《工程弹性力学基础》

弹性力学李li@课程简介

教材《工程弹性力学基础》周道祥张伟林编著合肥工业大学出版社

参考书弹性力学复习及解题指导王俊民同济大学出版社弹性力学徐芝纶高等教育出版社弹性力学杨桂通高等教育出版社工程弹性力学赵学仁北京理工大学出版社工程弹性力学黄炎清华大学出版社铁木辛柯（Timoshenko）弹性理论科学出版社

CarlosA.Felippa.Introductiontofiniteelementmethods.Colorado,2004课程计划与成绩评定第一章绪论第二章平面问题的基本理论第三章用直角坐标解平面问题第四章用极坐标解平面问题第五章有限单元法解平面问题考核方式：平时成绩（30%）+期末考试（70%）第一章绪论

研究对象和任务基本假设基本概念发展历史

§1.1

弹性力学的内容

§1.2

弹性力学的基本假设

§1.3

弹性力学的基本概念

§1.4

弹性力学的发展和主要解法目录弹性力学，是变形体力学的一个重要组成部分。

基本任务—研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、形变和位移及其分布情况等。§1.1

弹性力学的内容材料力学─研究杆件（如梁、柱和轴）的拉压、弯曲、剪切、扭转和组合变形等问题。

弹性力学─研究各种形状的弹性体，如杆件、平面体、空间体、板壳、薄壁结构等问题。

结构力学─在材料力学基础上研究杆系结构

（如桁架、刚架等）。

课程

研究对象

研究任务

材料力学

杆状构件分析弹性构件在弹性阶段的应力和位移，校核强度、刚度和稳定性

结构力学杆系，即：杆状构件组成的结构

弹性力学一般性构件（杆、板、壳、块体）及结构三种力学体系的对比研究采用的假设弹力：物理问题－基本假设－力学模型－数学模型－解答。精确分析和精确结果材力：基本假设+附加简化假设－例如平截面假设、剪力分布假设等。结构力学：附加简化假设－例如分层法忽略各层框架相互影响假设不同－求解难度不同；结果的复杂程度也不同

工程应用(设计)和理论研究的思维方式不同最后的数学问题弹力：三维数学问题，综合分析的是偏微分方程边值问题。材力：一维数学问题，求解的基本方程是常微分方程。研究方法弹力:从微分单元体入手,仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，放弃了材力中的大部分附加假定。材力：借助于直观和实验现象作一些假定，如平面假设等，然后由静力学、几何关系、物理方程三方面进行分析。结果不同：弹性力学求解微分方程得出较精确的解答；材料力学建立的是近似理论，得到的是近似的解答；例1：分析深度和跨度相同的直梁在横向荷载作用下的弯曲。弹性力学与材料力学比较按材料力学，应用平面截面假设，得出横截面上的正应力（弯应力）,按直线分布（M(y-3h)/I）；弹性力学分析的结果并不是按直线分布，而是按曲线变化的。弹性力学与材料力学比较因此，材料力学给出的最大正应力误差很大例2：分析有孔拉伸构件净截面上的拉应力分布。弹性力学与材料力学比较按材料力学，通常假定拉应力在净截面上均匀分布；弹性力学分析的结果，远不是均匀分布，而是在孔的附近发生高度的应力集中，孔边的最大拉应力会比平均拉应力大出几倍。弹性力学与材料力学比较应用于非杆件工程结构的力学分析；现代大型工程结构中安全性和经济性评价与分析；弹性力学在机械、水利、土木、航空等工程学科中占有重要地位；弹性力学的工程应用领域建筑工程水利工程航空航天工程船舶机械工程杆、板、块体组合结构

§1.1

弹性力学的内容

§1.2

弹性力学的基本假设

§1.3

弹性力学的基本概念

§1.4

弹性力学的发展和主要解法目录基本假设是学科的研究基础。超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科的研究。弹性力学基本假设为什么要提出基本假定？

任何学科的研究，都要略去影响很小的次要因素，抓住主要因素建立计算模型归纳为学科的基本假定。1.2

弹性力学的基本假设连续性假设均匀性假设各向同性假设完全弹性假设小变形假设无初始应力的假设1.

连续性假设

——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。——变形后仍然保持连续性。根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力等均为物体空间的连续函数。微观上这个假设不成立——宏观假设。2.

均匀性假设

——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。——物体的弹性性质处处都是相同的。物体各个部分的物理性质不随坐标位置的变化而改变。工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，可以视为均匀材料。3.各向同性假设

——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。——宏观假设，材料性能各向同性。当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。——这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。材料力学性能参数由36个减少为2个。4.完全弹性假设

——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变化而改变。消除时间因素对变形体的影响。——假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有应力。弹性力学求解的应力仅仅是外部作用（外力或温度改变）产生的。5.

无初始应力假设

6.

小变形假设

——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。——忽略位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。弹性力学的基本假设：连续性、均匀性、各向同性、完全弹性、自然应力状态和小变形假设都是关于材料变形的宏观假设。弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本假设。这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。弹性力学的基本假设

§1.1

弹性力学的内容

§1.2

弹性力学的基本假设

§1.3

弹性力学的基本概念

§1.4

弹性力学的发展和主要解法目录X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影单位：N/m3kN/m3——体力分布集度xyzO

F

是坐标的连续分布函数；

F

的加载方式是任意的

(如：重力，磁场力、惯性力等)

X、Y、Z

的正负号由坐标方向确定。一、外力:

其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。1.体力：分布在物体体积内的力，如重力、惯性力等。体力大小一般用弹性体内单位体积所受力的大小表示，称体力的集度。2.

面力作用于物体表面单位面积上的外力——面力分布集度（矢量）xyzO——面力矢量在坐标轴上投影单位：1N/m2=1Pa(帕)1MN/m2=106Pa=1MPa(兆帕)

F是坐标的连续分布函数；

F的加载方式是任意的;

的正负号由坐标方向确定。内力

物体承受外力作用，其内部各部分之间产生相互作用，即为内力。为了显示出这些内力，用一截面截开物体，并取出其中一部分：其中一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们是分布在截面上分布力的合力。1.内力包括力和力矩2.内力同时与位置和截面有关3.弹性力学中，内力是应力的积分。4.内力的计算可以采用截面法，即利用假想平面将物体截为两部分，将希望计算内力的截面暴露出来，通过平衡关系计算截面内力F。

2、应力应力：内力的集度，即单位面积上的内力。取截面的一部分，它的面积为ΔA，为物体在该截面上ΔA点的应力ΔFΔA平均集度为ΔF/ΔA，其极限作用于其上的内力为ΔF，全应力p

、正应力σ

、切应力τ

通常将全应力p沿垂直于截面和平行于截面两个方向分解为pτ正应力σ剪（切）应力τ与物体的变形和材料强度直接相关的是正应力σ和切应力τ。σyxyzoσxσz正应力σ

图示单元体面的法线为y,称为y面，应力分量垂直于单元体面的应力称为正应力。正应力记为σy,沿y轴的正向为正,其下标y表示所沿坐标轴方向。剪（切）应力τ

平行于单元体面的应力称为切应力，用τyx

、τyz表示，其第一下标y表示所在的平面，第二下标x、z分别表示沿坐标轴的方向。如图示的τyx、τyz。xyzoτyzτyxσyxyzo（2）符号规定：正面和负面：截面外法线与坐标轴正方向一致，则该面为正面，反之，如果截面外法线与坐标轴负方向一致，则该面为负面。正面正面正面NNN应力的符号：正面上的应力沿坐标轴正向为正，沿坐标轴的负向为负；负面上的应力沿坐标轴负向为正，沿坐标轴的正向为负。即：“＋＋”＝“＋”；“－－”＝“＋”“＋－”＝“－”；“－＋”＝“－”xyzox、y、z负面上的正的应力分量的表示如图所示。xyzo可见：正应力以拉应力为正，压应力为负，与材料力学的符号一致。正、负面上，正的应力分量正、负面上，负的应力分量弹性力学材料力学注意弹性力学切应力符号和材料力学是有区别的，图示中，弹性力学里，切应力都为正，而材料力学中相邻两面的的符号是不同的。在画应力圆时，应按材料力学的符号规定。应力分量描述一点的应力状态，通常围绕该点取一微小的正平行六面体，其棱边分别平行于三个坐标轴。各面上的应力用沿坐标轴的分量来表示，称为应力分量。

相对平面上的应力分量在略去高阶小量的意义上大小相等，方向相反。xyzo应力不仅和点的位置有关，和截面的方位也有关，不是一般的矢量，而是二阶张量。（4）切应力互等定律即τxy＝τyx

,τyz

＝τzy,

τzx

＝τxz证明：连接六面体前后两面中心的直线ab为矩轴，列出力矩平衡方程：同理可得：得：例：平面问题中正的应力应力与面力，在正面上，两者正方向一致，在负面上，两者正方向相反。例：应力与面力正方向的关系弹力与材力相比，正应力符号，相同切应力符号，不同材力：以拉为正材力：顺时针向为正例：弹力与材力中应力符号对比已知单元体各面上的应力分量，试在单元上标出方向与数值。应力的概念－举例3.应变1.线应变:过该点取三个正交微分线段研究,如图所示：(1)应变分量沿x方向沿y方向

沿z方向线应变符号规定伸长为正缩短为负。(与正应力的正负号规定相对应）

沿两个坐标轴正向之间的直角变小为正,变大为负。（与剪应力正负号规定相对应）(1)剪应变分量角度的变化－与材料力学相同。2、剪应变：(2)剪应变符号规定所以应变分量共有六个:剪应变例：分析如图所示微分体(PA固定)的应力应变状态。一点应变状态xyzOPBCA四.位移：物体内任一点位置的移动。一般用在三个坐标中的投影表示，符号：变形前变形后对比材料力学的位移：弹性力学位移是针对点的，不存在角位移。量纲：m或mm刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对位置不变变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各个点的相对位置。位移形式坐标轴正向为正,负向为负。位移的符号规定

§1.1

弹性力学的内容

§1.2

弹性力学的基本假设

§1.3

弹性力学的基本概念

§1.4

弹性力学的发展和主要解法目录1、发展初期（约于1660－1820）

这一时期的研究工作主要是通过实验方法探索物体的受力与变形之间的关系。

1678年，胡克（R.Hooke）通过实验发现胡克定律；伯努利（1705年）和库仑（1776年）研究了梁的弯曲理论。

1807年，杨通过实验提出和测定了材料的弹性模量；

§1.4

弹性力学的发展和主要解法弹性力学的发展大致可分为四个时期：2、理论基础的建立（约于1821－1855年）

这个时期建立了线性弹性力学的基本理论，并对材料性质进行了深入研究。

1820年，纳维建立了各向同性弹性体的方程，其中只有一个参数；

1828年，柯西提出应力、应变概念，建立了平衡微分方程，几何方程和广义胡克定律。柯西的工作是近代弹性力学的一个起点，使得弹性力学成为一门独立的固体力学分支学科。

3、线性理论发展时期（约于1854－1907年）这个时期主要是数学家和力学家应用已建立的线性理论去解决工程实际问题。1856年，圣维南（A.J.Saint-Venant）建立了柱体扭转和弯曲的基本理论，提出了圣维南原理；圣维南（A.J.Saint-Venant）1862年，艾里（G.B.Airy）提出了应力函数，以求解平面问题；1882年，赫兹建立了接触应力理论，求解了接触问题；赫兹（H.Hertz）1850年及以后，基尔霍夫建立了平板理论，解决了平板的平衡和振动问题；生於德国。曾在海登堡大学和柏林大学任物理学教授，他发现了电学中的“基尔霍夫定理”，同时也对弹性力学，特别是薄板理论的研究作出重要贡献。基尔霍夫(G.R.Kirchoff)4、弹性力学更深入的发展时期（1907年至今）

1907年后，非线性弹性力学迅速发展。1907年，卡门提出了薄板的大挠度问题；卡门和钱学森提出了薄壳的非线性稳定问题；力学工作者提出了大应变问题、非线性材料问题（塑性力学等）。1933年，穆斯海里什维利发展了应用复变函数理论求解弹性力学问题的方法等。另一个重要理论成果是建立能量原理；提出一系列基于能量原理的近似计算方法。许多科学家.像拉格朗日(J.L.Lagrange)，乐甫(A.E.H.Love)，铁木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了贡献。中国科学家钱伟长、钱学森、徐芝伦、胡海昌等在弹性力学的发展，特别是在中国的推广应用做出了重要贡献。钱伟长钱学森胡海昌徐芝纶杨桂通弹性力学的研究方法根据已知弹性体的边界形状、弹性常数、物体所受的体力，以及边界上的面力和约束，来求解弹性体内的应力、形变和位移的未知函数。弹性力学问题究竟是如何求解的呢？物体的形状、尺寸、体力、面力、约束情况、材料的物理常数。应力、应变、位移共15个函数。已知量和待求量(1)已知量(2)待求量1、解析法：根据静力学、几何学和物理学等条件，建立区域内的微分方程和边界条件，用数学分析方法求解微分方程的边值问题，得出的解答是精确的函数解；2、变分法（能量法）：根据变形体的能量极值原理，导出弹性力学的变分方程，并进行求解。所得解大多是近似的。3、差分法：将导出的微分方程及边界条件化为差分方程（代数方程）进行求解，是微分方程的近似数值解法。弹性