2022年山西省同煤二中高考仿真卷数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数的定义域为，且，当时，.若，则函数在上的最大值为（）A．4 B．6 C．3 D．82．已知函数，若方程恰有两个不同实根，则正数m的取值范围为（）A． B．C． D．3．设集合，，则()A． B．C． D．4．已知、，，则下列是等式成立的必要不充分条件的是（）A． B．C． D．5．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（）A．480种 B．360种 C．240种 D．120种6．如图在直角坐标系中，过原点作曲线的切线，切点为，过点分别作、轴的垂线，垂足分别为、，在矩形中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（）A． B． C． D．7．公比为2的等比数列中存在两项，，满足，则的最小值为（）A． B． C． D．8．已知函数，关于x的方程f（x）＝a存在四个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）∪（1，e） B．C． D．（0，1）9．已知复数满足，则（）A． B． C． D．10．若复数（）是纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．双曲线的左右焦点为，一条渐近线方程为，过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于，满足，则该双曲线的离心率为（）A． B．3 C． D．212．已知集合M＝{x|﹣1＜x＜2}，N＝{x|x（x+3）≤0}，则M∩N＝（）A．[﹣3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣1，0] D．（﹣1，0）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，，是的角平分线，设，则实数的取值范围是__________.14．已知复数，且满足（其中为虚数单位），则____.15．如图是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，，则的面积为________.16．如图，四面体的一条棱长为，其余棱长均为1，记四面体的体积为，则函数的单调增区间是____；最大值为____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）若函数，试讨论的单调性；（2）若，，求的取值范围.18．（12分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量与向量共线.（1）求B；（2）若，，且，求BD的长度.19．（12分）已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线垂直，垂足为B，且点A是线段BF的中点.（I）求椭圆C的方程；（II）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线交于点Q，且,求点P的坐标.20．（12分）在中，，是边上一点，且，.（1）求的长；（2）若的面积为14，求的长.21．（12分）如图，空间几何体中，是边长为2的等边三角形，，，，平面平面，且平面平面，为中点.（1）证明：平面；（2）求二面角平面角的余弦值.22．（10分）已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最小值为，正实数、满足，求证：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得；利用定义可证明函数的单调性，由赋值法即可求得函数在上的最大值.【详解】函数的定义域为，且，则；任取，且，则，故，令，，则，即，故函数在上单调递增，故，令，，故，故函数在上的最大值为4.故选：A.【点睛】本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.2．D【解析】

当时，函数周期为，画出函数图像，如图所示，方程两个不同实根，即函数和有图像两个交点，计算，，根据图像得到答案.【详解】当时，，故函数周期为，画出函数图像，如图所示：方程，即，即函数和有两个交点.，，故，，，，.根据图像知：.故选：.【点睛】本题考查了函数的零点问题，确定函数周期画出函数图像是解题的关键.3．D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交运算求解即可.【详解】由题意知,集合,,由集合的交运算可得,.故选:D【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交运算;考查运算求解能力;属于基础题.4．D【解析】

构造函数，，利用导数分析出这两个函数在区间上均为减函数，由得出，分、、三种情况讨论，利用放缩法结合函数的单调性推导出或，再利用余弦函数的单调性可得出结论.【详解】构造函数，，则，，所以，函数、在区间上均为减函数，当时，则，；当时，，.由得.①若，则，即，不合乎题意；②若，则，则，此时，，由于函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，则，；③若，则，则，此时，由于函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，则，.综上所述，.故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.5．B【解析】

将人脸识别方向的人数分成：有人、有人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.【详解】当人脸识别方向有2人时，有种，当人脸识别方向有1人时，有种，∴共有360种.故选：B【点睛】本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.6．A【解析】

设所求切线的方程为，联立，消去得出关于的方程，可得出，求出的值，进而求得切点的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为，则，联立，消去得①，由，解得，方程①为，解得，则点，所以，阴影部分区域的面积为，矩形的面积为，因此，所求概率为.故选：A.【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.7．D【解析】

根据已知条件和等比数列的通项公式，求出关系，即可求解.【详解】，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等比数列通项公式，注意为正整数，如用基本不等式要注意能否取到等号，属于基础题.8．D【解析】

原问题转化为有四个不同的实根，换元处理令t，对g（t）进行零点个数讨论.【详解】由题意，a＞2，令t，则f（x）＝a⇔⇔⇔⇔．记g（t）．当t＜2时，g（t）＝2ln（﹣t）（t）单调递减，且g（﹣2）＝2，又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有两个不等于2的不等根．则⇔，记h（t）（t＞2且t≠2），则h′（t）．令φ（t），则φ′（t）2．∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，则h（t）在（2，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减．由，可得，即a＜2．∴实数a的取值范围是（2，2）．故选：D．【点睛】此题考查方程的根与函数零点问题，关键在于等价转化，将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.9．A【解析】

由复数的运算法则计算．【详解】因为，所以故选：A．【点睛】本题考查复数的运算．属于简单题．10．B【解析】

化简复数，由它是纯虚数，求得，从而确定对应的点的坐标．【详解】是纯虚数，则，，，对应点为，在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．11．A【解析】

设，直线的方程为，联立方程得到，，根据向量关系化简到，得到离心率.【详解】设，直线的方程为.联立整理得，则.因为，所以为线段的中点，所以，，整理得，故该双曲线的离心率.故选：.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.12．C【解析】

先化简N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M＝{x|﹣1＜x＜2}，求两集合的交集.【详解】因为N＝{x|x（x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，又因为M＝{x|﹣1＜x＜2}，所以M∩N＝{x|﹣1＜x≤0}.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

设，，，由，用面积公式表示面积可得到，利用，即得解.【详解】设，，，由得：，化简得，由于，故.故答案为：【点睛】本题考查了解三角形综合，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算能力，属于中档题.14．【解析】

计算出，两个复数相等，实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解.【详解】，所以，所以.故答案为：-8【点睛】此题考查复数的基本运算和概念辨析，需要熟练掌握复数的运算法则.15．【解析】

根据个全等的三角形，得到，设，求得，利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式，求得三角形的面积.【详解】由于三角形是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，所以.在三角形中，.设，则.由余弦定理得，解得.所以三角形边长为，面积为.故答案为：【点睛】本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．(或写成)【解析】试题分析：设，取中点则,因此,所以，因为在单调递增，最大值为所以单调增区间是，最大值为考点：函数最值，函数单调区间三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】

（1）由于函数，得出，分类讨论当和时，的正负，进而得出的单调性；（2）求出，令，得，设，通过导函数，可得出在上的单调性和值域，再分类讨论和时，的单调性，再结合，恒成立，即可求出的取值范围.【详解】解：（1）因为，所以，①当时，，在上单调递减.②当时，令，则；令，则，所以在单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）因为，可知，，令，得.设，则.当时，，在上单调递增，所以在上的值域是，即.当时，没有实根，且，在上单调递减，，符合题意.当时，，所以有唯一实根，当时，，在上单调递增，，不符合题意.综上，，即的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和根据恒成立问题求参数范围，还运用了构造函数法，还考查分类讨论思想和计算能力，属于难题.18．（1）（2）【解析】

（1）根据共线得到，利用正弦定理化简得到答案.（2）根据余弦定理得到，，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】（1）∵与共线，∴.即，∴即，∵，∴，∵，∴.（2），，，在中，由余弦定理得：，∴.则或（舍去）.∴，∵∴.在中，由余弦定理得：，∴.【点睛】本题考查了向量共线，正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力.19．（I）．（II）【解析】

（I）写出坐标，利用直线与直线垂直，得到.求出点的坐标代入，可得到的一个关系式，由此求得和的值，进而求得椭圆方程.（II）设出点的坐标，由此写出直线的方程，从而求得点的坐标，代入，化简可求得点的坐标.【详解】（I）∵椭圆的左焦点，上顶点，直线AF与直线垂直∴直线AF的斜率，即①又点A是线段BF的中点∴点的坐标为又点在直线上∴②∴由①②得：∴∴椭圆的方程为．（II）设由（I）易得顶点M、N的坐标为∴直线MP的方程是：由得：又点P在椭圆上，故∴∴∴或（舍）∴∴点P的坐标为【点睛】本小题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查两直线垂直的条件，考查向量数量积的运算.属于中档题.在解题过程中，首先阅读清楚题意，题目所叙述的坐标、所叙述的直线是怎么得到的，向量的数量积对应的坐标都有哪一些，应该怎么得到，这些在读题的时候需要分析清楚.20．（1）1；（2）5.【解析】

（1）由同角三角函数关系求得，再由两角差的正弦公式求得，最后由正弦定理构建方程，求得答案.（2）在中，由正弦定理构建方程求得AB，再由任意三角形的面积公式构建方程求得BC，最后由余弦定理构建方程求得AC.【详解】（1）据题意，，且，所以.所以.在中，据正弦定理可知，，所以.（2）在中，据正弦定理可知，所以.因为的面积为14，所以，即，得.在中，据余弦定理可知，，所以.【点睛】本题考查由正弦定理与余弦定理解三角形，还考查了由同角三角函数关系和两角差的正弦公式化简求值，属于简单