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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数与的图象上存在关于直线对称的点,则的取值范围是()A. B. C. D.2.设等比数列的前项和为,则“”是“”的()A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要3.的展开式中的一次项系数为()A. B. C. D.4.执行下面的程序框图,若输出的的值为63,则判断框中可以填入的关于的判断条件是()A. B. C. D.5.若双曲线:绕其对称中心旋转后可得某一函数的图象,则的离心率等于()A. B. C.2或 D.2或6.已知直线:与圆:交于,两点,与平行的直线与圆交于,两点,且与的面积相等,给出下列直线:①,②,③,④.其中满足条件的所有直线的编号有()A.①② B.①④ C.②③ D.①②④7.已知函数(其中,,)的图象关于点成中心对称,且与点相邻的一个最低点为,则对于下列判断:①直线是函数图象的一条对称轴;②点是函数的一个对称中心;③函数与的图象的所有交点的横坐标之和为.其中正确的判断是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③8.要得到函数的导函数的图像,只需将的图像()A.向右平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍B.向右平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的倍C.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标缩短到原来的倍D.向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍9.已知圆M:x2+y2-2ay=0a>0截直线x+y=0A.内切 B.相交 C.外切 D.相离10.已知点、.若点在函数的图象上,则使得的面积为的点的个数为()A. B. C. D.11.已知,,,则的大小关系为()A. B. C. D.12.若集合,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若函数,其中且,则______________.14.在的展开式中的系数为,则_______.15.已知盒中有2个红球,2个黄球,且每种颜色的两个球均按,编号,现从中摸出2个球(除颜色与编号外球没有区别),则恰好同时包含字母,的概率为________.16.设复数满足,其中是虚数单位,若是的共轭复数,则____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)对于很多人来说,提前消费的认识首先是源于信用卡,在那个工资不高的年代,信用卡绝对是神器,稍微大件的东西都是可以选择用信用卡来买,甚至于分期买,然后慢慢还!现在银行贷款也是很风靡的,从房贷到车贷到一般的现金贷.信用卡“忽如一夜春风来”,遍布了各大小城市的大街小巷.为了解信用卡在市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中随机抽取了100人进行抽样分析,得到如下列联表(单位:人)经常使用信用卡偶尔或不用信用卡合计40岁及以下15355040岁以上203050合计3565100(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关?(2)①现从所抽取的40岁及以下的网民中,按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人,然后,再从这10人中随机选出4人赠送积分,求选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率;②将频率视为概率,从市所有参与调查的40岁以上的网民中随机抽取3人赠送礼品,记其中经常使用信用卡的人数为,求随机变量的分布列、数学期望和方差.参考公式:,其中.参考数据:0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63518.(12分)等比数列中,.(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)记为的前项和.若,求.19.(12分)已知,均为正项数列,其前项和分别为,,且,,,当,时,,.(1)求数列,的通项公式;(2)设,求数列的前项和.20.(12分)已知椭圆的右顶点为,点在轴上,线段与椭圆的交点在第一象限,过点的直线与椭圆相切,且直线交轴于.设过点且平行于直线的直线交轴于点.(Ⅰ)当为线段的中点时,求直线的方程;(Ⅱ)记的面积为,的面积为,求的最小值.21.(12分)已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,,直线过点,且与抛物线交于,两点.(1)求抛物线的方程及点的坐标;(2)求的最大值.22.(10分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若存在实数,使得不等式成立,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
由题可知,曲线与有公共点,即方程有解,可得有解,令,则,对分类讨论,得出时,取得极大值,也即为最大值,进而得出结论.【详解】解:由题可知,曲线与有公共点,即方程有解,即有解,令,则,则当时,;当时,,故时,取得极大值,也即为最大值,当趋近于时,趋近于,所以满足条件.故选:C.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数性质的基本方法,考查化归与转化等数学思想,考查抽象概括、运算求解等数学能力,属于难题.2.A【解析】
首先根据等比数列分别求出满足,的基本量,根据基本量的范围即可确定答案.【详解】为等比数列,若成立,有,因为恒成立,故可以推出且,若成立,当时,有,当时,有,因为恒成立,所以有,故可以推出,,所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量的求解,充分必要条件的集合关系,属于基础题.3.B【解析】
根据多项式乘法法则得出的一次项系数,然后由等差数列的前项和公式和组合数公式得出结论.【详解】由题意展开式中的一次项系数为.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理的应用,应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数.同时本题考查了组合数公式.4.B【解析】
根据程序框图,逐步执行,直到的值为63,结束循环,即可得出判断条件.【详解】执行框图如下:初始值:,第一步:,此时不能输出,继续循环;第二步:,此时不能输出,继续循环;第三步:,此时不能输出,继续循环;第四步:,此时不能输出,继续循环;第五步:,此时不能输出,继续循环;第六步:,此时要输出,结束循环;故,判断条件为.故选B【点睛】本题主要考查完善程序框图,只需逐步执行框图,结合输出结果,即可确定判断条件,属于常考题型.5.C【解析】
由双曲线的几何性质与函数的概念可知,此双曲线的两条渐近线的夹角为,所以或,由离心率公式即可算出结果.【详解】由双曲线的几何性质与函数的概念可知,此双曲线的两条渐近线的夹角为,又双曲线的焦点既可在轴,又可在轴上,所以或,或.故选:C【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质,函数的概念,考查了分类讨论的数学思想.6.D【解析】
求出圆心到直线的距离为:,得出,根据条件得出到直线的距离或时满足条件,即可得出答案.【详解】解:由已知可得:圆:的圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线的距离为:,∴,而,与的面积相等,∴或,即到直线的距离或时满足条件,根据点到直线距离可知,①②④满足条件.故选:D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用,涉及点到直线的距离公式.7.C【解析】分析:根据最低点,判断A=3,根据对称中心与最低点的横坐标求得周期T,再代入最低点可求得解析式为,依次判断各选项的正确与否.详解:因为为对称中心,且最低点为,所以A=3,且由所以,将带入得,所以由此可得①错误,②正确,③当时,,所以与有6个交点,设各个交点坐标依次为,则,所以③正确所以选C点睛:本题考查了根据条件求三角函数的解析式,通过求得的解析式进一步研究函数的性质,属于中档题.8.D【解析】
先求得,再根据三角函数图像变换的知识,选出正确选项.【详解】依题意,所以由向左平移个单位长度,再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到的图像.故选:D【点睛】本小题主要考查复合函数导数的计算,考查诱导公式,考查三角函数图像变换,属于基础题.9.B【解析】化简圆M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r10.C【解析】
设出点的坐标,以为底结合的面积计算出点到直线的距离,利用点到直线的距离公式可得出关于的方程,求出方程的解,即可得出结论.【详解】设点的坐标为,直线的方程为,即,设点到直线的距离为,则,解得,另一方面,由点到直线的距离公式得,整理得或,,解得或或.综上,满足条件的点共有三个.故选:C.【点睛】本题考查三角形面积的计算,涉及点到直线的距离公式的应用,考查运算求解能力,属于中等题.11.A【解析】
根据指数函数与对数函数的单调性,借助特殊值即可比较大小.【详解】因为,所以.因为,所以,因为,为增函数,所以所以,故选:A.【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性,利用单调性比较大小,属于中档题.12.B【解析】
根据正弦函数的性质可得集合A,由集合性质表示形式即可求得,进而可知满足.【详解】依题意,;而,故,则.故选:B.【点睛】本题考查了集合关系的判断与应用,集合的包含关系与补集关系的应用,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
先化简函数的解析式,在求出,从而求得的值.【详解】由题意,函数可化简为,所以,所以.故答案为:0.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用,以及导数的运算和函数值的求解,其中解答中正确化简函数的解析式,准确求解导数是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.14.2【解析】
首先求出的展开项中的系数,然后根据系数为即可求出的取值.【详解】由题知,当时有,解得.故答案为:.【点睛】本题主要考查了二项式展开项的系数,属于简单题.15.【解析】
根据组合数得出所有情况数及两个球颜色不相同的情况数,让两个球颜色不相同的情况数除以总情况数即为所求的概率.【详解】从袋中任意地同时摸出两个球共种情况,其中有种情况是两个球颜色不相同;故其概率是故答案为:.【点睛】本题主要考查了求事件概率,解题关键是掌握概率的基础知识和组合数计算公式,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.16.【解析】
由于,则.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关;(2)①;②分布列见解析,,【解析】
(1)计算再对照表格分析即可.(2)①根据分层抽样的方法可得经常使用信用卡的有人,偶尔或不用信用卡的有人,再根据超几何分布的方法计算3人或4人偶尔或不用信用卡的概率即可.②利用二项分布的特点求解变量的分布列、数学期望和方差即可.【详解】(1)由列联表可知,,因为,所以不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关.(2)①依题意,可知所抽取的10名40岁及以下网民中,经常使用信用卡的有(人),偶尔或不用信用卡的有(人).则选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率.②由列联表,可知40岁以上的网民中,抽到经常使用信用卡的频率为,将频率视为概率,即从市市民中任意抽取1人,恰好抽到经常使用信用卡的市民的概率为.由题意得,则,,,.故随机变量的分布列为:0123故随机变量的数学期望为,方差为.【点睛】本题主要考查了独立性检验以及超几何分布与二项分布的知识点,包括分类讨论以及二项分布的数学期望与方差公式等.属于中档题.18.(Ⅰ)或(Ⅱ)12【解析】
(1)先设数列的公比为,根据题中条件求出公比,即可得出通项公式;(2)根据(1)的结果,由等比数列的求和公式,即可求出结果.【详解】(1)设数列的公比为,,,或.(2)时,,解得;时,,无正整数解;综上所述.【点睛】本题主要考查等比数列,熟记等比数列的通项公式与求和公式即可,属于基础题型.19.(1),(2)【解析】
(1),所,两式相减,即可得到数列递推关系求解通项公式,由,整理得,得到,即可求解通项公式;(2)由(1)可知,,即可求得数列的前项和.【详解】(1)因为,所,两式相减,整理得,当时,,解得,所以数列是首项和公比均为的等比数列,即,因为,整理得,又因为,所以,所以,即,因为,所以数列是以首项和公差均为1的等差数列,所以;(2)由(1)可知,,,即.【点睛】此题考查求数列的通项公式,以及数列求和,关键在于对题中所给关系合理变形,发现其中的关系,裂项求和作为一类常用的求和方法,需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.20.(Ⅰ)直线的方程为(Ⅱ)【解析】
(1)设点,利用中点坐标公式表示点B,并代入椭圆方程解得,从而求出直线的方程;(2)设直线的方程为:,表示点,然后联立方程,利用相切得出,然后求出切点,再设出设直线的方程,求出点,利用两点坐标,求出直线的方程,从而求出,最后利用以上已求点的坐标表示面积,根据基本不等式求最值即可.【详解】解:(Ⅰ)由椭圆,可得:由题意:设点,当为的中点时,可得:代入椭圆方程,可得:所以:所以.故直线的方程为.(Ⅱ)由题意,直线的斜率存在且不为0,故设直线的方程为:令,得:,所以:.联立:,消,整理得:.因为直线与椭圆相切,所以.即.设,则,,所以.又直线直线,所以设直线的方程为:.令,得,所以:.因为,所以直线的方程为:.令,得,所以:.所以.又因为..所以(当且仅当,即时等号成立)所以.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查直线方程以及求椭圆中的最值问题,最值问题一般是把目标式求出,结合目标式特点选用合适的方法求解,侧重考查数学运算的核心素养,本题利用了基本不等式求最小值的方法,运算量较大,属于难题.21.(1),;(2)1.【解析】
(1)根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等,可得p值,即可求抛物线C的方程从而可得解;(2)设直线l的方程为:x+my﹣1=0,代入y2=4x,得,y2+4my﹣4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=2+4m2,x1x2=1,(),(x2﹣2,),由此能求出的最大值.【详解】(1)∵点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,P(2,y0)是抛物线上一点,|PF|=3,∴23,解得:p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x,∵点P(2,n)(n>0)在抛物线C上,∴n2=4×2=8,由n
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