第一章自由振动

结构动力学与振动

MechanicalDynamicsandVibration

谌勇

chenyong@

34206332-818

董兴建donxj@

34206332-818EM206办公室机械楼A楼818/818室第一章单自由度系统基础知识单自由度自由振动单自由度强迫振动任意激励下的响应正弦函数的描述正弦函数的描述简谐运动可由长度为A且以固定的角速度旋转的向量来表示例子求两个简谐运动的和方法1：三角函数法方法2：矢量运算法例子根据矢量加法的几何表示可求得合矢量为：复数的代数运算方法3：复数方法例子分别表示为复数形式后再按复数的加减法规则：Mass-mStiffness-k不论采用什么方法，单自由系统的运动方程最终可以归结为一个二阶常微分方程组NotdrivenbyexternalforceLetthen代入方程，可以得到且：固有圆频率所以，解的一般形式可以写成(1)单自由系统的解特征值特征方程求

c1

和

c2

c1

和c2

是和初值相关的常数，可有x(0)and

得到简谐振动withand简谐振子(2)固有频率的讨论∵∴固有频率固有周期固有圆频率速度、加速度通过简单的微分关系，可以从振动位移求得振动速度及加速度Position,velocityandaccelerationofaharmonicoscillatorPosition,velocityandaccelerationofaSHMasphasors能量关系系统的

动能T随时间的变化规律可写为系统的

势能U

随时间的变化规律可写为系统的总能量可以写为自由振动的特点ΦΦ黏性阻尼系统的解令得到特征方程两个特征根对应的解解的一般形式临界阻尼与阻尼比当阻尼满足，称为系统的临界阻尼无量纲量称为阻尼比，此时有：解的一般形式（量纲：牛顿·秒/米）欠阻尼系统当系统的阻尼小于其临界阻尼，称为欠阻尼系统。即：为负数通解可写成初始条件为任意常数给定初始条件可求得解的具体形式为常数可写为（图中）欠阻尼系统的时域曲线即为阻尼振动的角频率阻尼增大频率变小！根据初始条件有：临界阻尼系统临界阻尼系统的两个根相等，即：通解为此时，称为临界阻尼系统（）过阻尼系统称为过阻尼系统。其两个实根通解为当由初始条件可得：不同阻尼系统响应临界阻尼是使系统作非周期运动的最小阻尼！根轨迹（反映了特征方程的根随阻尼变化的规律）相轨迹对数衰减系数定义：任意两个相邻的振幅之比的自然对数定义t1和t2

为两个连续的振幅相对应的时间，则有则有因为所以令δ

称为“对数衰减系数”或“对数衰减率”小阻尼情形有对数衰减率与阻尼比之间的相互关系为对数衰减率与阻尼比（用于实验测试阻尼）也可通过任意m个整数周期的位移来求得，∵∴则有：当，二、有阻尼情形运动方程一般形式假设稳态解形式并代入运动方程得用三角函数公式展开令两边同谐波项相等幅频特性相频特性稳态和瞬态问题！！全解！无量纲化振幅放大系数（幅值比）式中：卷积积分非周期变化的激振力大小是随着时间变换的，最简单的非周期激振力即为冲击力-------幅值大但作用时间短当冲击力很短时，则可根据冲量定理更一般的冲量表达形式为则单位冲量定义为冲量作用下的单自由度系统响应考虑具有粘性阻尼的弹簧-质量系统在t=0时受到一个单位冲量作用:对冲量的响应对于欠阻尼系统，其运动方程为则系统的瞬态响应为其中对冲量的响应如果质量块在冲量作用之前静止，即则系统的初始条件变为系统的响应为我们有:称为

单位脉冲响应函数对冲量的响应如果冲量的大小是而不是1，那么初始速度变为此时系统的响应成为冲量及响应如右图所示。如果冲量是作用在任意时刻处，则该时刻速度变化为。假设冲量作用前，则系统响应为脉冲发生的时刻对任意外力的作用，可将任意力看成是一系列大小变化的冲量组成的。对一般力的响应假设在时刻，力在很短的时间作用在系统上，则在这一时刻的冲量就是，对于任意时刻，冲量发生的时间为，则该冲量在时刻引起的系统的响应为:则系统在

t

时刻的总响应等于之前所有时刻的微冲量引