期望效用理论

第二章期望效用理论一、个体行为决策准则（一）偏好关系(决策的前提是排序)

效用是一种纯主观的心理感受，因人因地因时而异。偏好是建立在消费者可以观察的选择行为之上的。

偏好关系（preferencerelation)是指消费者对不同商品或商品组合偏好的顺序。它可以用一种两维（或二元）关系（binaryrelation）表述出来。经济上，偏好关系是指参与者对所有可能的投资（消费）计划的一个排序。

1.偏好关系的表述令C为商品（或者消费）集合，C中有A种可供选择计划方案。f是采取计划a,消费c的一个结果，或者得到的效用。我们可以在消费集合上建立下面的偏好关系（preferencerelation）或者偏好顺序（preferenceordering），满足：

（1）

x弱偏好于y，x至少与y一样好。（2）x强偏好于y；（3）无差异于x、y；即：和

例子:可以建立偏好关系(单课成绩与总成绩;某基金公司的多个基金的业绩)与不可以建立偏好关系(多课程绩).

2.偏好应满足的基本公理（Axiom）条件：（1）完备性（completeness）:

中有一种关系成立。完备性假定保证了消费者具备选别判断的能力。完备性的意义：任何两个投资（消费）计划一定有一个是优的，或者两个是无差异的。它排除了投资计划之间无法比较的可能性。（2）自返性（reflexivity）：，则有

自返性保证了消费者对同一商品的选好具有明显的一贯性。

（3）传递性：

传递性保证了消费者在不同商品之间选择的首尾一贯性。传递性也是偏好的一致性条件，如果两个参与者的偏好违反了传递性，那么其行为因为缺乏一致性而违背理性。同理：

违背传递性的结果：一个投资者的偏好关系a，b，c,如果a>b，b>c,而c>a.可以作以下交易：以价格p卖给他c，用b与他交换c,由于对他来讲b>c,他愿意额外支付一个价格q1;用a与他交换b,由于对他来讲a>b,他愿意额外支付一个价格q2;用c与他交换a,由于对他来讲c>a,他愿意额外支付一个价格q3;最后我们用价格p购回c,这样又回到了原始状态。但他付出了q1+q2+q3.如果他还坚持他的这种偏好，可以继续不断地与他进行这种交易，直至他的财富为零。

传递性也是理性经济人的基本要求之一。

（4）连续性（continunity）对于任意的X、y，集合和是闭集，和是开集。即如果x是一组至少与y一样好的消费束，而且它趋近于另一消费束z，则z与y至少同样好。这样就可以得到一条连续的无差异曲线。也即如果两个计划非常接近，那么他们的排序也应该是非常接近的。

（4）单调性（monotonicity），

单调性说明增加一点商品至少与原来的情况同样好。只要商品是有益的，单调性就必然成立。强单调性说明同样的物品，如果其中有些种类的数量严格多于原来的物品，消费者则必定严格偏好于他们。

且则（5）局部非饱和性（localnon-satiation）和，总存在使得在技术上，局部非饱和性和单调性保证了无差异曲线具有一个负（或正的）的斜率。

（6）凸性（convexity）严格凸性（strictlyconvexity）：

凸性可理解为边际替代率递减。注意：凸性是凹函数的特征：（二）确定性环境下的效用函数

1.基数效用与序数效用基数效用：19世纪的一些经济学家如英国的杰文斯、奥地利的门格尔等认为，人的福利或满意可以用他从享用或消费过程中所获得的效用来度量。对满意程度的这种度量叫做基数效用.

序数效用：20世纪意大利的经济学家帕累托等发现，效用的基数性是多余的，消费理论完全可以建立在序数效用的基础上。所谓序数效用是以效用值的大小次序来建立满意程度的高低，而效用值的大小本身并没有任何意义.2.效用函数定义如果对于有和成立，则函数关系是一个代表了偏好关系的效用函数。

在确定的环境下，效用函数实现了序数关系与基数关系的转换。

定理1：

一个效用函数可以通过正单调变换而获得另一个效用函数与原来的效用函数具有同样的偏好关系：且

是单调递增函数，则有：

定理2：如果消费者在消费集C上的偏好关系具有完备性、自返性，传递性和连续性，则存在一个能够代表偏好顺序的连续效用函数u:C→R。3、消费者效用最大化问题

令则最大化问题为：

上述约束式为瓦尔拉斯（walrasianbudgetset）预算集，C为消费数量，Q为消费价格。

最优解：

（三）不确定性环境下的行为选择

1.关于风险与不确定性奈特（Knight.F）《风险、不确定性和利润〉中关于确定性、风险和不确定性的解释：

确定性：是指自然状态如何出现已知，并替换行动所产生的结果已知。它排除了任何随机事件发生的可能性。

风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机问题，但排除了未数量化的不确定性问题。即对于未来可能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认识。但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。

不确定性：是指发生结果未知的所有情形，也即那些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问题。即知道未来世界的可能状态（结果），但对于每一种状态发生的概率不清楚。Knight不承认“风险=不确定性”，提出“风险”是有概率分布的随机性，而“不确定性”是不可能有概率分布的随机性。Knight的观点并未被普遍接受。但是这一观点成为研究方法上的区别

由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际中常常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设定概率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事件同时视为风险。即风险与不确定性有区别，但在操作上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念，其二者的界线就模糊了，几乎成为一个等同概念。风险来源的不同看法（习惯）风险与不确定性联系在一起。风险可以由其收益的不可预测性的波动性来定义，而不管收益波动采取什么样的形式。风险与其可能带来的不利后果相联系，风险可以由收益波动的损失来定义。风险是与不确定性和相应的不利后果相联系的，即以价格或收益的波动(为代表)衡量不确定性，在这种不确定性给投资者带来损失时就构成一项经济活动的风险。在投机与赌博中的风险风险：承担风险一定要求风险补偿。投机：在获取相应报酬时承担一定的风险。赌博：是为一个不确定的结果打赌或下注。2.不确定性下的偏好选择（1）不确定性下选择的表述方法自然状态：特定的会影响个体行为的所有外部环境因素。通常我们用S表示自然状态的集合：S={1，…，S}。

自然状态的特征：自然状态集合是完全的、相互排斥的（即有且只有一种状态发生）

自然状态的信念（belief）：个体会对每一种状态的出现赋予一个主观的判断，即某一特定状态s出现的概率P（s）满足：

0≤p（s）≤1，这里的概率p（s）就是一个主观概率，也成为个体对自然的信念。不同个体可能会对自然状态持有不同的信念，但我们通常假定所有的个体的信念相同，这样特定状态出现的概率就是唯一的。

例子：两种状态与用概率（信念）刻画的两种状态：①状态依存结果的优序选择（状态偏好方法）

用彼此排斥和详尽无遗的自然状态组成的集合，而不是用概率来反映个人所面临的随机性。假定：X:不确定环境下可选择行为的集合;S:可能的状态集合

C:可选择行为的结果的集合行为xX和sS结合产生的结果cC

函数把行为、状态和结果对应起来：

当经济主体在可行的行为之间进行选择时，他们以被选行为产生的结果为基础进行选择。但是行为对于决定特别的结果来说，常常是不充足的。其他因素会与选择的行为相互作用产生一个特别的结果。这些其他因素，超越了经济行为人的控制，被称为自然状态（下不下雨，升降）。

大量的自然实状态的存在使得目前所采取的任何行为的将来结果是不确定的。

在决定行为的过程中，主体对自然状态是不确定的，这些状态将共同确定被选行为的结果。选择行为x就为每一自然状态决定了一个结果c=，对X中行为的选取从而被视为对依赖状态（或偶然状态）结果的选取。

通过观察函数f可以容易区分确定条件下和不确定条件下的决策。若c=

关于自然状态是不变的，即自然状态不会影响产生的结果，则可以认为是确定条件下的决策。若不同的状态导致不同的结果，则可以认为是不确定条件下的决策。例子：风险投资基金投资到一个企业，这个企业上市和不上市两个状态（不赋予信念），风险基金的行为可以投资（股份比例不一样）或不投资，对于风险投资公司来说的投资结果。②行为结果的概率分布选择(概率方法)既然在行为、现实的状态和结果之间的关系通过函数来描述，

在S上定一个概率测度：对任意xX，存在一个C上的概率分布：

这个概率表述表明，在一个行为既定的情况下，特定结果出现的概率等于导致这个特定结果出现的可能性状态的概率。由于某个特定行为结果发生的概率取决于经济主体选择的行为，因此，我们可以等价地认为，对于行为结果的选择等同于对某个特定结果的概率分布的选择。因此，不确定性条件下的行为选择可以理解为行为主体在不同的概率分布中进行选择。这意味着，行为主体表现自己偏好关系的可行行为集合X必须具备如下性质：

在这种情况下，我们可以用定义在C上的一个函数P（.）来表示行为x，其中，p（c）是使选择x的结果等于c的概率，与状态s和行为x有关。

因此，对于所有的结果c∈C，

p（c）≥0且

有了概率描述不确定性，就可以进行理性决策了。上面例子：上市的概率60％，上市的概率40％，针对不同的投资行为，投资公司的投资计划（结果）是可以确切计算：不确定条件下的选择的两种方式比较：第一种在依存状态的结果之间进行的选择（定性决策，事后）第二种在不同结果的概率分布之间进行的选择（定量决策，事前）当然，只是一种矛盾的转移，转移的价值与选择的工具所带来的价值有关。（2）不确定性下的理性决策原则

A.数学期望最大化原则

数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下各种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。这一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行准确的优劣比较，同时这一准则还是收益最大准则在不确定情形下的推广。（收益最大准则只有在确定环境才可以计算收益：）例1：固定利率的国债和存款；（4％，3.5％）例2：固定利率的国债和浮动利率的存款（4％，3％＋cpi，cpi是一个随机变量，cpi升2％的概率60%，升1％的概率40％）。（2）不确定性下的理性决策原则

A.数学期望最大化原则问题：是否数学期望最大化准则是一最优的不确定性下的行为决策准则？

典型案例：圣彼德堡悖论（SaintPetersburyParadox）考虑一个投币游戏，如果第一次出现正面的结果，可以得到1元，第一次反面，第二次正面得2元，前两次反面，第三次正面得4元，……如果前n-1次都是反面，第n次出现正面得元。问：游戏的参加应先付多少钱，才能使这场赌博是“公平”的？

该游戏的数学期望值：但实验的结果表明一般理性的投资者参加该游戏愿意支付的成本（门票）仅为2-3元。

圣彼德堡悖论：面对无穷的数学期望收益的赌博，为何人们只愿意支付有限的价格？

B.期望效用原则

DanielBernoulli

（1700-1782）是出生于瑞士名门著名数学家，1725-1733年期间一直在圣彼德堡科学院研究投币游戏。其在1738年发表《对机遇性赌博的分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理论”。指出人们在投资决策时不是用“钱的数学期望”来作为决策准则，而是用“道德期望”来行动的。而道德期望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关。穷人与富人对于财富增加的边际效用是不一样的。“钱的效用期望”即人们关心的是最终财富的效用，而不是财富的价值量，而且，财富增加所带来的边际效用（货币的边际效用）是递减的。

伯努利选择的道德期望函数为对数函数，即对投币游戏的期望值的计算应为对其对数函数期望值的计算：

其中，为一个确定值。另外，Crammer（1728）采用幂函数的形式的效用函数对这一问题进行了分析。假定：

则

因此，期望收益最大化准则在不确定情形下可能导致不可接受的结果。而贝努力提出的用期望效用取代期望收益的方案，可能为我们的不确定情形下的投资选择问题提供最终的解决方案。根据期望效用，20%的收益不一定和2倍的10%的收益一样好，可能更好；20%的损失也不一定与2倍的10%损失一样糟，可能更糟，符合温水煮青蛙原理。原因是对财富经过一个效用函数变换，只有线性函数，才能保证可加性。另一方面，对于证券投资来讲，只追求期望收益最大化的投资者绝不会选择一个多元化的资产组合。如果一种证券具有最高的期望收益，这个投资者会把他的全部资金投资于这种证券。如果几种证券具有相同的最大化期望收益，对这个投资者来说，投资于若干这些证券的组合或者只是其中的某一种证券是无差别的。由此可见，如果我们认为多元化是投资的基本原则的话，我们必须否定仅仅最大化期望收益原则的目标假定。C.后期望效用理论：由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期望效用理论，如前景理论、遗憾理论、加权的期望效用理论、非线性的期望效用理论等等行为金融学和非线性经济学对期望效用的新的解释。

二、VNM期望效用函数

期望效用理论是不确定性选择理论中最为重要的价值判断标准。期望效用函数作为对不确定性条件下经济主体决策者偏好结构的刻画，具有广泛的用途。（一）效用函数的表述和定义不确定性下的选择问题是其效用最大化的决定不仅对自己行动的选择，也取决于自然状态本身的选择或随机变化。因此不确定下的选择对象被人们称为彩票（Lottery）或未定商品（contingentcommodity）

设想消费者参加一次抽奖（lottery），所有可能产生的结果集为C，假定C的结果是有限的，我们用N=1，…，N来标示这些结果，每一结果发生的概率为，这样，我们可将该简单抽奖（simplelottery）记为：期望效用表述（expectedutilityrepresenting）：对一件抽奖商品的期望效用表示为对抽奖结果的效用函数的数学期望:

其中，是VNM效用函数。

更一般地，我们可以表述为：

其中，是一个随机变量。其含义为：一种未定商品的效用等于该未定商品所涉及的确定商品的效用的均值。例子：在不确定性下，某证券收益是随机变量r，我们假设该证券的收益只有简单的两种状态a和b,收益分别是ra和rb,每种状态发生的概率都是50％，发生状态a的投资者效用是U(ra),发生状态b时的投资者获得的效用是U(rb),由于每种状态发生的机会都是一半，因此简单的想法就是把每种状态获得的效用，以及它所发生的概率为权重，得到的平均值作为不确定性下的投资者效用，即：U(r)=50%*U(ra)+50%*U(rb)（二）期望效用函数的公理化陈述

1.阿基米德公理（ArchimedeanAxion）对于p,q,rC,p>q>r,则存在实数a,b(0,1)使得

ar+(1-a)p>q>bp+(1-b)r.第一个不等式的含义是不存在无限差的消费计划。再差的消费计划r，与好计划p组合时，当计划r发生的概率足够小时，r与p的组合就会好于中等计划q。第二个不等式的含义是不存在无限好的消费计划。没有哪一个消费计划p好到使得对任意满足q>r的消费计划q,r，无论概率b多么小，组合bp+(1-b)r不会比q差。

2.独立性公理或替代公理，IndependentorSubstituteAxiom）对于p,qC,p>q,意味着ap+(1-a)r>aq+(1-a)r,对任意rC,任意a(0,1)。含义:引入一个额外的不确定性的消费计划不会改变原有的偏好。也即消费者对于一个给定事件中的消费p、q的满意程度并不依赖于如果另外事件发生时，消费r将会是什么。例子：100万投资到p,q；

70万投资到p,q，30万投资到r3.

独立性公理是不确定性环境下决策理论的核心，它提供了把不确定性嵌入决策模型的基本结构。通过该假设，消费者将复杂的概率决策行为，分为相同和不同的两个独立部分，整个决策行为仅由其不同的部分来决定。

4、期望效用函数存在唯一性定理：定义在C上的偏好关系，若它满足阿基米德公理与独立性公理，则该偏好关系可以用vonNeumannandMorgensern期望效用函数表示，并且期望效用函数是唯一的。

5、期望效用准则的矛盾反对期望效用准则的最有趣和最相关的论证，通常包括这样的特例：受试者经过深思熟虑之后，反而会选择不符合该准则的行动方案。结论只能是，或者期望效用准则不是理性行为，或者人们有一种非理性的天生偏好，即使是在他思考最多的时候。

58例1.投资者可以选择以下3种彩票：彩票A赢得1000美元的机会是1/1000；彩票B赢得100美元的机会是1/100；彩票C是AB的组合，赢得1000的机会是1/2000，赢得100美元的机会是1/200。

你会选择哪一种彩票？A,B,orC?选C的A

or

B?59要求受试者在方案A,B,C之间进行选择，他们经常会表示出对C的明确偏好。但是，UC不可能比UA

和UB更大。对那些显示偏好C的受试者，我们可以继续提问，问他们在A和B之间是否更偏好A或者相反。争论仍然存在。

60为具体起见，我们假定A偏好B。我们再来询问他是否愿意要确定性的A或者要得到A或B的机会各半的方案。换言之，我们是直接选中A还是通过抛硬币来决定选A或B?实验证明，那些表示A偏好B的投资者一致认为，他们愿意选择A，而不是A或B的机会各半。

61不难发现，抛硬币选择A或B的结果的概率分布于彩票C的分布完全相同。因此我们可以将投资者的偏好概括如下：C偏好A；A偏好A或B各50%；但是A和B各50%又恰好与C一样好。因此C明确偏好A,A明确偏好C—矛盾。

62例

2：阿莱斯悖论方案A：确定得到100万美元；

方案B:得到500万美元的概率是0.1

得到100万美元的概率是0.89

得到0美元的概率是0.01选？（但A的期望效用<B的期望效用）63他发现，在A和B中，他的受试者偏好于A。于是，他进一步要求受试着考虑一下情形：方案C：以0.11的概率得到100万美元