方向导数与梯度

§2.2数量场的方向导数和梯度DirectionalDerivativeandGradientofScalarsField2/3/20231华北科技学院基础部一、

方向导数(DirectionalDerivative)

数量场中，数量在空间的分布状况可用等值面（线）了解，但只是整体（宏观）上的了解．在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空间的数值，还需要知道场在不同方向上的变化情况．应用方向导数可以描述数量场在空间某个方向上变化的情况．2/3/20232华北科技学院基础部1.引例一块长方形的金属板，受热产生如图温度分布场.设一个小虫在板中逃生至某问该虫应沿什么方向爬行，才能最快到达凉快的地点？处，问题的实质：应沿由热变冷变化最快的方向爬行．2/3/20233华北科技学院基础部需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率，从而确定出温度下降的最快方向引入两个概念：方向导数和梯度方向导数问题梯度问题2/3/20234华北科技学院基础部

设M0是数量场u=u(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l，在l上M0的邻近取一点M，函数u(M)在点M0处沿l方向的方向导数，2．定义若当M趋于时(即趋于零时)，

如图．的极限存在，则称此极限为记为2/3/20235华北科技学院基础部

②物理意义：①是数量函数u(M)在一个点处沿某一方向对距离的变化率2/3/20236华北科技学院基础部直角坐标系中，3.计算公式设l方向的方向余弦为若函数在点可微，则两边除以，可得2/3/20237华北科技学院基础部当趋于零时对上式取极限，可得实际应用：计算函数u(M)在给定点处沿某个方向的变化率（定点且定向）．2/3/20238华北科技学院基础部方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限.原因：函数可微是方向导数存在的充分条件，而不是必要条件。方向导数与偏导数有什么关系?2/3/20239华北科技学院基础部设,求函数在点沿方向的方向导数。解例12/3/202310华北科技学院基础部

例2求数量场在点M(1,1,2)处沿方向的方向导数．解：l方向的方向余弦为2/3/202311华北科技学院基础部而

数量场在l方向的方向导数为

在点M处沿l方向的方向导数

2/3/202312华北科技学院基础部解令故方向余弦为2/3/202313华北科技学院基础部故2/3/202314华北科技学院基础部

设M0是数量场u=u(M)中的一个已知点，从M0出发沿某曲线C正方向邻近取一点M，则称此极限为函数u(M)在点M0处沿曲线C正向的方向导数，4.沿曲线的方向导数若当M趋于时(即趋于零时)，

的极限存在，记为2/3/202315华北科技学院基础部结论若函数在点可微，其中为曲线C在处正向切线.曲线C光滑,则2/3/202316华北科技学院基础部二、梯度(Gradient)

数量场u(x,y,z)在l方向上的方向导数为方向导数只是一个特定方向上的导数，而从场的给定点出发有无穷个方向，也就有无穷多个方向导数。能否确定某一个与方向无关的量，它具有一定特殊意义，又可以方便地求出方向导数？从方向导数的表达式可以看到，方向s的方向余弦表示了所取的方向，而三个偏导数则由数量场唯一确定。2/3/202317华北科技学院基础部在直角坐标系中，令则2/3/202318华北科技学院基础部由上式显然可见，当与的方向一致时，也就是说沿矢量

方向的方向导数最大，即时,数量场在点M处的方向导数最大．此最大值为2/3/202319华北科技学院基础部在直角坐标系中，梯度的表达式为

定义：在数量场u(M)中的一点M处，其方向为函数u(M)在M点处变化率最大的方向，其模又恰好等于最大变化率的矢量，称为数量场u(M)在M点处的梯度．用gradu(M)表示.2/3/202320华北科技学院基础部方向上的方向导数.

gradu是由数量场

u派生出来的一个矢量场,

称为梯度是一个矢量．

gradu的方向就是使方向导梯度场.

数达到最大值的方向,就是在这个方数量场的梯度函数建立了数量场与矢量场的联系，这一联系使得某一类矢量场可以通过数量函数来研究，或者说数量场可以通过矢量场来研究．2/3/202321华北科技学院基础部因为数量场的等值面的法线方向为

所以gradu恒与

u的等值面垂直.由于所以沿梯度方向u(M)是增大的，即梯度指向函数u(M)增大的一方．梯度gradu方向与等值面法线重合，指向函数u(M)增大的一方，大小是方向的方向导数2/3/202322华北科技学院基础部

梯度、方向导数与等值面

数量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影．2/3/202323华北科技学院基础部

三维高度场的梯度与过该点的等高线垂直；

数值等于该点位移的最大变化率；

指向地势升高的方向2/3/202324华北科技学院基础部

与过该点的等位线垂直；

数值等于该点的最大方向导数；电位场的梯度

指向电位增加的方向．2/3/202325华北科技学院基础部梯度可写作

引进向量算子

注通常称为哈密顿(Hamilton)算符(或算子),读作“Nabla”.既具有矢量性质，又具有微分性质

它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘.

注意：2/3/202326华北科技学院基础部

设c为一常数，u(M)和v(M)为数量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立:特别地，2/3/202327华北科技学院基础部2/3/202328华北科技学院基础部2/3/202329华北科技学院基础部证：

因为

例5设标量函数r是动点M(x,y,z)的矢径的模，即，证明：2/3/202330华北科技学院基础部所以2/3/202331华北科技学院基础部解：

例6

已知位于原点处的点电荷q在点M(x,y,z)处产生的电位为，其中求电位的梯度．

电场中某一点的电场强度等于该点电势梯度矢量的负值2/3/202332华北科技学院基础部解若以上的单位向量,则有例7

设质量为

m的质点位于原点,质量为

1的质点

位于

记2/3/202333华北科技学院基础部它表示两质点间的引力,方向朝着原点,大小与质量

的乘积成正比,与两点间距离的平方成反比