计算方法解线性方程组的直接法

准确，可靠，理论上得到的解是精确的第四章解线性代数方程组的直接法背景：在自然科学和工程技术中，很多问题往往最终都归结为解线性代数方程组，例如：结构分析、网络分析、数据分析、最优化和微分方程组数值解等，常遇到线性方程组的求解问题.

记为矩阵形式：解线性方程组的数值方法大体上可分为两类：直接法和迭代法①

直接法是指在没有舍入误差的情况下经过有限次运算可求得精确解；②迭代法是从一个初始向量出发按照一定的计算格式逐次逼近精确解.在线性代数课程中，给出了求解线性方程组的一种直接法---克莱姆（Cramer，瑞典数学家）算法.例如一、直接法速度快，但有误差或者：根据Cramer法则：当且仅当时，有唯一解，而且解为：如取n＝100，1033次/秒的计算机大约要算10120年.可见，该方法对高阶方程组计算量太大,不是一种实用的算法.实用的直接法中具有代表性的算法是高斯（Gauss,德国）消去法（一般适用于低阶稠密矩阵方程组求解），其它很多算法都是它的变形和应用.为了给出高斯消去法公式，我们回顾一些知识：需计算n+1个行列式，而每个行列式的计算需（n-1）*n！次乘法.计算x需n次除法1.下面三种线性方程组的解可直接求出：①②③求解次序第i行第i行00对方程组，作如下的变换，解不变！①交换两个方程的次序.②一个方程的两边同时乘以一个非0的数.③一个方程的两边同时乘以一个非0数，加到另一个方程.因此，相应地对增广矩阵(A，b)，作如下的变换，解不变！①交换矩阵的两行.②某一行乘以一个非0的数.③某一行乘以一个非0数，加到另一行.

2.初等变换矩阵的性质：的思想使用初等行变换,将Ax=b转化为同解的上三角方程组，再回代求解.==Gauss消元法0Gauss消元法的求解过程可分为两个环节：消元过程和回代过程.消元过程是将系数矩阵A化为上三角矩阵的过程回代过程是求解上三角方程组的过程下面主要讨论消元过程：实质上是将方程组的增广矩阵

通过初等行变换化成三角方程组的增广矩阵的过程.矩阵形式为:第1行称为顺序Gauss消去法矩阵形式：第2行矩阵形式第k行类似地进行下去，经n-1步消元后便得到记则上式可以写成：或者上三角矩阵！可以证明：☺要使Gauss消去法能够进行下去，必须有约化后的主对角元素非零。问：矩阵A在什么条件下能够保证此条件成立？定理1.3下面，我们对一些特殊的矩阵，提出一些特定的分解法在实际计算中，用Gauss消去法解方程组，即使不为零，但其绝对值很小，也会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差扩散，从而会严重地损失精度！不能保证计算过程是数值稳定的！注：例1.1用Gauss消去法解方程组，计算中取5位有效数字.解：消去是精确的！x√这说明：在计算过程中若规定取5位有效数字，用消去法得到的近似解与准确解相差很大！√这是因为：用0.0003做除数，也会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差扩散，从而会严重地损失精度！因此，要控制舍入误差。控制舍入误差的增长，通常有两种途径：1.增加参加计算的数字位数，从而使最后结果中积累起来的误差随之减小。例如：

采用双精度，但增加计算时间.2.从上面的计算过程可知：有些运算舍入误差会扩散，但有些运算舍入误差影响

比较小。例如：在做除法运算时，分母的绝对值越小，舍入误差影响就越大！第k行对于某些特殊类型的系数矩阵，可以保证“主元不会很小”，从而不需要选主元！主元消去法的基本思想：在做除法运算时，要选取绝对值比较大的做分母！定义1.1定理1.1定理1.2可保证：Gauss消去法能进行下去！可保证：Gauss消去法不用选主元！列主元消去法计算步骤：1、输入矩阵阶数n，增广矩阵

A(n,n+1);2、对于(1)按列选主元：选取l

使

(2)如果，交换A的第k行与底l

行元素(3)

消元计算：3、回代计算初始化消元过程列选主元回代过程第2节矩阵三角分解法—Gauss消去法的变体通过比较法，直接导出L和U的计算公式.思路①Doolittle分解法的计算公式：②(1)第k列第k行1(2)计算U的第k行和L的第k列已知①Crout分解法的计算公式：②(1)第k列第k行1(2)计算L的第k列和U的第k行已知①第k列第k行(1)(2)计算L的第k列.已知①第k列(1)(2)计算D的第k个元素,然后计算L的第k列②第k列乘到第一列已知②①(1)(2)计算:L的下次对角线上的第k个元素,U的主对角线上的第k个元素.③已知第k-1列第k行第3节误差分析---讨论解对参数扰动的敏感性问题.背景：例如：取两组不同的右端项：比较两方程组的右端项可以看出：右端项有微小的差别，误差为|є|，但它们的解却相差很大！误差为1860|є|。讨论的问题：方程组原始数据的扰动，会对其解产生怎样的影响？两方程组的右端项极其靠近，解的差别却可能很大！！几种常用的向量范数：证明。参考《矩阵扰动分析》按分量收敛！0常用的矩阵范数是按下式确定的范数：于是3.4扰动方程组的误差界若系数矩阵A和右端项b有一个扰动，记为δA,δb,那么必引起解x的一个扰动，记为δx，满足为了定量地刻画方程组的“病态”程度，下面对Ax=b就系数矩阵或者