板壳问题的有限元法(学时)

第五章板壳问题的有限元法章节内容：5.1薄板弯曲的基本理论5.2薄板单元：矩形单元和三角形单元5.3薄壳有限元分析的简介5.1薄板弯曲的基本理论5.1.1薄板（thinplate）工程实际中，存在大量的板壳构件（plateandshell）几何特点：厚度远远小于其它两个方向的尺寸。薄板：t/b<1/15中面：平分板厚度的平面坐标系oxyz

：xy轴在中面上，z轴垂直于中面载荷作用于中面内的载荷：平面应力问题垂直于中面的载荷：板弯曲xyzbto5.1薄板弯曲的基本理论5.1.1小挠度薄板弯曲理论(smalldeflectiontheoryofthinplate)克西荷夫假设（Kirchhoff）：假设薄板中面的法线在变形后仍为直法线。厚度方向的位移沿板厚是不变的：即厚度方向的点的位移相同或者与在厚度方向的位置无关。应力引起的形变很小，在计算变形时可以忽略。5.1薄板弯曲的基本理论5.1.2位移位移分量：薄板中面的挠度

w

根据挠度，可以计算：在x和y轴方向上的位移分量和绕x和y轴方向的转角。

xyzbto5.1薄板弯曲的基本理论5.1.3应变及几何方程根据基本假设，薄板弯曲问题选用3个基本应变分量：

几何方程分量分别为中面的曲率和扭曲率{1/ρ}5.1薄板弯曲的基本理论5.1.4应力及物理方程根据基本假设，薄板弯曲问题选用3个基本应力分量：根据广义虎克定律，可以得到应力和应变之间的关系式：弹性矩阵[Dp]5.1薄板弯曲的基本理论5.1.4应力及物理方程

根据基本假设，薄板弯曲问题选用3个基本应力分量：根据广义虎克定律，可以得到应力和应变之间的关系式：物理方程5.1薄板弯曲的基本理论5.1.4应力及物理方程

根据基本假设，薄板弯曲问题选用3个基本应力分量：根据广义虎克定律，可以得到应力和应变之间的关系式：物理方程5.1薄板弯曲的基本理论5.1.5平衡方程

应力在板的侧面形成力矩：正应力形成弯距：MxMy切应力形成扭矩：Mxyσxτxyσyτxyτxyτxyσxσy微小六面体上的应力分布各力矩的作用图5.1.5平衡方程t为薄板的厚度D为薄板弯曲的弹性系数矩阵5.1薄板弯曲的基本理论5.1.5平衡方程

应力和内力矩之间的关系式：可以看出，应力沿厚度方向线性分布，最大值出现在薄板的上下表面处（z=±t/2）5.1薄板弯曲的基本理论5.1.6虚功方程

5.2薄板矩形单元5.2.1薄板矩形单元（单元描述）薄板弯曲只研究中面的变形，因此：

单元面的任意一点=长度为板厚的法线段几何形状：2a×2b节点：4个节点编号：逆时针局部坐标系：直角坐标系oxyz因此，节点位移挠度：w两个转角：单元节点位移列阵xyzOijmp2a2baabbwiθxiθyi5.2薄板矩形单元5.2.1位移模式单元具有12个自由度1个独立位移分量：挠度w多项式构造方法常数项：1一次项：xy二次项：x2

xyy2三次项：x3x2yxy2y3四次项：x3yxy3x4y4x2y25.2薄板矩形单元5.2.1位移模式该位移模式是否满足三个条件？反映单元的刚体位移

答：刚体位移是指挠度和转角为常数。因此常数项和2个一次项反映了单元的刚体位移。反映单元的常应变

答：应变为挠度的二次偏导数。因此3个二次项反映了单元的常应变。位移函数保证单元内部及相邻单元之间位移的连续性

答：（1）沿x轴和y轴的方向挠度函数都是三次多项式，因此能够保证单元内部及相邻单元之间挠度的连续性。（2）θx和θy在单元边界上沿x轴和y轴方向的多项式次数不同，因此，很难保证相邻单元在公共边界上转角的连续性。因此，为部分协调单元（非协调单元）。5.2薄板矩形单元5.2.1位移模式xyzOijmp2a2baabbwiθxiθyi5.2薄板矩形单元5.2.2单元应变及内力xyzOijmp2a2baabbwiθxiθyi第五章板壳问题有限单元法5.2.2单元应变及内力单元几何方程：5.2薄板矩形单元5.2.3单元刚度方程5.2薄板矩形单元5.2.4单元等效节点载荷单元等效节点载荷列阵几种载荷情况：横向集中力或者力矩—集中力点取做节点；法向集中力（需要按照等效原则移置到节点上）分布横向载荷5.2薄板矩形单元5.2.5整体分析5.2.6边界条件自由：无需添加约束；简支：（指板的支座处只能传递水平和垂直两个方向的力。如钢筋混凝土板搭在砖墙上或搭在不是同时浇筑的混凝土梁上；或钢结构板用螺栓与支座相连，都属于简支板。）挠度为0，切向转角为0.固支（指板的支座处不仅能传递水平和垂直两个方向的力，还能传递弯矩，如钢筋混凝土板与下面的梁同时现浇，并有板中的钢筋伸入梁中；或是钢结构板用焊接的方法与支座相连，焊接部位的刚度大于板的刚度，这样的板就是固支板）挠度为0，切向转角为0，法向转角也为0。xyzOijmp2a2baabbwiθxiθyi5.3薄板三角形单元特点（与矩形单元相比）：计算精度略低具有更高的适应性和灵活性，可以较好的模拟边界形状较复杂的板。ijmOxy5.3薄板三角形单元位移模式ijmOxy5.3薄板三角形单元位移模式9个自由度插值方法多项式插值常数项：1一次项：xy二次项：x2

xyy2三次项：x3x2yxy2y3面积坐标插值常数项：LiLj

Lm二次项：LiLj

LjLmLmLi

三次项：Lj

Lm2-LmLj2LmLi2-LiLm2LiLj2-LjLi2ijmOxy5.4板弯曲有限元法的进一步讨论薄板矩形单元和三角形单元的使用局限性：都属于非协调单元（部分协调单元）不适用于厚板不容易适应复杂边界改进方法：建立协调元，将挠度、转角和扭曲率作为节点位移参数；放弃直法线假设，将节点位移和转角都作为独立的变量；采用参数单元，类似于平面问题，将平面应力状态和弯曲状态叠加，构建一六自由度的薄板单元与六自由度的梁单元组合，形成常见的板梁组合结构。（见下节）5.5薄壳有限元分析薄壳薄壳：厚度比其它尺寸（长度、曲率半径等）小很多的壳体。中曲面：由壳体厚度中点构成的曲面。薄壳中曲面的变形弯曲变形：横截面上的正应力和平行于中曲面的切应力合成弯矩和扭矩伸缩变形：中曲面内的正应力和切应力合成中面内力或膜力在小变形情况下，面内变形和弯曲变形互不相关。薄壳单元的应力问题=平面应力问题＋弯曲应力问题5.5薄壳有限元分析薄壳单元：矩形平面壳体单元：柱面三角形平面壳体单元：任意形状和边界的薄壳坐标系局部坐标系：单元分析整体坐标系：整体分析5.5薄壳有限元分析5.5.1矩形壳元

单元足够小时，可以用平板单元拼成的折板近似代替光滑壳结构。局部坐标系位移向量面内变形：2个位移u,v弯曲变形：3个分量（1个挠度w和2个转角θx,θy）附加位移分量：θz5.5薄壳有限元分析单元刚度矩阵其中5.5薄壳有限元分析局部坐标系局部坐标系与整体坐标系的关系局部坐标系对整体坐标系的方向余弦矩阵（从整体坐标到局部坐标）5.5薄壳有限元分析坐标变换矩阵5.5薄壳有限元分析单元刚度矩阵转换矩阵：5.5薄壳有限元分析等效节点载荷：先在局部坐标系下求解；转换到整体坐标系下节点位移和内力的计算：求解在整体坐标系下的位移然后变换到节点的局部坐标系下求解单元节点位移再根据局部坐标系下的应力公式求解应力基于求解的应力再求解弯矩和扭矩。5.5薄壳有限元分析