有限元法与程序-平面问题6

第2章平面问题的有限元法上次课内容回顾

平面矩形单元平面6节点三角形单元有限元法分析思路流程解综合方程[K]{⊿}={P}求结构节点位移{⊿}计算结构内力和应力系统分析(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵[K]形成等价节点荷载{P})离散（剖分）结构为若干单元单元分析(建立单元刚度矩阵[k]e形成单元等价节点力)§2.9平面有限元分析实施步骤与注意事项将要计算的弹性体划分成三角形单元。对结点进行编号，列出结点坐标作为输入信息。对单元进行编号，列出单元三个结点的号码作为输入信息。计算载荷的等效结点力，把等效结点力作为输入信息。计算各单元的常数，再计算2Δ。以三角形常应变单元解平面问题为例，具体歩骤可归纳如下一、实施步骤§2.9平面有限元分析实施步骤与注意事项计算各单元的刚度矩阵。形成整体刚度矩阵。处理约束及消除刚体位移。解线性方程组，求结点位移。计算应力矩阵，再计算单元应力。根据需要计算主应力和主方向。§2.9平面有限元分析实施步骤与注意事项对称性的利用。结点的选择和单元划分。结点的编号。单元结点i、j、m的次序。边界条件处理和整体刚度矩阵的修正应力计算结果的整理二、注意事项§2.9平面有限元分析实施步骤与注意事项二、注意事项边界条件的处理：划0置1法边界条件§2.9平面有限元分析实施步骤与注意事项二、注意事项边界条件的处理：冲大数法§2.10平面问题的计算机程序一、有限元分析程序基本框图开始输入基本数据计算单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵形成结点荷载向量引入约束条件求解方程组，输出结点位移计算单元应力，输出结果结束1、输入基本数据（结构描述）：（1）控制数据：如结点总数、单元总数、约束条件总数等；（2）结点数据：如结点编号、结点坐标、约束条件等；（3）单元数据：如单元编号、单元结点序号、单元的材料特性、几何特性等；（4）载荷数据：包括集中载荷、分布载荷等。§2.10平面问题的计算机程序一、有限元分析程序基本框图开始输入基本数据计算单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵形成结点荷载向量引入约束条件求解方程组，输出结点位移计算单元应力，输出结果结束（1）各单元的bi,ci(i,j,m)

，面积A；（2）应变矩阵[B]，应力矩阵[S]；（3）单元刚度矩阵[k]；（4）单元等价载荷列向量[F]。2、单元分析

3、系统分析（1）整体刚度矩阵[K]的组装；（2）整体载荷列阵{P}的形成；关键问题：[K]的存储；§2.10平面问题的计算机程序一、有限元分析程序基本框图开始输入基本数据计算单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵形成结点荷载向量引入约束条件求解方程组，输出结点位移计算单元应力，输出结果结束4、约束引入5、线性方程组求解求解方法常用：GAUSS消元法，LDLT、QR分解法等。其程序在一些专著中列出（例如：徐士良编。FORTRAN常用算法程序集。清华大学出版社）。在此不作详细介绍，其方法参阅有关书籍。§2.10平面问题的计算机程序一、有限元分析程序基本框图开始输入基本数据计算单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵形成结点荷载向量引入约束条件求解方程组，输出结点位移计算单元应力，输出结果结束6应力计算结果的整理计算结果包括位移和应力两个方面。在位移方面，一般无须进行整理工作。应力结果则需要整理。通常认为计算出的应力是三角形单元形心处的应力。而相邻单元之间的应力存在突变，甚至正、负符号都不相同。为了由计算结果推算出结构内某一点的接接实际的应力，必须通过某种平均计算。通常可采用两单元平均法或绕结点平均法。§2.10平面问题的计算机程序一、有限元分析程序基本框图开始输入基本数据计算单元刚度矩阵形成总体刚度矩阵形成结点荷载向量引入约束条件求解方程组，输出结点位移计算单元应力，输出结果结束6应力计算结果的整理两单元平均法：把两个相邻单元中的常应力加以平均，用来表示公共边界中点处的应力。绕结点平均法：把环绕某一结点的各单元常应力加以平均，用以表示该结点的应力。在内结点效果较好，而在边界结点可能很差，一般改为应由内结点的应力外推计算出来。§2.10平面问题的计算机程序二、总体刚度矩阵[K]的存储全矩阵存贮法：不利于节省计算机的存贮空间，很少采用。对称三角存贮法：存贮上三角或下三角元素。半带宽存贮法：存贮上三角形（或下三角形）半带宽以内的元素。一维压缩存贮法：半带宽存贮中仍包含了许多零元素。存贮每一行的第一个非零元素到主对角线元素。等带宽形式UBWUBW行号1→IR

→N→1列号JC行号1→IR→N→1JC-(IR-1)方阵形式1半带宽存贮法方阵存贮和半带宽存贮地址关系存贮方式行号列号方阵存贮IRJC等带宽存贮IRJC-IR+1半带宽计算：设结构单元网格中相邻结点编号的最大差值是d，则最大半带宽为UBW：结点编号：欲使最大半带宽UBW最小，必须注意结点编号方法，使直接联系的相邻节点的最大点号差最小。例：计算下图半带宽。结点数N=91，总刚[K]中的元素总数为：（91×2）×（91×2）=33124最大半带宽UBW=(7+1)×2=16，半带宽存储矩阵元素总数为182×16=2912，约方阵元素的8.8%。2变带宽存贮（一维压缩存贮）等带宽存贮虽然已经节省了不少内存，但认真研究半带宽内的元素，还有相当数量的零元素。在平衡方程求解过程中，有些零元素只增加运算工作量而对计算结果不产生影响。如果这些零元素不存、不算，更能节省内存和运算时间，采用变带宽存贮可以实现（也称一维数组存贮）。变带宽存贮编程技巧要求较高，程序较长。对称方阵形式的刚度矩阵[K]UBW=4顶线顶线以上零元素无须存贮，仅顶线以下元素。124610121618MAXA

22一维数组[A]存贮刚度矩阵[K]135911151721MAXA

22一维数组[A]存贮刚度矩阵[K]

变带宽存贮：按列存贮方式。从左到右，逐列存放；对每一列，先存主对角线元素，然后由下而上顺序存放，直到顶线下第一个元素为止。为避免混淆，我们把存贮[K]的一维数组称为[A]。实现变带宽存贮的关键问题是：总刚中元素Kij在一维数组A中的地址是什么？为此，需要知道主元Kii在A中的位置和相应列高hi。主元位置：采用一个一维数组MAXA存主元在A中位置。MAXA=[1,2,4,6,10,12,16,18，22]。列高hj：第j行的左带宽。从第j列的主对角线元素起到该列上方第一个非零元素为止，所含元素的个数称为第j列的列高，记为hj

；如果把第j列上方第1个非零元素的行号记为mj，则第j列的列高为

hj=j-mj

+1其实，hj就是第j行的左带宽，因而必有

UBW=max(hj)

j=1,2,…,N利用节点位移信息数组

（去约束后节点位移自由度编码），可容易地确定刚度矩阵[K]任何一列的列高。

主元在一维数组[A]中的地址数组MAXA的长度是[K]的行或列数加1（N+1）。

[K]的任何一个主对角元在一维数组A中的地址：第j列主对角线元素Kjj在一维数组A中的地址等于前(j-1)列的列高之和加1，即确定第j列列高的办法是：从1号单元起，对所有单元逐个进行检查。

MAXA(j)=h1+…+hj-2-hj-1+1=（h1+…+hj-2+1）+hj-1=MAXA（j-1）+hj-1因为永远有

MAXA(1)=1，MAXA(2)=2故计算主元地址的公式可写为

MAXA(j+1)=MAXA(j)+hj式中，j=2，3，…，N；

hj——刚度矩阵[K]第j列的列高。一维数组A的总长度(S)，即刚度矩阵K按变带宽存贮的总存贮量

S=MAXA(N+1)-MAXA(1)Ki,j在一维数组[A]中的地址

记Ki,j在一维数组A中的地址为AIJ。则由下图可知，

AIJ=MAXA[J]+J–I其中，I=mj，mj+1，…，J