数学思想方法教学与研究

唐山市第五批骨干教培训数学思想方法教学研究米山国藏，日本著名数学教育家,学者.著有《数学的精神、思想和方法》。“学生们在初中或高中学的数学知识，在进入社会后，若没有什么机会应用，这种作为知识的数学，通常在出校门后一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么工作，那种铭刻于头脑的数学精神和数学思想方法却长期地在他们生活和工作中发挥着作用。”内容一.何谓数学思想方法二.中学数学中常用的数学方法三.几类常用的数学思想方法介绍

1.演绎法或公理化方法

2.类比法

3.归纳法与数学归纳法

4.数学构造法

5.化归法

6.数学模型方法四.数学思想方法的教学原则五.数学思想方法的教学策略

数学思想的含义现代汉语中，思想解释为客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果．《辞海》称思想为理性认识．《中国大百科全书》认为，思想是相对于感性认识的理性认识结果．可见，思想是认识的高级阶段，是事物本质的、抽象的、概括的认识．由此推演，数学思想应是数学中的理性认识，是数学中高度抽象、概括的内容，是从具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它既蕴藏于数学知识内容之中，是数学知识的本质，又隐含于运用数学理论分析、处理和解决问题的过程之中．数学思想既可以“泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果”，如微积分思想、概率统计思想等，又包括对数学的起源与发展、数学的本质和特征、数学内部各分支各体系之间对立统一关系、数学与现实世界的关系及地位作用的认识，如常量与变量之间的辩证关系的认识等．

数学方法的含义

方法是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式，具有程序性、规则性、可操作性、模式性、指向性等特征．方法因问题而生，因能解决问题而存．数学方法是指在数学地提出问题、研究问题和解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中，所采用的各种手段或途径．其中包括变换数学形式。数学方法的层次第一层次是基本和重大的数学思想方法，如模型化方法、微积分方法、概率统计方法、拓扑方法、计算方法等；第二层次是与一般科学方法相应的数学方法，如类比联想、分析综合、归纳演绎等；第三层次是数学中的特有方法，如数学表示、数学等价、数形转换等；第四层次是中学数学中的解题方法和技巧．数学方法分为宏观的和微观的宏观的数学方法包括：模型方法，变换方法，对称方法，无穷小方法，公理化方法，结构方法，实验方法．微观的且在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类：

(1)逻辑学中的方法．例如分析法(包括逆证法)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等．这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色．

(2)数学中的一般方法．例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法．代数中常称图象法等．这些方法极为重要，应用也很广泛．

(3)数学中的特殊方法．例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法以及平行移动法、翻折法等．这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视数学思想与方法的关系数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性；数学思想是内隐的，而数学方法是外显的；数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步的概括和升华；如果把数学思想看作建筑的一张蓝图，那么数学方法就相当于建筑施工的手段数学思想和数学方法又具有相对性．同一个数学成就，当人们用于解决问题时，注重它的操作意义时，可能称之为方法；当人们评价其在数学体系中的价值和意义时，可能称之为数学思想方法．一.何谓数学思想方法☆数学思想---对数学的知识内容和所使用的方法的本质认识，它是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，而在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征，是对数学规律的理性认识。☆

数学方法---以数学为工具进行科学研究的方法，即用数学的语言表达事物的状态、关系和过程，经过推导、运算与分析，以形成解释、判断和预言的方法。☆二者关系---数学思想直接支配着数学的实践活动。数学方法是数学思想具体化的反映。简言之，数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学行为，数学思想对数学方法起指导作用。◆数学方法具有三个基本特征：（1）高度的抽象性和概括性；（2）精确性，即逻辑的严密性及结论的确定性；（3）应用的普遍性和可操作性。◆数学方法在科学技术研究中具有举足轻重的地位和作用：（1）提供简洁精确的形式化语言；（2）提供数量分析及计算的方法；（3）提供逻辑推理的工具。数学思想方法的教育意义

数学的逻辑结构的一个特殊的和最重要的要素就是数学思想，整个数学科学就是建立在这些思想的基础上，并按照这些思想发展起来的（例如，数学公理体系的思想，集合论思想等等）．……数学的各种方法是数学最重要的部分．

——弗利德曼无论对于科学的工作者、技术人员，还是数学教育工作者，最重要的是数学的精神、思想和方法，而数学知识只是第二位的．

——米山国藏读一段文字，有一个段落大意，读一篇课文，有一个中心思想，同样，一门学科也有一个大意和中心思想，如解析几何的中心思想，这种思想在意义上如同课文的中心思想，是建立在这门学科内容之上的，蕴涵在内容之中，经人们由内容精练概括出来的，而高于内容的东西．数学思想的一个层面就是这种思想．

数学研究的基本方法◆数学抽象方法◆数学模型方法◆数学研究活动的一般方法

数学中的逻辑方法◆数学定义方法◆逻辑划分方法◆数学公理化方法数学解题的思维方法◆数学推理方法（演绎法、归纳法、类比法）◆分析法与综合法◆数学实验方法◆数形结合方法◆关系影射反演原则（换元法、初等变换方法）

二.中学数学中常用的数学方法数学证明的重要方法◆反证法与同一法◆数学归纳法中学数学中几种常用的具体方法◆待定系数法◆配方法◆基本量法◆递推法有人这样给数学思想方法分类：1.操作性思想方法例如：换元法、配方法、待定系数法、割补法、构造法等；2.逻辑性思想方法例如：抽象、概括、分析、综合、演绎等；3.策略性思想方法例如：方程与函数、化归、猜想、数形结合、整体与系统等。事实上，数学思想方法是有层次的。操作性思想方法、逻辑性思想方法、策略性思想方法，从思维的角度上看，层次是逐渐上升的。三.几类常用的数学思想方法介绍1.演绎法或公理化方法（逻辑思维方法）☆演绎法是由一般到特殊的推理，它在逻辑上的依据是三段论。☆演绎法的重要性：1）数学理论都是用演绎推理组织起来的；2）它能超越技术与仪器的限制。☆演绎法的基本构件：定义（概念）、公理和定理。☆公理化方法的例子：欧几里德《几何原本》，希尔伯特《几何学基础》柯尔莫哥洛夫《概率论基础》ZFC《公理化集合论》2.类比法（数学创造发现的方法）☆类比是一种相似，即类比的对象在某些部分或关系上相似。☆三个层次：描述、说理、数学上的类比。☆数学上的类比：两个系统，如果它们各自的部分之间，可以清楚地定义一些关系，在这些关系上，它们具有共性，那么，这两个系统就可以类比。★例子：1）线段、三角形、四面体2）Newton-Leibniz公式、Green公式、Gauss公式3）同态与同构4）多项式理论与整数理论的类比整数＋、－

、×带余除法算术基本定理多项式＋、－

、×带余除法代数基本定理3.归纳法（逻辑学中的方法）与数学归纳法（数学中的一般方法）☆归纳就是从特殊的、具体的认识推进到一般的认识的一种思维方法。归纳法是实验科学最基本的方法。归纳法的特点：1）立足于观察和实验；2）结论具有猜测的性质；3）结论超越了前提所包含的内容。归纳法用于猜测和推断。例子：1)Fermat数(1640年，Fn=22n+1,Fermat素数：3，5，17，257，65537)；

2)Goldbach猜想（1742年）。

☆数学归纳法：P(n)是一个含有自然数n的命题，如果（1）P(n)

当n=1时成立；（2）若P(k)成立的假定下，则P(k+1)也成立。那么P(n)对任意自然数n都成立。这两个步骤，（1）称为归纳起点，（2）称为归纳推断。

数学归纳法是一种完全归纳法，其应用范围及其广泛。数学归纳法用于证明。例子：证明数列单调增加有上界。，，。4．数学构造法（基本数学方法）☆数学构造法---数学中的概念或方法按固定的方式经有限步骤能够定义或实现的方法。☆应用---构造概念、图形、公式、算法、方程、函数、反例、命题等。☆构造法在数学中的地位不仅古老，而且重要。☆例子1）求一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根。2）求两个正整数最大公因数的欧几里德辗转相除法。3）勾股定理（毕氏定理）。宋刻本《周髀算经》，（上海图书馆藏）第24届“国际数学家大会”会标5.化归法（基本数学方法）（1)特殊化与一般化，2)关系映射反演方法）☆化归原则是指把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法。☆其过程就是将一个问题由繁化简，由难化易，由复杂化简单，由未知化已知。☆化归有三个要素：化归的对象，化归的目标，化归的手段。☆使用各种化归方法时一般应遵循下面几个原则：a)熟悉化原则b)简单化原则c)和谐化原则☆实行化归的常用方法有：特殊化与一般，关系映射反演（RMI），分解与组合…1）特殊化与一般化☆依据（1）若命题P在一般条件下为真，则在特殊条件下P也为真；（2）若命题P在特殊条件下为假，则在一般条件下P也为假。☆特殊化方法---在研究一个给定集合的性质时，先研究某些个体或子集的性质，从中发现每个个体都具有的特性后，再猜想给定集合的性质，最后用严格的逻辑推理论证猜测的正确性；☆一般化方法---在研究一个给定集合的性质时，先研究包含该集合的较大集合的性质，从中发现较大集合所具有的性质，再根据特殊化与一般化的依据（1）推出所要证明的命题。2）关系映射反演（RMI）方法基本思想：当处理某问题甲有困难时，可以联想适当的映射，把问题甲及其关系结构R，映成与它有一一对应关系，且易于考察的问题乙，在新的关系结构中问题乙处理完毕后，再把所得到的结果，通过映射反演到R，求得问题甲的结果。问题甲问题乙问题甲的解问题乙的解映射σ映射σ-1☆RMI方法是一种矛盾转化的方法，它可以化繁为简，化难为易，化生为熟，化未知为已知，因而是数学中应用非常广泛的一种方法，数学中许多方法都属于RMI方法，例如，分割法、函数法、坐标法、换元法、复数法、向量法、参数法等。☆RMI方法不仅是数学中应用广泛的方法，而且可以拓展到人文社会科学中去。例如，哲学家处理现实问题的思想方法，就可以看作RMI方法的拓展（客观物质世界---哲学家的思维---哲学理论体系---解决客观世界的现实问题）。例如.1证明方程(m+1)x4-(3m+3)x3-2mx2+18m=0，对任何实数m都有一个共同的实数解，并求此实数解。2用解析几何方法处理平面几何问题。（几何关系问题---代数关系问题---求出某些代数关系---确定某种几何关系）6.数学模型方法（基本数学方法）☆数学模型（MM）---针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，采用形式化数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。☆数学模型方法（MM方法）---借助数学模型来揭示对象本质特征和变化规律的方法。☆分类：1）由来---理论MM，经验MM2）使用工具---微分方程MM、概率MM…3)涉及变量的特征---离散MM、连续MM；线性MM、非线性MM；确定MM、随机MM、模糊MM例1哥尼斯堡七桥问题（确定性模型）以上网络中哪一个是可以遍历的(即一笔而不重复地画成)？现实原型七桥问题数学模型一笔画问题无解（一次过桥不可能）无解（一笔画不可能）欧拉解决哥尼斯堡七桥问题的思想方法框图你能找到穿经每个门各一次且笔不离纸的通道吗？试证明你的结论．（摘自《数学趣闻集锦》,T·帕帕斯）例2.布丰投针实验

1777年法国科学家布丰提出的一种计算圆周率的方法——随机投针法，即著名的布丰投针问题。这一方法的步骤是：

1)取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线；

2)取一根长度为l（l<d）的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m；

3）计算针与直线相交的概率．

☆MM构造过程a）对现实原型，分析其对象与关系结构的本质属性，以便确定MM

的类别；b）要确定所研究的系统并抓住主要矛盾；c）要进行数学抽象。☆MM的特点a）在MM上应具有严格推导（逻辑推理）的可能性以及导出结论的确定性；b）MM相对于较复杂的现实原型来说，应具有化繁为简、化难为易的特点。☆数学建模的过程：模型准备---模型假设---模型建立---模型求解---模型检验---模型应用☆成功的MM:a）解释已知现象；b）预言未知现象；c）被实践所证明。☆数学模型的意义：a)对所研究的对象提供分析、预报、决策、控制等方面的定量结果；b)任何一项数学的应用，主要或首先就是数学模型方法的应用。☆精彩范例：力学：牛顿万有引力定律；电磁学：麦克斯韦方程组；化学：门捷列夫元素周期表；生物学：孟德尔遗传定律…☆数学模型应用日益广泛的原因：a)社会生活的各个方面日益数量化；b)计算机的发展为精确化提供了条件；c)很多无法试验或费用很大的试验问题，用数学模型进行研究是一条捷径。几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科，使很多概率问题的解决变得简单而不用运用微积分的知识。然而，1899年，法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”，矛头直指几何概率概念本身：

在一给定圆内所有的弦中任选一条弦，求该

弦的长度长于圆的内接正三角形边长的概率。从

不同方面考虑，可得不同结果：

⑴．由于对称性，可预先指定弦的方向。作垂直

于此方向的直径，只有交直径于1/4点与3/4点

间的弦，其长才大于内接正三角形边长。所有交

点是等可能的,则所求概率为1/2。

2)由于对称性，可预先固定弦的一端。仅当弦与过

此端点的切线的交角在60°～120°之间，其长才合乎要求。所有方向是等可能的，则所求概率为1/3。

3)弦被其中点位置唯一确定。只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内，其长才合乎要求。中点位置都是等可能的,则所求概率为1/4。

这导致同一事件有不同概率，因此为悖论。

而此悖论在提出概率公理化后发现根本都不是问题！！四、数学思想方法的教学原则进行数学思想方法的教学，除了应符合通常的教学原则外，根据教学实践及大量实验研究，应该遵循下列几条原则。1、化隐为显原则知识教学中虽然蕴含着丰富的数学思想和方法，但由于数学思想和方法与具体的数学知识是一个有机整体，它们互相依存，相互关联，协同发展，是具体数学知识的本质和内在联系的反映，具有高度的抽象性和概括性，如果说数学方法尚具有某种外在形式或模式，那么作为一类数学方法的概括的数学思想，却只表现为一种意识或观念，很难找到外在的固定的形式。因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把藏于知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识传授过程达到思想方法教学之目的。2、循序渐进原则数学思想方法的形成难于知识的理解与掌握。学生学习数学思想和方法一般要经历三个阶段，一是模仿形成阶段，它们往往只注意了数学知识的学习，而忽视了联结这些知识的观点，以及由此产生的解决问题的方法和策略，即使有所觉察，也是处于朦朦胧胧、似有所悟的境界。二是初步应用阶段，即学生对数学思想方法的认识开始已经明朗，开始理解解题过程中所使用的探索方法和策略，也会概括总结出来。三是自觉应用阶段，学生能根据数学问题，恰当运用某种思想方法进行探索，以求得问题的解决。学生数学思想方法的学习过程，决定了数学思想方法的教学不可能一步到位，也有一个相应的循序渐进、由浅入深的过程，因此要按照反复教育、初步形成、应用发展的顺序来完成某一数学思想方法的教学。3、螺旋上升原则学生对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，也必须遵循认识的一般规律，即从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级的螺旋上升过程。如对同一数学思想，应注意在不同知识阶段的再现，以加强对数学思想方法的认识。例如数形结合思想，在初中讲数轴时，涉及数形结合思想，学生要会借助数轴表示相反数、绝对值、比较有理数的大小等，讲不等式组的解法时，要求学生用数轴找出不等式的公共解集等，逐渐地，学生逐步形成借助于图形性质解决代数问题的观念，到了高中，通过对函数图象和性质，平面解析几何、复数等有关知识的学习，加深对数形结合思想的理解和应用，平时，注重技巧与方法的教学，到了一定阶段，应当上升为较高层次的数学思想，促使学生在反复渗透中，对数学思想方法的认识，螺旋上升，并能主动应用。4、系统教学原则与具体的数学知识一样，数学思想方法只有形成一定结构的系统，才能更好地发挥其整体功能。在数学思想方法的教学中，要将该思想所概括的一类数学方法，所串联的具体数学知识，形成一定的结构体系，才能为学生理解和掌握。遵循这一原则进行教学，一方面要研究在每一具体数学知识的教学中可进行那些思想方法的教学；另一方面，又要研究一些重要的数学思想方法，可以在那些知识点的教学中进行渗透，从而在纵横两个维度上整理出数学思想方法的系统。如数学中的化归思想，它是把数学中待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到某个(或某些)已经解决或者比较容易解决的问题，最终求得原问题的解决。在学生学习化归这种思想时，应明确化归的三个基本要素：化归的对象、化归的目标和化归的方法。当前需要解决的问题是化归的对象；熟悉化、简单化和直观化是一切化归应遵循的基本原则；实施化归的关键是实现问题的规范化(即已经具有确定的解决方法和程序的问题)；化未知为已知，化难为易，化繁为简，化一般为特殊，化抽象为具体是化归的方向；实现问题转化的途径和转化的手段称为化归的方法。中学中常用的化归方法有恒等变换法，具体包括分解法、配方法，待定系数法等；其二是映射反演法，具体包括换元法、对数法、生标法和仿射法等。5、学生参与原则由于数学思想方法比数学知识更抽象，不可能照搬、复制。数学思想方法的教学是数学活动过程的教学，重在思辩操作，离开教学活动过程，数学思想方法也就无从谈起。只有组织学生积极参与教学过程，在老师的启发引导下逐步领悟、形成、掌握数学思想方法。因此，要通过教学，让学生在学习数学知识过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式构建出数学思想方法的体系五、数学思想方法的教学策略1、转变观念，提高认识数学教学中存在的重结论、轻过程，重形式、轻内容，重技巧、轻思想，重解题、轻应用的弊端，严重影响了数学教学质量的提高，束缚了学生思维能力的发展，从而导致学生学习数学的兴趣不浓。为此，每一位数学教育工作者，要站在培养跨世纪人才的高度来改进数学教学(还数学教学的本来面目)，用现代教学观指导教学，把数学思想和方法的教学提到应有的高度，通过数学知识这个载体循序渐进，有层次地培养学生的数学思想和方法，使数