点的复合运动

点的合成运动如何确定O1B杆的角速度？

点的合成运动如何确定AB杆的速度？如何确定车刀相对于工件的运动？

点的合成运动车刀在工件圆端面上切出的痕迹？

点的合成运动用动静两种参照系描述同一动点的运动，分析两种描述间的相互关系，即运动分解与合成的规律。

－运动学的重点主要内容：绝对运动、相对运动与牵连运动点的速度合成定理点的加速度合成定理

绝对运动、相对运动与牵连运动一运动的相对性1

对运动的观察允许使用各种参考系；2不同的参考系对同一运动的具体描述是不同的；3如果相对于某一参考系的运动，可由相对于其它参考系的几个运动组合而成，则称这种运动为合成运动（复杂运动）。绝对运动、相对运动与牵连运动定参考系（绝对参照系）：固结于地面的坐标系动参考系（相对参照系）：固结于相对地面有运动的物体上的坐标系二动点与牵连点动点：相对于定系和动系均有运动的点，即考察运动的那一点。牵连点：某一瞬时在空间位置上与动点相重合的动坐标系上的点称为此瞬时动点的牵连点。定系（绝对参照系）：固结于地面的坐标系动系（相对参照系）：固结于相对地面有运动的物体上的坐标系在不同的瞬时，牵连点是动系上的不同点

三三种运动绝对运动：动点相对于定系的运动。

点的运动绝对轨迹绝对速度va

（absolutevelocity）

绝对加速度aa（absoluteacceleration）—动点在定系下的运动描述绝对运动、相对运动与牵连运动相对运动：动点相对于动系的运动

点的运动绝对运动、相对运动与牵连运动相对轨迹动点的相对速度vr

（relativevelocity）和相对加速度ar

（relativeacceleration）—动点在动系下的运动描述牵连运动：动系相对于定系的运动平动、定轴转动—动系在定系下的运动描述牵连运动具有刚体运动的特点绝对运动、相对运动与牵连运动牵连速度及加速度相对于定系而言牵连点相对定系的运动速度和加速度，分别称为为动点的牵连速度ve

（convectedvelocity）和牵连加速ae

（convectedacceleration）—牵连点在定系下的运动描述

在岸上观察，舰以角速度作纵摇运动，飞机沿甲板飞行。若将动系固结于舰上随舰作纵摇运动，问：当飞机未飞出甲板时=？当飞机已飞出甲板时=？xy思考：牵连速度：牵连点在定系下的速度牵连点：某一瞬时在空间位置上与动点相重合的动坐标系上的点称为此瞬时动点的牵连点。ve重物的运动分析定参考系？动参考系？绝对运动？相对运动？牵连运动？动点？牵连点？y’x’x’o’牵连点定参考系？动参考系？绝对运动？相对运动？牵连运动？动点？牵连点？定参考系？动参考系？绝对运动？相对运动？牵连运动？动点？牵连点？定参考系？动参考系？绝对运动？相对运动？牵连运动？动点？牵连点？定参考系？动参考系？绝对运动？相对运动？牵连运动？动点？牵连点？y’x’x’o’牵连点相对运动轨迹定参考系？动参考系？绝对运动？相对运动？牵连运动？动点？牵连点？定参考系？动参考系？绝对运动？相对运动？牵连运动？动点？牵连点？例1

以平面运动为例，利用坐标变换推导三种运动之间的关系。解：设M为动点，取定系、动系如图所示：绝对运动方程为：相对运动方程为：牵连运动方程为：绝对运动方程为：绝对运动、相对运动与牵连运动矩阵形式：变换矩阵：（TransformationMatrix)方向余弦矩阵：（DirectionCosineMatrix)绝对运动、相对运动与牵连运动例2

动点M相对于动系x'oy'以匀速率v作半径为r的圆周运动，动系相对于静系xoy作角速度为的匀速率定轴转动，若初始时刻动系与静系相重合。求动点M的绝对运动轨迹。例

动点M相对于动系x'oy'以匀速率v作半径为r的圆周运动，动系相对于静系xoy作角速度为的匀速率定轴转动，若初始时刻动系与静系相重合。求动点M的绝对运动轨迹。解：相对运动方程是：牵连运动方程为：绝对运动方程为：例3

车刀切削工件端面，车刀以运动方程x=bsint沿x轴作往复运动，工件以匀角速度作逆时针转动。求车刀在工件端面上运动产生的轨迹。M在动系、定系中坐标间的关系？例3

车刀切削工件端面，车刀以运动方程x=bsint沿x轴作往复运动，工件以匀角速度作逆时针转动。求车刀在工件端面上运动产生的轨迹。解：取刀尖M为动点，取工件为动系，则动点在动系与定系中的坐标：将M点的绝对运动方程代入：消去参数t得到相对轨迹为：点的速度合成定理一点的速度合成定理：z’x’y’牵连点运动轨迹P，P1P’绝对运动轨迹相对运动轨迹

P1’刚体在定系中运动，动系固结在刚体上。P1点－动系上与动点重合的点。rr1r’动点P沿着刚体上的曲线运动。tt+Δt二速度合成定理的几何法证明：不论牵连运动为何种运动瞬时关系绝对速度一定是速度平行四边形的对角线不论矢量法还是解析法均只能求解两个未知数建立了任一瞬时三个运动之间的速度关系，可避免列写运动方程及求导处理，直接求得速度。例4：刨床急回机构。曲柄长,

两轴间距。求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度。解：点A为研究的动点，把动参考系固定在摇杆上也可以用矢量在轴上的投影求解。？例5

矿砂从传送带A落到传送带B如图所示，站在地面上观察矿砂下落的速度为v1=4m/s，下落的方向与铅垂方向成300。已知传送带B的速度为v2=3m/s，求矿砂相对于传送带B的速度。思考：动点?定系?动系?ve600vaMvr动点:矿砂M定系:固结于地面上动系:

o’x’y’固结于传送带By’x’x’o’M点速度图？例5

矿砂从传送带A落到传送带B如图所示，站在地面上观察矿砂下落的速度为v1=4m/s，下落的方向与铅垂方向成300。已知传送带B的速度为v2=3m/s，求矿砂相对于传送带B的速度。解：动点:矿砂M定系:固结于地面上动系:o’x’y’固结于传送带By’x’x’o’vrvave600Mβ例6

如图所示，半径为r、偏心距为e的凸轮以匀角速度绕O轴转动，杆AB能在铅直槽内滑动且杆的端点A始终与凸轮相接触。求图示瞬时杆AB的速度。思考：动点?定系?动系?y’x’o’动点:AB杆上A定系:固结于铅直槽上动系:o’x’y’固结凸轮O上：A点速度图？点的速度合成定理解：动点:AB杆上A定系:固结于铅直槽上动系:o’x’y’固结凸轮O上：y’x’o’思考：动系:o’x’y’固结在杆AB上?

动点

?定系?

例7

已知vAB

=v=常量，当t=0时，

=0；求时，点C速度的大小。

v解取AB杆的A点为动点，动系固结在杆OC。当时，

va

=ve

+vrA点速度图？课堂讨论：已知：简谐运动机构的求：图示位置T形槽的速度。

va

=ve

+vr斜T型槽的速度分析还可以怎样求图示位置T形槽的速度？xy例7

已知：凸轮顶杆机构中。

求：与水平成角时顶杆的速度。应如何选取动点、动系？接触点为时变点θθ解：选动系与顶杆固结，选C为动点。如果为任意瞬时的角度，则任意瞬时顶杆之速度为例7

已知：凸轮顶杆机构中。

求：与水平成角时顶杆的速度。y’x’x’o’如何选取动点、动系？时变点OAcvevrva动点速度图？y’x’x’o’y’x’o’y’x’o’例8：已知

AB=L，求图示瞬时，小环M的速度。MABA’B’MABA’B’MABA’B’动点：小环M动系：固结杆AA’动点：小环M动系：固结杆BB’？？结论和讨论第八章点的合成运动请问下面的速度分析正确吗？如果不正确的话错在在哪里？y’x’x’o’y’x’o’运动分析速度分析解题步骤

点的加速度合成定理一平动动系下点的加速度合成定理：牵连运动为平动！例9曲柄OA以匀角速度

绕固定轴O转动，丁字杆BC沿水平方向往复平动，OA=r。求在图示位置时杆BC的加速度。第八章点的合成运动牵连运动为平动时点的加速度合成定理解：动点：滑块A动系:o’x’y’固结于BC杆由点复合运动的加速度合成定理有：y’x’o’例10

平行四连杆机构的上连杆BC与一固定铅直杆EF相接触，在两者接触处套上一小环M，当BC杆运动时，小环M同时在BC、EF杆上滑动。曲柄AB=CD=r，连杆BC=AD=l，若曲柄转至图示角位置时的角速度为，角加速度为，试求小环M的加速度。

动点：小环M解：静系：固连在地面上动系：固连在连杆BC上y’x’向y轴投影：例11：已知滑块在图示瞬时的速度和加速度，求此瞬时杆上A点的速度和加速度。解：动点：动系：定系：运动分析绝对运动：相对运动：牵连运动：求：绝对速度、绝对加速度ABr杆上A点固结于滑块地面直线运动圆周运动直线平移速度分析：x’y’作速度图作加速度图AB加速度分析：x’y’aOAc例12：已知图示瞬时圆盘的角速度和角加速度，求杆上A点的速度和加速度。解：动点：动系：定系：运动分析绝对运动：相对运动：牵连运动：求：牵连速度、牵连加速度盘心C固结于杆地面圆周运动直线运动直线平移速度分析：x’y’作速度图作加速度图加速度分析：另一种求解方法OAc解：动点：动系：定系：运动分析绝对运动：相对运动：牵连运动：求：B点的绝对（加）速度例13：已知铅垂摇杆在图示瞬时的角速度为，角加速度为，求此瞬时水平AB杆的角速度和角加速度。AB杆上B点固结于半圆滑道地面圆周运动圆周运动曲线平移1、速度分析：AB=3R作速度图作加速度图AB加速度分析：在上投影：D第八章点的合成运动牵连运动为平动时点的加速度合成定理解：取杆上A为动点，动系:o’x’y’固结于凸轮。例14凸轮在水平面上向右做减速运动。设凸轮半径为R，该瞬时的速度和加速度分别为v和a，求杆AB的加速度。y’x’o’作加速度图作速度图第八章点的合成运动牵连运动为平动时点的加速度合成定理解：取杆上A为动点，动系:o’x’y’固结于凸轮。由点合成运动的速度合成定理有：例14凸轮在水平面上向右做减速运动。设凸轮半径为R，该瞬时的速度和加速度分别为v和a，求杆AB的加速度。y’x’o’第八章点的合成运动牵连运动为平动时点的加速度合成定理向n轴投影：由点复合运动的加速度合成定理有：若以P为动点，动系固结于圆盘，验证牵连运动为平移时所得到的加速度合成定理是否成立。以图示的以等角速度绕轴O转动的圆盘为例。圆盘半径为R。在邻近其边缘的上方，静止地悬挂一个小球P。P点的运动分析绝对运动：静止，故绝对加速度牵连运动：绕O轴作定轴转动相对运动：以点O为圆心、R为半径，与盘上重合点反向的等速圆周运动。牵连加速度的大小相对加速度的大小动点的绝对加速度方向指向圆盘中心O

方向也指向圆盘中心O

牵连加速度与相对加速度的矢量和

牵连运动为平移时所得到的加速度合成定理，对于牵连运动为转动的情形，不再成立。

二定轴转动动系下点的加速度合成定理：相对加速度反映由于牵连运动（转动）引起vr方向之变化点的加速度合成定理－牵连加速度反映相对运动引起的ve大小改变科氏加速度：一半体现相对运动对牵连运动的影响，另一半体现牵连运动对相对运动的影响。P179~180点的加速度合成定理牵连运动为任意运动！圆盘以不同方向的角速度旋转时，皮带会如何变形？结论和讨论请分析地球表面一点由于考虑地球的自转而产生的科氏加速度。在什么方向？有什么意义？在你周围能够看到它的效应吗？第八章点的合成运动傅科摆结论和讨论请分析地球表面一点由于考虑地球的自转而产生的科氏加速度。在什么方向？有什么意义？在你周围能够看到它的效应吗？第八章点的合成运动傅科摆右岸的冲刷信风、季风旋涡的方向结论和讨论第八章点的合成运动科氏加速度:(Coriolisacceleration)

牵连运动为平动时：aC=0;牵连运动含有转动（如定轴转动）时：考虑aC;瞬时关系；宜用解析法求解，可求解两个未知数。例15

离心泵工作叶轮以匀转速n=200r/min顺时针转动。设流体质点A在叶轮出口处的绝对速度的径向分量vax=3m/s。在叶轮的出口处，质点相对切向加速度大小为24m/s2，方向如图所示。已知叶轮的导流曲线在出口处的曲率半径为ρ=0.2m，且出口处切线与半径成450角。叶轮半径r=0.15m。试求流体质点在出口处的绝对加速度。点的加速度合成定理aeararnacaaxyAy1x1vax分析：取叶轮出口处流体质点A为动点，作定系Oxy，动系Ox1y1固结在叶轮上：vay例15

离心泵工作叶轮以匀转速n=200r/min顺时针转动。设流体质点A在叶轮出口处的绝对速度的径向分量vax=3m/s。在叶轮的出口处，质点相对切向加速度大小为24m/s2，方向如图所示。已知叶轮的导流曲线在出口处的曲率半径为ρ=0.2m，且出口处切线与半径成450角。叶轮半径r=0.15m。试求流体质点在出口处的绝对加速度。解：取叶轮出口处流体质点A为动点，作定系Oxy，动系Ox1y1固结在叶轮上，由速度合成定理有：向径向作投影有：点的加速度合成定理vaxvay将加速度合成定理分别向x和y轴作投影有：点的加速度合成定理xyarAaearnacaavaxvay解题注意：点的加速度合成定理一般可写成如下形式：

大小？r2

2v

例16

已知圆环以等角速度绕轴O转动，液体在环内沿逆时针方向流动的相对速度v=常量；求1、2两点处液体的绝对加速度的大小。

方向？皆如图示解：分别取液滴1、2为动点，动系在固结圆环；对动点1：作液滴1、2加速度图

例16已知圆环以等角速度绕轴O转动，液体在环内沿逆时针方向流动的相对速度v=常量；求1、2两点处液体的绝对加速度的大小。解：分别取液滴1、2为动点，动系在固结圆环；对动点2：大小 ？r2

2v

方向 ？皆如图示向x、y轴投影：例17：已知滑块以匀速u平移，求在图示位置时，杆的角速度和角加速度。解：动点：动系：定系：

运动分析绝对运动：相对运动：牵连运动：求：牵连速度和牵连加速度板上与杆的接触点B固结于OA杆地面/机座oAB直线运动直线运动定轴转动速度分析：oB加速度分析：oAB例18

刨床急回机构曲柄OA的一端A用铰链与滑块相连接，当OA以固定角速度作定轴转动时，滑块在摇杆O1A上滑动，带动摇杆O1B绕固定轴O1摆动。设曲柄长OA＝r，两轴间的距离OO1＝l，求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度1及角加速度1

。分析：动点：曲柄端点A动系：固定在摇杆上，并与O1B一起绕轴O1摆动。作速度图

、加速度图例18

刨床急回机构曲柄OA的一端A用铰链与滑块相连接，当OA以固定角速度作定轴转动时，滑块在摇杆O1A上滑动，带动摇杆O1B绕固定轴O1摆动。设曲柄长OA＝r，两轴间的距离OO1＝l，求当曲柄在水平位置时摇杆的角速度1及角加速度1

。分别向x'和y'轴作投影：点的速度合成定理解：动点：曲柄端点A动系：固定在摇杆上，并与O1B一起绕轴O1摆动。点的加速度合成定理例19

已知半圆形凸轮半径为r，图示瞬时θ=300，凸轮以vB和aB平动。OA杆靠在凸轮上。试分析此瞬时杆的角速度ω和角加速度ε。解法1：

取凸轮圆心B为动点，动系固结于OA杆上。aeBaraenacaaxB作速度图

、加速度图例19

已知半圆形凸轮半径为r，图示瞬时θ=300，凸轮以vB和aB平动。OA杆靠在凸轮上。试分析此瞬时杆的角速度ω和角加速度ε。解法1：取凸轮圆心B为动点，动系固结于OA杆上。（1）分析速度（2）分析加速度向x轴投影：aeBaraenacaax解法2：虚设用小环M套住杆OA和凸轮轮缘取M为动点，第一动系O1x1y1固结于OA杆。第二动系为Ox2y2。向轴投影：思考：能否用这种方法求ε？vr2ve2ve1vr1M解：1.运动分析动点：杆O1A上A点；动系：固连于O2B杆；绝对运动：以O1为圆心的圆周运动；相对运动：与O2B平行的直线运动；牵连运动：绕O2轴定轴转动。2.速度分析

x´y´vevavr例题20图示之机构，O1A杆以匀角速度1转动，轮A半径为r，与O1A在A处铰接。O1A=2r，O2B始终与轮A接触。图示瞬时，=60，=30。求:图示瞬时O2B的角速度2、角加速度2。作速度图

作加速度图3.加速度分析

应用加速度合成定理

x´y´图示之机构，O1A杆以匀角速度1转动，轮A半径为r，与O1A在A处铰接。O1A=2r，O2B始终与轮A接触。图示瞬时，=60，=30。

4.讨论

是否可以选轮A与O2B杆接触点为动点？例21

半径为r的圆轮以等角速度ω绕O轴转动，从而带动靠在轮上的杆O1A绕O1轴摆动。已知OO1＝3r，试求图示位置O1A杆的角速度与角加速度。解：选C为动点，O1A杆上固结动系vrvave向O1y1轴投影acaeaenCaaarO作速度图

作加速度图例22：OA杆匀角速转动，求图示瞬时杆

AB上中点

D

的速度和加速度。OABD1:取AB杆上的D为动点，动系固结于套筒解：求速度2:取A点为动点动系固结于套筒AB杆相对运动为平移OABDOABDD点加速度分析研究A点加速度？？再由（1）式，可求得D点的加速度?例23.圆形凸轮绕O1轴转动，带动直角杆AOD绕O轴转动，通过套筒B带动BC杆沿铅垂线运动。已知：r=2cm，l1=4cm，l2=3cm。在图示位置时，=600，O1E处于水平位置，=2rad/s，=0，A点恰在凸轮的铅垂直径上。试求该瞬时：（1）A点相对于凸轮的加速度；（2）BC杆的速度和加速度。解：动点：AOD上A点，动系：凸轮，牵连转动

解：动点：AOD上A点，动系：凸轮，牵连转动

000动点:BC上B点，动系：AOD，牵连转动

00机电2011级机电2011级

小结:1．各类问题的共同点是正确选取动点和动系；分析三个运动和三个速度及相关加速度；应用速度合成定理及加速度合成定理建立各物理量之间的关系。2．要充分利用约束条件使相对轨迹直观、明显。常见的相对运动轨迹形状为直线或圆周线。3．计算时则先列写出矢量式，再用投影式完成各物理量的定量计算。并把计算结果特别是相应物理量的方向（转向）标示在图上。1．两个独立运动的物体，研究两者的相对运动原则：动点和动系分别属于两个物体。动点和动系的选择2．运动物体（载体）上有一动点作相对运动原则：动系固结于载体上，动点取有相对运动的点。动点和动系的选择3．机构传动一主动件与从动件的连接处存在持续连接点动点和动系的选择原则：（1）动点和动系应分别属于两个物体；（2）通常取持续连接点为动点；（3）常见的相对运动轨迹形状为直线或圆周线。动点和动系的选择二主动件与从动件的连接点是时变点（即随时间改变）动点和动系选择原则：（1）动点和动系分别属于两个物体；（2）动点一般不是连接点。（3）常见的相对运动轨迹形状为直线或圆周线。参考书理论力学思考题集

哈尔滨工业大学理论力学教研室编高教出版社理论力学自我检测谢传峰北京航空学院出版社理论力学重点、难点及典型题精解周纪卿韩省亮何望云西安交通大学出版社本章习题2-1～3、4～12习题要求1）要抄题，画原图；2）运动状态参量求得后要在图上画明；3）动点、动系要写清楚；书上习题讨论课课堂练习1—曲柄滑杆机构已知曲柄角速度w、角加速度，曲柄O