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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点P是C的右支上一点,连接与y轴交于点M,若(O为坐标原点),,则双曲线C的渐近线方程为()A. B. C. D.2.已知函数,,的零点分别为,,,则()A. B.C. D.3.射线测厚技术原理公式为,其中分别为射线穿过被测物前后的强度,是自然对数的底数,为被测物厚度,为被测物的密度,是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用镅241()低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8,钢的密度为7.6,则这种射线的吸收系数为()(注:半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度,,结果精确到0.001)A.0.110 B.0.112 C. D.4.在复平面内,复数对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知直线:过双曲线的一个焦点且与其中一条渐近线平行,则双曲线的方程为()A. B. C. D.6.执行如下的程序框图,则输出的是()A. B.C. D.7.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面8.已知向量,,若,则()A. B. C. D.9.在平面直角坐标系中,锐角顶点在坐标原点,始边为x轴正半轴,终边与单位圆交于点,则()A. B. C. D.10.集合,,则()A. B. C. D.11.若复数满足(是虚数单位),则的虚部为()A. B. C. D.12.在中,为中点,且,若,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.从集合中随机取一个元素,记为,从集合中随机取一个元素,记为,则的概率为_______.14.袋中装有两个红球、三个白球,四个黄球,从中任取四个球,则其中三种颜色的球均有的概率为________.15.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是__________元.16.设是公差不为0的等差数列的前项和,且,则______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BCC1B1是菱形,AC=BC=2,∠CBB1=,点A在平面BCC1B1上的投影为棱BB1的中点E.(1)求证:四边形ACC1A1为矩形;(2)求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值.18.(12分)已知椭圆与x轴负半轴交于,离心率.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线与椭圆C交于两点,连接AM,AN并延长交直线x=4于两点,若,直线MN是否恒过定点,如果是,请求出定点坐标,如果不是,请说明理由.19.(12分)在一次电视节目的答题游戏中,题型为选择题,只有“A”和“B”两种结果,其中某选手选择正确的概率为p,选择错误的概率为q,若选择正确则加1分,选择错误则减1分,现记“该选手答完n道题后总得分为”.(1)当时,记,求的分布列及数学期望;(2)当,时,求且的概率.20.(12分)已知椭圆:的两个焦点是,,在椭圆上,且,为坐标原点,直线与直线平行,且与椭圆交于,两点.连接、与轴交于点,.(1)求椭圆的标准方程;(2)求证:为定值.21.(12分)已知点,且,满足条件的点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)是否存在过点的直线,直线与曲线相交于两点,直线与轴分别交于两点,使得?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.22.(10分)如图,在棱长为的正方形中,,分别为,边上的中点,现以为折痕将点旋转至点的位置,使得为直二面角.(1)证明:;(2)求与面所成角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
利用三角形与相似得,结合双曲线的定义求得的关系,从而求得双曲线的渐近线方程。【详解】设,,由,与相似,所以,即,又因为,所以,,所以,即,,所以双曲线C的渐近线方程为.故选:C.【点睛】本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解,考查数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力。2.C【解析】
转化函数,,的零点为与,,的交点,数形结合,即得解.【详解】函数,,的零点,即为与,,的交点,作出与,,的图象,如图所示,可知故选:C【点睛】本题考查了数形结合法研究函数的零点,考查了学生转化划归,数形结合的能力,属于中档题.3.C【解析】
根据题意知,,代入公式,求出即可.【详解】由题意可得,因为,所以,即.所以这种射线的吸收系数为.故选:C【点睛】本题主要考查知识的迁移能力,把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数,利用指数的相关性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程;属于中档题.4.B【解析】
化简复数为的形式,然后判断复数的对应点所在象限,即可求得答案.【详解】对应的点的坐标为在第二象限故选:B.【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,属于基础题.5.A【解析】
根据直线:过双曲线的一个焦点,得,又和其中一条渐近线平行,得到,再求双曲线方程.【详解】因为直线:过双曲线的一个焦点,所以,所以,又和其中一条渐近线平行,所以,所以,,所以双曲线方程为.故选:A.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.6.A【解析】
列出每一步算法循环,可得出输出结果的值.【详解】满足,执行第一次循环,,;成立,执行第二次循环,,;成立,执行第三次循环,,;成立,执行第四次循环,,;成立,执行第五次循环,,;成立,执行第六次循环,,;成立,执行第七次循环,,;成立,执行第八次循环,,;不成立,跳出循环体,输出的值为,故选:A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算,解题时要根据算法框图计算出算法的每一步,考查分析问题和计算能力,属于中等题.7.B【解析】
本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.【详解】由面面平行的判定定理知:内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性质定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的必要条件,故选B.【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,则”此类的错误.8.A【解析】
利用平面向量平行的坐标条件得到参数x的值.【详解】由题意得,,,,解得.故选A.【点睛】本题考查向量平行定理,考查向量的坐标运算,属于基础题.9.A【解析】
根据单位圆以及角度范围,可得,然后根据三角函数定义,可得,最后根据两角和的正弦公式,二倍角公式,简单计算,可得结果.【详解】由题可知:,又为锐角所以,根据三角函数的定义:所以由所以故选:A【点睛】本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式,还考查二倍角的正弦、余弦公式,难点在于公式的计算,识记公式,简单计算,属基础题.10.A【解析】
解一元二次不等式化简集合A,再根据对数的真数大于零化简集合B,求交集运算即可.【详解】由可得,所以,由可得,所以,所以,故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算,涉及一元二次不等式解法及对数的概念,属于中档题.11.A【解析】
由得,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数,从而可得的虚部.【详解】因为,所以,所以复数的虚部为.故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.12.B【解析】
选取向量,为基底,由向量线性运算,求出,即可求得结果.【详解】,,,,,.故选:B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,平面向量基本定理,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
先求出随机抽取a,b的所有事件数,再求出满足的事件数,根据古典概型公式求出结果.【详解】解:从集合中随机取一个元素,记为,从集合中随机取一个元素,记为,则的事件数为9个,即为,,,其中满足的有,,,共有8个,故的概率为.【点睛】本题考查了古典概型的计算,解题的关键是准确列举出所有事件数.14.【解析】
基本事件总数n126,其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数m72,由此能求出其中三种颜色的球都有的概率.【详解】解:袋中有2个红球,3个白球和4个黄球,从中任取4个球,基本事件总数n126,其中三种颜色的球都有,可能是2个红球,1个白球和1个黄球或1个红球,2个白球和1个黄球或1个红球,1个白球和2个黄球,所以包含的基本事件个数m72,∴其中三种颜色的球都有的概率是p.故答案为:.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.15.1元【解析】设分别生产甲乙两种产品为桶,桶,利润为元
则根据题意可得目标函数,作出可行域,如图所示作直线然后把直线向可行域平移,
由图象知当直线经过时,目标函数的截距最大,此时最大,
由可得,即此时最大,
即该公司每天生产的甲4桶,乙4桶,可获得最大利润,最大利润为1.【点睛】本题考查用线性规划知识求利润的最大值,根据条件建立不等式关系,以及利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键.16.18【解析】
先由,可得,再结合等差数列的前项和公式求解即可.【详解】解:因为,所以,.故答案为:18.【点睛】本题考查了等差数列基本量的运算,重点考查了等差数列的前项和公式,属基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见解析(2)【解析】
(1)通过勾股定理得出,又,进而可得平面,则可得到,问题得证;(2)如图,以为原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴,求出平面的法向量和平面的法向量,利用空间向量的夹角公式可得答案.【详解】(1)因为平面,所以,又因为,,,所以,因此,所以,因此平面,所以,从而,又四边形为平行四边形,则四边形为矩形;(2)如图,以为原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴,所以,平面的法向量,设平面的法向量,由,由,令,即,所以,,所以,所求二面角的余弦值是.【点睛】本题考查空间垂直关系的证明,考查向量法求二面角的大小,考查学生计算能力,是中档题.18.(1)(2)直线恒过定点,详见解析【解析】
(1)依题意由椭圆的简单性质可求出,即得椭圆C的方程;(2)设直线的方程为:,联立直线的方程与椭圆方程可求得点的坐标,同理可求出点的坐标,根据的坐标可求出直线的方程,将其化简成点斜式,即可求出定点坐标.【详解】(1)由题有,.∴,∴.∴椭圆方程为.(2)设直线的方程为:,则∴或,∴,同理,当时,由有.∴,同理,又∴,当时,∴直线的方程为∴直线恒过定点,当时,此时也过定点..综上:直线恒过定点.【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程,以及直线与椭圆的位置关系应用,定点问题的求法等,意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力,属于难题.19.(1)见解析,0(2)【解析】
(1)即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道题都答错,进而求解即可;(2)当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又,则第一题答对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解.【详解】解:(1)的取值可能为,,1,3,又因为,故,,,,所以的分布列为:13所以(2)当时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又已知,第一题答对,若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题;若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题,此时的概率为(或).【点睛】本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,考查分类讨论思想.20.(1)(2)证明见解析【解析】
(1)根据椭圆的定义可得,将代入椭圆方程,即可求得的值,求得椭圆方程;(2)设直线的方程,代入椭圆方程,求得直线和的方程,求得和的横坐标,表示出,根据韦达定理即可求证为定值.【详解】(1)因为,由椭圆的定义得,,点在椭圆上,代入椭圆方程,解得,所以的方程为;(2)证明:设,,直线的斜率为,设直线的方程为,联立方程组,消去,整理得,所以,,直线的直线方程为,令,则,同理,所以:,代入整理得,所以为定值.【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查椭圆中的定值问题,属于中档题.21.(1)(2)存在,或.【解析】
(1)由得看成到两定点的和为定值,满足椭圆定义,用定义可解曲线的方程.(2)先讨论斜率不存在情况是否符合题意,当直线的斜率存在时,设直线点斜式方程,由,可得,再直线与椭圆联解,利用根的判别式得
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