数学精神与方法第六讲

数学精神与方法第六讲运算与迭代的威力（二）§3.2

经典数学的统一

——“数形合一”（续）上一节我们已看到怎样从ZFC系统制定出自然数系，整数系，直至有理数系。本节将带领大家看一看：怎样由有理数系制定出实数系？怎样理解实数系与直线的统一？怎样理解数与形的统一？无理量的存在性思考题：证明上述命题。“完备化”观念

无理数的存在说明有理数系并不像毕达哥拉斯想象的那么“完备”，有理数系还有必要作进一步的扩充。可是，“完备”究竟意味什么意思呢？简单地说，这里的“完备”是数学家渴望达到的一种境界——“数与形统一”。让我们自然地设想一下：在一条连绵不断的直线上，选定一个原点和一个序向，并选定单位长度，那么可以将有理数0对应于直线上的原点，将数目1对应于直线上沿序向离原点有一个单位长度的点，将数目2对应于沿序向离原点有二个单位长度的点，等等——凡是有理数都唯一地对应于直线上一点，这一点离开原点的距离与单位长度是可公度的，并且不同的有理数对应于直线上不同的点——这样就实现了从有理数系Q到直线上某个稠密子集间的一个保序双射。可是，这条连绵不断的直线上终归本性地存在着不能被任何有理数对应的点，这一现象正是有理数系Q“不完备”

的表象。透过Q的这种“不完备”

表象，可以体会“完备”的意味——“完备”是“数与直线（形）统一”的想法。“完备”=“数与直线（形）统一”分析数学的基本问题

怎样将有理数系扩充成一个完备的有序数系，从而达成“数与直线的统一”呢？这事实上是事关“分析数学”基础的一个大问题。

牛顿和莱布尼兹在17世纪发明的微积分理论，被誉为“人类精神的最高胜利”，开启了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。然而，牛顿和莱布尼兹的微积分是不严格的，特别在使用无穷小概念上是随意和混乱的。这种状况长期困扰着数学家们，长达200年之久。数学家们经过几代人的不懈努力才搞清楚，彻底消除微积分理论的漏洞，靠的是有理数系的“完备化”思想，即将有理数系扩充成一个完备的有序数系——实数系——的理论。牛顿（IsaacNewton,1642—1727)，最伟大的科学家之一。《自然哲学的数学原理》于1687年出版。莱布尼茨（GottfriedWilhelmLeibniz,1646—1716），德国数学家，微积分的创立者。牛顿与莱布尼茨牛顿和莱布尼茨都是他们所处时代的科学巨人，他们在相互独立的情况下各自创立了微积分。就发明时间而言，牛顿早于莱布尼茨；就发表时间而言，莱布尼茨先于牛顿。微积分发明权的争论被认为是“科学史上最不幸的一章”。由此产生的严重影响是，整个18世纪英国与欧陆国家在数学发展上分道扬镳。虽然牛顿在微积分应用方面的辉煌成就极大地促进了科学的进步，但由于英国数学家固守牛顿的传统而使自己逐渐远离了分析的主流。分析的进步，在18世纪，主要是由欧陆国家的数学家在发展莱布尼茨微积分方法的基础上而取得的。英雄世纪微积分诞生之后，数学迎来一次空前繁荣的时期。18世纪被称为数学史上的英雄世纪。这个时期的数学家们在几乎没有逻辑支持的前提下，勇于开拓并征服了广泛的科学领域。18世纪的数学家知道他们的微积分概念是不清楚的，证明也不充分，但他们却自信他们的结果是正确的。在微积分的发展过程中，一方面是成果丰硕，另一方面是基础的不稳固；这使得在微积分的研究和应用中出现了越来越多的谬论和悖论。数学的发展又遇到了深刻的令人不安的危机。由微积分的基础所引发的危机在数学史上称为第二次数学危机。因此在18世纪结束时，微积分和建立在其上的其他分析分支，在逻辑上，处于一种混乱的状态之中。历史要求给微积分以严格的基础。微积分的严格基础微积分理论和应用经过整个18世纪的空前展开和长期发展，在说明这一理论极其有效的同时，也使得它的逻辑基础备受数学家们的关注，数学界再也不能无视微积分建立在一个“随意的和混乱的”无穷小概念之上。进入19世纪，分析基础严格化的时代到来了。法国数学家柯西首先向分析的全面严格化迈出了关键的一步，他的许多定义和论述已经相当接近微积分的现代形式。柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱，但他的理论还只能说是“比较严格”，人们不久就发现他的理论也存在漏洞。例如，他用了许多“无限趋近”、“想要多小就多小”等直观描述的语言。事实上，要真正为微积分奠定牢固的基础是必须充分理解实数系的完备性才能办得到的。可是，直到19世纪中叶，对于什么是实数竟没有严格的定义，数学家对实数系的理解仅停留在数轴这种直观的感觉上，他们相当随便地使用无理数而没有考察它们的确切意义和性质。柯西对“无理数”是什么的问题作了一个表面的回答：无理数是有理数序列的极限。——这里产生了“逻辑循环”的毛病。

柯西（AugustinLouisCauchy,1789---1857），法国数学家。他对数学的最大贡献是在微积分中引进了清晰和严格的表述与证明方法，使微积分摆脱了对于几何与运动的直观理解和物理解释，从而形成微积分的现代体系。“分析算术化”纲领对于实数缺乏认识，不仅造成逻辑上的间断，而且导致错误结果时常出现，同时使人无法明辨错误出在哪里。19世纪后半叶，数学家们开展了一场数学史上著名的“分析算术化”运动，其目的就是要把分析建立在“纯粹算术”的基础上。这场运动的主帅是德国数学家魏尔斯特拉斯，他关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号。魏氏的严格化突出表现在，他创造了一套ε-δ语言，用于重建分析体系。他用这套严格语言去代替前人的“无限地趋近”等说法而重新定义了极限、连续、导数等分析学的基本概念，特别是引进了以往被忽视的“一致收敛性”概念，从而消除了微积分中不断出现的各种混乱和异议。可以说，数学分析达到今天所具有的严密形式，本质上归功于魏氏的工作。魏尔斯特拉斯认为，实数赋予我们极限、连续等基本概念，因而成为整个分析的逻辑本源。要使分析严格化，首先就要使实数系本身严格化。为此，最可靠的办法是，按照严密的逻辑将实数归结为整数（有理数）。这样，分析的所有概念便可以由整数导出，以往的漏洞和缺陷就能得以弥补。这就是魏氏的“分析算术化”纲领。1857年，魏尔斯特拉斯在解析函数论课程里向他的学生讲授了历史上第一个严格的实数定义。

外尔斯特拉斯（KarlTheodorWilhelmWeierstrass,1815---1897），德国数学家。他的主要贡献在函数论和分析方面。他发现了函数项级数的一致收敛性，借助级数构造了复变函数论，开始了分析的算术化过程。他给出的处处连续处处不可微的函数震动了数学界。在代数方面，他第一个给出了行列式的严格定义。他被誉为“现代分析之父”。实数的“戴德金分割”理论鉴于各种实数理论本质上是一回事，我们只简介戴德金的实数定义方案。如上所见，戴德金定义实数的方法以有理数系的分割为基础。数与构造数的方法达成了统一！实数系的完备性实数系的完备性究竟是什么意思呢？这需从实数的大小关系说起。

戴德金完备性定理

现在建立起来的全序集（R,≦）本质上已具有将有理数系Q扩充成一个完备的有序数系的功能。这里需说明（R,≦）具有完备性是什么意思，然后再将Q上的加法和乘法运算扩充到R上（扩充到R上的加法和乘法运算是唯一确定的）。这样，（R,≦，+，-）就构成了我们理想中的完备有序数系——即我们精神世界中的理想直线。（R,≦）的完备性是什么意思呢？（R,≦）的完备性表达出直线的“连通性”，而在（R,≦）上定义算术四则运算则可以表达出直线的“直性”——这里我们不打算陷入定义实数之算术运算的细节中。那么直线又是什么呢？欧几里得下定义说：“线只有长度没有宽度”；这只是不能使用的“假定义”而已。希尔伯特提出：将“直线”作为无定义的原始概念处理。注意：

戴德金（Dedekind,J.W.Richard，1831-1916），德国数学家，他因提出了把每个实数都定义成是有理数集的一个“戴德金分割”的理论，而成为现代实数理论的奠基人。“自然数是万物之母”的复生现在想来，“直线”只是一个不能加以定义的几何对象——尽管它在我们心中的影像是那么地确定无疑——与其让它这般地亦真亦幻，不如将它就“等同”于实数系（R，≦，+，-）好了。这种“等同”实现了“数与直线的统一”。进一步，利用笛卡尔的坐标几何的思想就可以实现“数与形的统一”。笛卡尔（Rene.Descartes,1596-1650），法国哲学家兼数学家，解析几何的发明者。他试图在一个毋庸置疑的基础上重建知识体系，他选择