测量与地图学2章地球体与地图投影

第二章

地球体与地图投影主要内容地球体大地测量系统地图投影地图比例尺§1地球体一、地球体的基本特征二、地理坐标§1地球体一、地球体的基本特征（一）地球体的量度§1地球体一、地球体的基本特征（一）地球体的量度事实是：地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于梨形的椭球体。§1地球体一、地球体的基本特征（二）地球体的物理表面当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面.在众多的水准面中，有一个与静止的平均海水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个闭合曲面，这就是大地水准面。§1地球体一、地球体的基本特征（二）地球体的物理表面大地水准面实际是一个起伏不平的重力等位面——地球物理表面，它所包围的形体称为大地体。大地体是一种逼近于地球本身形状的一种形体。大地水准面的形状及重力场都是不规则的，不能用一个简单的形状和数学公式表述。各国往往选择一个平均海水面代替大地水准面。§1地球体一、地球体的基本特征（二）地球体的物理表面大地水准面的意义1.地球形体的一级逼近——大地体；2.起伏波动在制图学中可忽略；3.实质是重力等位面。§1地球体一、地球体的基本特征（三）地球体的数学表面在测量和制图中就用旋转椭球体来代替大地球体，这个旋转椭球体通常称为地球椭球体，简称椭球体。它是一个规则的数学表面，所以人们视其为地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。§1地球体一、地球体的基本特征（三）地球体的数学表面§1地球体一、地球体的基本特征（三）地球体的数学表面椭球体三要素－长轴a（赤道半径）、短轴b（极半径）和扁率f的具体测定就是近代大地测量一项重要的基础工作。注意：必须对大地水准面的实际重力进行多地、多次的大地测量，在通过统计平均来消除偏差，才可求出表达大地水准面平均状态的地球椭球体三要素值。§1地球体一、地球体的基本特征（三）地球体的数学表面例如WGS84ellipsoid:EquatorialAxisPolarAxisNorthPoleSouthPoleEquatoraba=6378137m

b=6356752.3m

equatorialdiameter=12756.3km

polardiameter=12713.5km

equatorialcircumference=40075.1km

surfacearea=510064500km2

a-b6378137-6356752.3f=——=————————

a6378137§1地球体一、地球体的基本特征（三）地球体的数学表面对地球形状a，b，f测定后，还必须确定大地水准面与椭球体面的相位置关系，即确定与局部地区大地水准面符合最好的一个地球椭球体——参考椭球体，这项工作就是参考椭球体定位。这种定位相对于全球而言只能是局部定位。§1地球体一、地球体的基本特征（三）地球体的数学表面通过数学方法将地球椭球体摆到与大地水准面最贴近的位置上，并求出两者各点间的偏差，从数学上给出对地球形状的三级逼近——参考椭球体。椭球定位：§1地球体一、地球体的基本特征（三）地球体的数学表面由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故地球椭球体的元素值有很多种。§1地球体一、地球体的基本特征（三）地球体的数学表面中国1952年前采用海福特椭球体；1953—1980年采用克拉索夫斯基椭球体；自1980年开始采用GRS1975新参考椭球体系，并确定陕西泾阳县永乐镇北洪流村为“1980西安坐标系”大地坐标的起算点。§1地球体二、地理坐标地理坐标：天文经纬度大地经纬度地心经纬度§1地球体二、地理坐标地理坐标的一般模型§1地球体二、地理坐标（一）天文经纬度天文经度：观测点天顶子午面与格林尼治天顶子午面间的两面角。在地球上定义为本初子午面与观测点之间的两面角。天文纬度：在地球上定义为铅垂线与赤道平面间的夹角。§1地球体二、地理坐标（二）大地经纬度大地经度λ：指参考椭球面上某点的大地子午面与本初子午面间的两面角。东经为正，西经为负。大地纬度：指参考椭球面上某点的垂直线（法线）与赤道平面的夹角。北纬为正，南纬为负。§1地球体二、地理坐标（三）地心经纬度以地球椭球体质量中心为基点。地心经度同大地经度λ

，地心纬度是指参考椭球面上某点和椭球中心连线与赤道面之间的夹角。思考：三种地理坐标的差异。§1地球体二、地理坐标在大地测量学中，常以天文经纬度定义地理坐标。在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。在地理学研究及小比例尺制图中，通常将椭球体当成正球体看，采用地心经纬度。主要内容地球体大地测量系统地图投影地图比例尺§2大地测量系统一、我国的大地坐标系统20世纪50年代到70年代沿用的54坐标系，是以克拉索夫斯基椭球体为参考椭球建立的，其坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台。主要存在问题：与80坐标系参考椭球体相比，长轴多105m；其椭球面相对于我国大地水准面自西向东有较大系统倾斜；处理重力测量资料中的计算公式与克拉索夫斯基椭球不匹配。§2大地测量系统一、我国的大地坐标系统我国80坐标系采用了1975年国际大地测量协会推荐的参考椭球体，使几何大地测量与物理大地测量所使用的椭球体一致。80坐标系大地原点，设在我国中部，可以减少坐标传递误差的积累。思考：为什么要区分不同的坐标系？§2大地测量系统二、我国的大地控制网在广大区域进行测绘时，为了保证测量成果既在精度上符合统一要求，又能相互衔接，首先必须在测绘范围内选取若干有控制意义的点，精确测定其平面位置和高程，构成统一的大地控制网。大地控制网简称大地网，有平面控制网和高程控制网组成。§2大地测量系统二、我国的大地控制网（一）平面控制网按统一规范，由精确测定地理坐标的地面点组成，用三角测量或导线测量完成，依精度不同，分为四等。§2大地测量系统二、我国的大地控制网（一）平面控制网三角测量：在全国范围内将控制点组成一系列的三角形（三角锁和三角网），通过测定所有三角形的内角，推算出各控制点的坐标。§2大地测量系统二、我国的大地控制网（一）平面控制网为了达到层层控制的目的，由国家测绘主管部门统一布设了一、二、三、四等三角网。§2大地测量系统二、我国的大地控制网（一）平面控制网由高级到低级，由整体到局部，步步有检核。等级边长分布密度分布方向一等三角锁20-25km锁与锁间距200km沿经纬线二等三角网13km150km2有一控制点(1:10万，1:5万每幅≥3点)在一等加密三等三角网8km50km2有一控制点(1:5万每幅2-3点)在二等加密四等三角网4km20km2有一控制点(1:1万每幅1-2点)在三等加密§2大地测量系统二、我国的大地控制网（一）平面控制网导线测量有两种形式：闭合导线和附和导线33国家平面控制网国家平面控制网含三角点、导线点共154348个，构成1954北京坐标系、1980西安坐标系两套系统。

O§2大地测量系统二、我国的大地控制网（二）高程控制网建立高程控制网主要由水准测量完成。水准测量是借助仪器提供的水平视线来确定两点之间的高差。§2大地测量系统二、我国的大地控制网（二）高程控制网按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水准测量或三角高程测量完成。绝对高程（海拔）：地面点到大地水准面的垂直距离。相对高程：地面点到某一水准面的垂直距离。高差：两点间的高程之差。

国家高程控制网使用的是1985国家高程系统共有水准点成果114041个，水准路线长度为416619.1km。

国家高程控制网使用的是1985国家高程系统共有水准点成果114041个，水准路线长度为416619.1km。

§2大地测量系统二、我国的大地控制网（二）高程控制网中国高程起算面是黄海平均海水面，1956年在青岛观象山设立了水准原点，称为1956年黄海高程系。1987年国家测绘局公布：启用1985国家高程基准，比56黄海高程系平均海平面高出29mm。观象台旧址国家水准零点公园零点公园§2大地测量系统三、全球定位系统GPS—globalpositioningsystem卫星定位优势：无需通视及觇标提供三维坐标定位精度高观测时间短全天候作业操作简便目前的卫星定位系统

美国：GPS俄罗斯：GLONASS（格鲁纳斯）欧盟：GALILEO（加利略）中国：北斗卫星导航系统

GPS：由24颗卫星组成，分布在20200km高空6个等间隔的轨道上。一般情况下可见到6～8颗，全天在地球上任何地点都能进行GPS定位。

GPS—globalpositioningsystemGLONASS：由24颗工作卫星和3颗备份卫星组成，均匀地分布在3个近圆形的轨道面上，每个轨道面8颗卫星，轨道高度19100km。GALILEO：星座由30颗卫星组成。卫星采用中等地球轨道，均匀地分布在高度约为2.3万km的3个轨道面上，星座包括27颗工作卫星，另加3颗备份卫星。北斗一号：卫星导航试验系统：由4颗卫星组成，具备中国及其周边地区的导航定位及通讯能力。

北斗卫星导航系统：(BeiDou（COMPASS）NavigationSatelliteSystem)

——中国自主研发、独立运行、正在建设中的全球卫星导航系统。2012年，系统将首先具备覆盖亚太地区的服务能力；2020年前后，整个系统将具备覆盖全球的定位、导航和授时服务能力。北斗二号：卫星导航定位系统：正在建设中，分两阶段完成：2012年形成亚太区域覆盖，2020年实现全球覆盖。整个系统由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星组成。目前，已成功发射16颗卫星。

GPS在大地测量领域主要完成了：建立和维持了全球统一的地心坐标系统。在局部大地网之间进行了联测和转换。与水准测量、重力测量相结合，研究与精化大地水淮面。测量全球性的地球动力参数——四维大地测量。建立新的城市、矿山等控制测量系统。

我国在20世纪末已建立了国家高精度GPS-A级网、B级网和高精度GPS测量控制网，进行海岛与陆地的GPS联测。（C-I）

国家高精度GPS网应用前景看好主要内容地球体大地测量系统地图投影地图比例尺§3地图投影一、地图投影的概念二、地图投影的变形三、地图投影的分类四、投影计算举例五、地图投影的选择六、地图投影的变换七、地图投影的判断§3地图投影为什么要进行地图投影？球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。总结：

用机械的方法将它展开成平面用透视法将球面投射到平面上用数学方法将球面转换为平面

x=f1(φ,λ)y=f2

(φ,λ)§3地图投影一、地图投影的概念地图投影：在地球椭球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法。地图投影的实质：是将地球椭球面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上。§3地图投影二、地图投影的变形（一）投影变形的性质投影变形表现在长度、角度和面积三个方面。长度(距离)变形角度(形状)变形面积变形§3地图投影二、地图投影的变形（二）变形椭圆§3地图投影二、地图投影的变形（二）变形椭圆微小圆→变形椭圆代入：X

2+Y

2=1，得该方程证明了什么？试分析m和n的取值。§3地图投影二、地图投影的变形（二）变形椭圆特别方向：变形椭圆上相互垂直的两个方向及经向和纬向。长轴方向(长度比)a短轴方向(长度比)b经线方向(长度比)m纬线方向(长度比)n主方向§3地图投影二、地图投影的变形

如何衡量投影的变形？思考：怎样衡量投影变形的大小？§3地图投影二、地图投影的变形（三）长度比变形椭圆上某一线段与微小圆上相应线段的比值（投影面上一微小线段和球面上相应微小线段之比）。讨论：μ值在球面上的变化情况如何？结论：长度比μ是变量，随位置和方向的变化而变化。§3地图投影二、地图投影的变形（四）角度比变形椭圆（投影面）上任意两方向线夹角与微小圆（球面）上相应两方向线夹角之差。§3地图投影二、地图投影的变形（五）面积比变形椭圆（投影面上微小）面积dF′与微小圆（球面上相应的微小）面积dF之比。推论：面积比是变量，随位置的不同而变化。§3地图投影二、地图投影的变形自我总结：长度比：角度比：面积比：试比较：长度比与长度变形；面积比与面积变形；角度比与角度变形。§3地图投影三、地图投影的分类§3地图投影三、地图投影的分类（一）按地图投影的构成方法分类

1.几何投影

2.非几何投影（二）按地图投影的变形性质分类§3地图投影三、地图投影的分类（一）按地图投影的构成方法分类§3地图投影三、地图投影的分类（一）按地图投影的构成方法分类1.几何投影投影面形状投影面与球面相对部位方位投影正轴投影圆柱投影横轴投影圆锥投影斜轴投影§3地图投影三、地图投影的分类（一）按地图投影的构成方法分类1.几何投影§3地图投影三、地图投影的分类（一）按地图投影的构成方法分类2.非几何投影根据某些条件，用数学解析法确定球面与平面之间点与点的函数关系。按经纬线形状，可分为：伪方位投影伪圆柱投影伪圆锥投影多圆锥投影§3地图投影三、地图投影的分类（二）按投影变形的性质分类等角投影等积投影任意投影思考：它们不同的适用范围§3地图投影四、投影计算举例（一）方位投影（二）圆锥投影（三）圆柱投影§3地图投影（一）方位投影§3地图投影（二）圆锥投影圆锥投影的一般公式：说明：上述公式将地球球体视为椭球体，以子午圈曲率半径M、卯酉圈曲率半径N代替球体半径R，以Ncosφ代替r。圆锥投影的长度比：§3地图投影（二）圆锥投影－－等角割圆锥投影nψ1=1nψ2=1

在ψ1、ψ2之间：n<1，m<1在ψ1、ψ2之外：n>1，m>1§3地图投影（三）圆柱投影－－等角圆柱投影圆柱投影的一般公式：等角圆柱投影的一般公式：直角坐标公式经纬线长度比：面积比：（三）圆柱投影－－等角圆柱投影§3地图投影例一墨卡托投影（等角正轴切圆柱投影）投影条件投影面--圆柱面w=0nψ0=1其它n>1§3地图投影墨卡托投影经纬线形式经线是一组间隔相等的平行线，纬线是与经线垂直的一组平行线。在同一条经线上，纬线间隔自赤道向南北两极逐渐增大。墨卡托投影§3地图投影墨卡托投影投影特点：1.在墨卡托投影中，面积变形最大。

愈接近两极，经纬线扩大的越多，在φ=80度时，经纬线都扩大了近6倍，面积比扩大了33倍，所以墨卡托投影在80度以上高纬地区通常就不绘出来了。§3地图投影投影特点：2.在墨卡托投影上等角航线表现为直线。§3地图投影例二高斯-克吕格投影（横轴等角切椭圆柱投影）以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。

§3地图投影高斯-克吕格投影经纬线形式中央经线为直线，其他经线是对称于中央经线的曲线，中央纬线为直线，其他纬线是对称于中央纬线的曲线。在中央经线上纬线间隔相等，在赤道上经线间隔自投影中心向东、向西逐渐增大。§3地图投影高斯-克吕格投影变形分布规律此投影无角度变形，中央经线无长度变形，其他经线长度比大于1。中央经线附近变形小，向东、向西方向变形逐渐增大。长度、面积变形均不大，其中长度变形≤0.14%，面积变形≤0.27%。§3地图投影高斯-克吕格投影分带形式：按经差6°或3°进行分带。我国大中比例尺地形图－－1∶2.5万、1∶5万、1∶10万、1∶25万、1∶50万采用6°分带投影，从0°子午线起，自西向东每隔经差6°分成一带，全球编号从1~60带。（13~23）各带中央经线的经度分别是3°、9°、15°……357°。－－1∶1万及更大比例尺采用经差3°分带投影，从1.5°E子午线起，自西向东每隔经差3°分成一带，全球编号从1~120带。（25~45）各带中央经线的经度分别是3°、6°、9……360°。§3地图投影思考：高斯-克吕格投影，为什么要采用分带投影的方法？§3地图投影思考：高斯-克吕格投影，为什么要采用分带投影的方法？§3地图投影高斯-克吕格投影为保证精度，采用分带投影的方法，按经差6°或3°进行分带。编写公式：1.写出6°和3°带各带的经度范围公式。2.写出6°和3°带各带中央经线的经度计算公式。3.已知某地位置，分别写出其在6°和3°带中的带号计算公式。4.写出已知地点所在6°和3°带的中央经线的经度计算公式。§3地图投影例三通用横轴墨卡托投影（UTM投影）以横轴椭圆柱面割于地球椭球体的两条等高圈，按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。

§3地图投影五、地图投影的选择（一）投影选择的依据（二）世界地图投影的选择（三）区域地图投影的选择§3地图投影五、地图投影的选择（一）投影选择的依据1.制图区域的范围、形状和地理位置2.制图比例尺3.地图的内容4.

出版方式

1．制图区域的范围、形状和地理位置两极地区：正轴方位投影。赤道附近：横轴方位投影或正轴圆柱投影。中纬度地区：正轴圆锥投影或斜轴方位投影。位置形状沿纬线方向延伸的长形地带：单标准纬线正轴圆锥投影。沿经线方向略窄、沿纬线方向略宽的地区：双标准纬线正轴圆锥投影。沿经线方向南北延伸的长形地区：多圆锥投影。（中纬度地区）（一）投影选择的依据§3地图投影（一）投影选择的依据§3地图投影

2．比例尺大比例尺地形图：各项变形都很小的地图投影，如高斯-克吕格投影。中小比例尺的省区图：各种正轴圆锥投影。我国大比例尺地形图，对精度要求高，宜采用变形小的投影，如分带投影。中、小比例尺地图范围大，概括程度高，定位精度低，可有等角、等积、任意投影的多种选择。（一）投影选择的依据§3地图投影要求方向正确的地图：等角投影。要求保持面积对比关系的正确：等积投影。为使时区的划分表现得清楚：正轴圆柱投影。中小学的教学用图：各种变形都不太大的任意投影，如等距投影。

3．地图内容（一）投影选择的依据§3地图投影

4．出版方式单幅图：考虑位置、形状、范围，比例尺和内容。系列图：选择同一变形性质的投影。地图集：应尽量采用同一系统的投影，再根据个别内容的需要，在变形性质上适当变化。

（一）投影选择的依据§3地图投影§3地图投影五、地图投影的选择（二）世界地图投影的选择思考：采用怎样构成的投影比较可行？（三）区域地图投影的选择思考：采用哪些构成的投影比较可行？§3地图投影五、地图投影的选择（二）世界地图投影的选择多圆锥投影－等差分纬线、正切差分纬线多圆锥投影圆柱投影伪圆柱投影－桑森投影、摩尔威特投影、库德投影（三）区域地图投影的选择方位投影圆锥投影伪圆锥投影－彭纳投影§3地图投影五、地图投影的选择（二）世界地图投影的选择1.多圆锥投影设想更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称中央经线的曲线。§3地图投影五、地图投影的选择（二）世界地图投影的选择1.多圆锥投影由于多圆锥投影的经纬线系弯曲的曲线，具有良好的球形感，所以它经常用于编制世界地图。角度变形和面积变形适中，中纬度地区变形更小。§3地图投影五、地图投影的选择（二）世界地图投影的选择1.多圆锥投影正切差分纬线多圆锥投影中国地图出版社1976年设计，其经线间隔按与中央经线经差的正切函数递减。属任意投影。经纬线除中央经线和赤道以外均投影成曲线。角度变形和面积变形都比较适中，尤其中纬度地区变形更小。中国地图出版社等差分纬线多圆锥投影等差分纬线多圆锥投影§3地图投影§3地图投影五、地图投影的选择（二）世界地图投影的选择

2.圆柱投影§3地图投影五、地图投影的选择（二）世界地图投影的选择2.圆柱投影墨卡托投影空间斜轴墨卡托投影即SOM投影，是美国针对陆地卫星对地面扫描图像的需要设计的一种近似等角性质的投影。将空间斜圆柱相切于卫星地面轨迹。SOM投影SOM投影：将空间斜圆柱相切于卫星地面轨迹，卫星地面轨迹成为该投影的无变形线，其长度比近似于1。SOM投影必须随卫星的空间运动而摆动。在SOM投影上，卫星地面轨迹为直线，卫星成像扫描线与卫星地面轨迹相垂直，地面影像直接投影在SOM投影面上。

§3地图投影五、地图投影的选择（二）世界地图投影的选择

3.伪圆柱投影是在圆柱投影的基础上，规定纬线仍然为平行直线，而经线则根据某些特定条件改变经线形状而设计成对称于中央经线的各类曲线的非几何投影，在具体应用中以等积性质居多，而无等角投影。常用的投影方案：桑逊投影、摩尔威特投影、古德投影§3地图投影五、地图投影的选择（二）世界地图投影的选择3.伪圆柱投影⑴桑逊（Sanson-Flamsteed）投影§3地图投影五、地图投影的选择（二）世界地图投影的选择3.伪圆柱投影⑵摩尔威特（Mollweide）投影S90=Searth

/2§3地图投影五、地图投影的选择（二）世界地图投影的选择3.伪圆柱投影

⑶古德（Goode）投影§3地图投影五、地图投影的选择（三）区域地图投影的选择1.方位投影⑴正轴方位投影投影中心为极点，纬线为同心圆，经线为同心圆的半径，两条经线间的夹角与实地相等。等变形线都是以投影中心为圆心的同心圆。包括等角、等积、等距三种变形性质，主要用于制作两极地区图。§3地图投影五、地图投影的选择（三）区域地图投影的选择1.方位投影

⑵横轴方位投影平面与球面相切，其切点位于赤道上。特点：通过投影中心的中央经线和赤道为直线，其他经纬线投影后都是对称于中央经线和赤道的曲线。§3地图投影五、地图投影的选择（三）区域地图投影的选择1.方位投影

⑶斜轴方位投影投影面切于两极和赤道间的任意一点上。在这种投影中，中央经线投影为直线，其他经线投影为对称于中央经线的曲线，纬线投影为曲线。§3地图投影五、地图投影的选择（三）区域地图投影的选择2.圆锥投影

适宜编制处于中纬度地区沿纬线方向东西延伸地域的地图，同时圆锥投影经纬网比较简单，因此在中纬度国家广泛使用。常用形式：等角割圆锥投影等积割圆锥投影§3地图投影五、地图投影的选择（三）区域地图投影的选择3.伪圆锥投影又称彭纳投影中央经线与所有的纬线正交。彭纳投影没有面积变形，中央经线和中纬线是两条没有变形的线。离开这两条线越远变形越大。用途：用于编制小比例尺的大洲图。§3地图投影五、地图投影的选择（三）区域地图投影的选择3.伪圆锥投影又称彭纳投影中央经线与所有的纬线正交。彭纳投影没有面积变形，中央经线和中纬线是两条没有变形的线。离开这两条线越远变形越大。用途：用于编制小比例尺的大洲图。正轴等角方位投影横轴等积方位投影§3地图投影五、地图投影的选择（三）区域地图投影的选择案例§3地图投影方位投影§3地图投影五、地图投影的选择（三）区域地图投影的选择案例等积圆锥投影两种地图投影公式两种平面投影转换地图投影变换的数学模型§3地图投影六、地图投影的变换（一）投影变换的一般公式不同投影平面上对应点的函数转换等角圆锥投影墨卡托投影转换公式：§3地图投影§3地图投影六、地图投影的变换（二）解析变换法找出两种投影坐标变换的解析公式适用情况：在资料地图的投影方程式未知时（包括投影常数难判别时）。不易求得资料地图和新编地图两投影间关系式。解决方法：收敛幂级数构造多项式原理：利用两投影间的若干离散点（纬线、经线的交点等）用数值逼近的理论和方法来建立两投影间的关系。§3地图投影六、地图投影的变换（三）数值变换法在不易求得两种投影变换解析公式时，可以选取若干对应离散点，采用多项式进行数值逼近建立两种投影换算关系。§3地图投影七、地图投影的辨认主要是对小比例尺地图而言，大比例尺地图往往是属于国家地形图系列，投影资料一般易于查知。另外，由于大比例尺地图包括的地区范围小，不