浙江省2017年中考数学总复习第23讲等腰三角形课件

第23讲等腰三角形内容索引基础诊断梳理自测，理解记忆考点突破分类讲练，以例求法易错防范辨析错因，提升考能基础诊断返回知识梳理11.等腰三角形有两边相等的三角形是等腰三角形.(1)性质：两腰相等，两底角相等，底边上的

线、

线、

线“三线合一”；(2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰三角形.高中顶角的角平分2.等边三角形有三边相等的三角形是等边三角形.(1)性质：三边相等，三内角都等于

；(2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.60°3.三角形分类要注意的一个防范按边分类时，一定要注意等边三角形也是一种等腰三角形，不要把它单独分出来.选择题中经常把它作为一个错误项出现；按角分类时，每一个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，只要有一个角是直角或者有一个角是钝角，就能判定它是直角三角形或者是钝角三角形，但已知两角都为锐角时，要计算出第三角才能作出判定.4.等腰三角形的解答解答等腰三角形的有关问题时，常作辅助线，构造出“三线合一”的基本图形.在构造辅助线时，要根据具体情况而定，表达辅助线的语句，不能限制条件过多，如“作一边上的高并且平分这边”、“作一边上的中线并且平分这边”、“作一个角的平分线并且垂直对边”等等，这些都是不正确的.1.在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是(

)A.∠A＝40°，∠B＝50°B.∠A＝40°，∠B＝60°C.∠A＝40°，∠B＝70° D.∠A＝40°，∠B＝80°诊断自测212345C解析在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，∴∠C＝70°＝∠B，∴△ABC为等腰三角形.2.(2015·南宁)如图，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为(

)1234解析∵在△ABD中，AB＝AD，∠B＝70°，∴∠B＝∠ADB＝70°，∴∠ADC＝180°－∠ADB＝180°－70°＝110°，∵AD＝CD，AA.35° B.40°C.45° D.50°53.(2015·苏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为(

)1234CA.35° B.45°C.55° D.60°解析∵在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∴根据等腰三角形三线合一的性质，得∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，又∵∠BAD＝35°，∴∠CAD＝35°，∴根据直角三角形两锐角互余的性质，得∠C＝55°.51234B①若4是腰长，则三角形的三边长为4、4、8，不能组成三角形；②若4是底边长，则三角形的三边长为4、8、8，能组成三角形，周长为4＋8＋8＝20.512345.(2015·陕西)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有(

)A.2个 B.3个C.4个 D.5个D51234返回解析∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形.∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠A＝∠ABD＝36°，∴BD＝AD，∴△ABD是等腰三角形.∵∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝180°－36°－72°＝72°，∴∠C＝∠BDC＝72°，∴BD＝BC，51234返回∴△BCD是等腰三角形.∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴△BDE是等腰三角形，∴∠BED＝(180°－36°)÷2＝72°，∴∠ADE＝∠BED－∠A＝72°－36°＝36°，∴∠A＝∠ADE，∴DE＝AE，∴△ADE是等腰三角形.∴图中的等腰三角形有5个.5考点突破返回例1

(2015·乌鲁木齐)等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是

.考点一等腰三角形有关角的讨论分析等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°；三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，所以120°只可能是顶角.答案分析规律方法120°在等腰三角形中，如果没有明确的底角和顶角，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨论.本题主要考查三角形外角性质、等腰三角形性质及三角形内角和定理；判断出60°的外角只能是顶角的外角是正确解答本题的关键.规律方法练习1答案分析若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为

.80°或50°分析已知给出了一个内角为50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立.当该角为顶角时，顶角为50°；当该角为底角时，顶角为80°.等腰三角形有关边的讨论考点二例2

(2016·江西)如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是

.答案分析规律方法分析如图所示，分三种情况讨论：①当AP1＝AE＝5时，∵∠BAD＝90°，∴△AEP1是等腰直角三角形，答案分析规律方法②当P2E＝AE＝5时，∵BE＝AB－AE＝8－5＝3，∠B＝90°，规律方法在等腰三角形中，如果没有明确的底边和腰，某一边可以是底，也可以是腰，必须仔细分类讨论.本题考查的是等腰三角形的性质，注意到等腰三角形的三边关系只需有两边相等即可，在解答时要注意分类讨论，不要漏解.规律方法(2016·湘西)一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是(

)A.13cm B.14cmC.13cm或14cm D.以上都不对练习2C分析①当4cm为等腰三角形的腰时，三角形的三边分别是4cm,4cm,5cm符合三角形的三边关系，故周长为13cm；②当5cm为等腰三角形的腰时，三边分别是5cm,5cm,4cm，符合三角形的三边关系，故周长为14cm.答案分析考点三

等腰三角形的性质与判定例3

(2016·东莞联考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线.(1)用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；(保留作图痕迹，不写作法和证明)答案解以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于点N，作射线DN，交AM于F.作图如右图所示：(2)设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状.(只写结果)答案规律方法解△ADF是等腰直角三角形.理由如下：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AF平分∠CAE，∴∠EAF＝∠FAC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠EAC＝2∠EAF＝∠B＋∠ACB，∴∠EAF＝∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD＝∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF＝∠FDC＝∠AFD，∴AD＝AF，即Rt△ADF是等腰直角三角形.规律方法本题考查了基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要培养学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型，难度也适中.规律方法练习3答案分析(2016·荆门)如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线.已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为(

)A.5 B.6C.8 D.10C分析

∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∵AB＝5，AD＝3，∴BC＝2BD＝8.例4

(2016·贺州)如图，在△ABC中，分别以AC、BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点O，则∠AOB的度数为

.等边三角形考点四答案分析规律方法120°分析如图，设AC与BD交于点H.∵△ACD，△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，∴△DCB≌△ACE，∴∠CDB＝∠CAE，∵∠DCH＋∠CHD＋∠BDC＝180°，∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，∠DHC＝∠AHO，∴∠DCH＝∠AOH＝60°，∴∠AOB＝180°－∠AOH＝120°.规律方法本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用“8字形”证明角相等，属于中考常考题型.规律方法(2016·内江)已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为(

)练习4答案分析B返回分析如图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于H，连接PA，PB，PC，则S△PAB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，返回易错防范返回易错警示系列

23容易出错的等腰三角形问题试题已知△ABC是等腰三角形，由A所引BC边上的高恰好等于BC边长的一半，试求∠BAC的度数.错误答案展示解：如图1，∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠CAD＝45°，∴∠BAC＝90°.图1正确解答分析与反思剖析剖析本题考查等腰三角形的性质，题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键.做此类题时要心细，画出图形可以帮我们更好地理解此题.正确解答解：题目中并没有指明BC是等腰△ABC的底或腰.当BC为底时，可求得∠BAC＝90°；当BC为腰时，还应对∠B的大小进行讨论：①当顶角B是锐角时，如图2，图2∴∠B＝30°，∴∠BAC＝∠C