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文档简介
一、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的水平渐近线和垂直渐近线第3节曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘三、函数图形的描绘下一页上一页返回
如图所示,曲线弧ABC部分是向下弯曲的,这时曲线位于切线的下方;而曲线弧CDE部分是向上弯曲的,曲线位于切线的上方.一、曲线的凹凸性与拐点
C
A
y
E
B
D
x
O
a
c
b
下一页上一页返回定义如果曲线弧总是位于其任一点切线的上方,则称这条曲线弧是凹的;如果曲线弧总是位于其任一点切线的下方,则称这条曲线弧是凸的.定理设函数
f(x)
在(a,b)内具有二阶导数.
(证明从略)下一页上一页返回例1
判断曲线y=x3的凹凸性.
解
下一页上一页返回定义
连续曲线y=f(x)上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点,称为曲线
y=f(x)的拐点.分析:由上述定理可知,
以判断曲线的凹凸.如果
就是曲线的一个拐点.另外,二阶导数不存在的点对应曲线上的点也有可能为拐点.
下一页上一页返回判定曲线
y=f(x)的拐点的一般步骤:
(1)确定y=f(x)的定义域.(2)求f(x),f(x),令f(x)=0,求出所有可能拐点x0.(3)考察f(x)在每个可能拐点x0左右两侧的符号,如果f(x)的符号相反,则点(x0
,f(x0))
是拐点,否则就不是.
下一页上一页返回例2
求曲线
f(x)=x3-6x2
+9x+1的凹凸区间与拐点.解
(1)定义域为(,).(2)f(x)=3x2-12x+9,f(x)=6x
-12
=6(x
-2
),令
f(x)=0,得x=2.(3)当
x(,2)时,f(x)<0,此区间为凸区间.当
x(2,+)时,f(x)>0,此区间是凹区间.下一页上一页返回例3
求曲线
f(x)=(2x-1)4+1的凹凸性,并求拐点.解
(1)定义域为(,).(2)f(x)=8(2x-1)3,f(x)=48(2x-1)2,令
f(x)=0,可得
x=1/2.(3)因为当x≠1/2时,f(x)>0
,所以该曲线在整个定义区间内都是凹的,曲线没有拐点.下一页上一页返回
要想完整地描绘出函数的图形,除了要知道其升降,凹凸性,极值和拐点等性态外,还须了解曲线无限远离坐标原点时的变化状况,这就是下面要讨论的曲线的渐近线问题.在此,我们仅讨论曲线的水平渐近线和垂直渐近线.二、曲线的水平渐近线和垂直渐近线下一页上一页返回引例(如图所示)
yxOy=arctan
x下一页上一页返回y
x=1xO1
(2,0)
y=ln(x-1)(如图所示)下一页上一页返回定义则称直线
y=b为曲线
y=f(x)的水平渐近线.则称直线
x=x0
为曲线
y=f(x)的垂直渐近线.下一页上一页返回所以的两条水平渐近线.例如下一页上一页返回
通过利用导数研究函数性态,进而描绘函数的图形的一般步骤:
(1)
确定函数y=f(x)
的定义域,并考察其奇偶性、周期性等;
三、函数图形的描绘
确定所有可能的极值点和拐点;
下一页上一页返回(4)
讨论函数图形的水平渐近线和垂直渐近线;
(5)
根据需要补充函数图形上若干特殊点(如与坐标轴的交点等);(6)
描图.(3)列表讨论函数的单调性、极值及函数图形的凹凸性和拐点;下一页上一页返回解
(1)函数定义域为
(-
,
),函数为奇函数,其图形关于原点对称.
(2)f
(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),例4描绘函数
f(x)=x3–
3x
的图形.f(x)=6x,令f(x)
=0,得
x1=-1,x2=1,令f(x)=0,得x=0.(3)列表讨论如下:下一页上一页返回xf(x)f(x)(,1)+-0---1(1,0)0-0(0,1)-+10+(1,+)++f(x)极大值f(-1)=2拐点(0,0)极小值f(1)=-2(4)无水平渐近线和垂直渐近线;下一页上一页返回yxO1-1-综合上述讨论,即可描绘出所给函数的图形:下一页上一页返回例5
描绘函数
的图形.解
(1)
定义域为
(-
,
).该函数为偶函数,
其图形关于y轴对称.因此,只要作出(0,)
内的图形,即可根据其对称性得到它的全部图形.令
f(x)=0,令
f(
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