法，已知某个解析函数在一点处的幂级数，通过解析开拓，我们就可以完全得到这个解析函数．在19世纪末，魏尔斯特拉斯的方法占据了主导地位，正是这种影响，使得