增分点3简化解析几何运算的5个技巧

增分点 简化解析几何运算的 5个技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．巧用定义，揭示本质定义是导出其性质的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量简化，使解题构筑在较高的水平上．2[典例]如图，F1，F2是椭圆C1：x＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，4C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.2B.336C.2D.2[方法演示]解析：由已知，得 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，设双曲线 C2的实半轴长为 a，由椭圆及双曲线的定义和已知，|AF1|＋|AF2|＝4，可得|AF2|－|AF1|＝2a，解得a2＝2，22|AF1|＋|AF2|＝12，6故a＝2.所以双曲线C2的离心率e＝2＝2.答案：D[解题师说]本题巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立 |AF1|，|AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长 a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[应用体验]1．抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则|PF||PA|的最小值为________．解析：设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|＝xP＋m，又|PA|2＝(xP＋m)222|PF|2xP＋m2111＋yP＝(xP＋m)＋4mxP，则|PA|＝P＋m2＋4mx＝4mxP≥4mxP＝(当且x1＋xP＋m21＋2xP·m2仅当xP＝m时取等号)，所以|PF|≥2，所以|PF|的最小值为2.|PA|2|PA|2答案：22设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用“代点法”求解．22[典例]已知椭圆x2y2baB两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的标准方程为()x2y2x2y2A.45＋36＝1B.36＋27＝122D.x22x＋y＝1＋y＝1C.2718189[方法演示]解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，22x1y1a2＋b2＝1，①x22y22②a2＋b2＝1，x1＋x2x1－x2y1＋y2y1－y2＝0，①－②得2＋2aby1－y222所以kAB＝bx1＋x2bx1－x2＝－a2y1＋y2＝a2.20＋1 1 b 1又kAB＝3－1＝2，所以a2＝2.2 2 2又9＝c＝a－b，2 2x y所以椭圆 E的方程为 ＋ ＝1.答案：D[解题师说]本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．[应用体验]122xy2．过点M(1,1)作斜率为－2的直线与椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．22x1y1解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则a2＋b2＝1，22x2y2a2＋2＝1，b∴x1－x2x1＋x2y1－y2y1＋y2＝0，a2＋b2y1－y22x1＋x2∴x－x＝－b2·＋y.2a211∵y1－y2＝－1，x＋x＝2，y＋y＝2，x∴－b21222＝－，∴a＝2b.a2又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴c＝2.a22即椭圆C的离心率 e＝2.答案：

22巧用“根与系数的关系 ”，化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．x22[典例]已知椭圆4＋y＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM，AN交椭圆于M，N两点．当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点；若不过定点，请说明理由．[方法演示]解：(1)直线AM的斜率为 1时，直线 AM的方程为 y＝x＋2，代入椭圆方程并化简得5x2＋16x＋12＝0.解得x1＝－2，x2＝－6，所以M－6455，5.设直线AM的斜率为k，直线AM的方程为y＝k(x＋2)，y＝kx＋2，联立方程 x24＋y2＝1，化简得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0.16k2则xA＋xM＝1＋4k2，16k2216k22xM＝－x－22－8k2A1＋4k＝2－1＋4k＝1＋4k.2k2－8同理，可得xN＝k2＋4.由(1)知若存在定点，则此点必为P－6，0.5证明如下：2－8k2因为kMP＝yMk1＋4k2＋25k6＝2－8k26＝－2，xM＋52＋44k1＋4k5同理可计算得kPN＝5k2.4－4k所以直线MN过x轴上的一定点P－6，0.5[解题师说]2－8k2本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出xM＝1＋4k2，这体现了整体思路．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[应用体验]．已知椭圆：x2y2＞＞0)的离心率为1，且经过点P1，3，左、右焦点分3Cab1(ab22别为F1，F2.(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为32，求以7F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．c 1 2 2 2 2解：(1)由＝，得a＝2c，所以a＝4c，b＝3c，将点P1，3的坐标代入椭圆方程得c2＝1，2故所求椭圆方程为x2＋y2＝1.3由(1)可知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，代入椭圆方程，整理得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，显然判别式大于0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△AF2B的内切圆半径为r0，则有y1＋y2＝6t2，y1y2＝－92，r0＝32，4＋3t4＋3t7所以S△AF2B＝S△AF1F2＋S△BF1F2＝12|F1F2|·|y1－y2|＝12|F1F2|·y1＋y22－4y1y2＝12t2＋14＋3t2.111|AF2|r0而S△AF2B＝|AB|r0＋|BF2|r0＋22212r0(|AB|＋|BF2|＋|AF2|)12r0(|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|)1132122，＝r0·4a＝×8×＝7227212 t＋1 12 2 2所以 4＋3t2＝7，解得t＝1，2因为所求圆与直线 l相切，所以半径 r＝ ＝ 2，2t＋1所以所求圆的方程为 (x－1)2＋y2＝2.借“曲线系”，理清规律利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中重要的解题方法和技巧之一．[典例]x2y2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点已知双曲线a2－b2在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为()22B.x22x－y＝1－y＝1A.361089272222x－y＝1D.x－y＝1C.10836279[方法演示]22解析：由双曲线xy＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，可设双曲线的方a2－b2程为x2－y2＝λ(λ＞0)．322xy2因为双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线y＝24x的准线上，所以F(－6,0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，22所以双曲线的方程为x－y＝1.927答案：B[解题师说]本题利用了共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决．避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍．[应用体验]4．圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为()22A．x＋y－x＋7y－32＝0B．x2＋y2－x＋7y－16＝0C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0解析：选A设经过两圆的交点的圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，即x2＋y2＋6x＋λy－4＋28λ6＝0，1＋λ1＋λ1＋λ其圆心坐标为－3，－3λ1＋λ1＋λ，又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－3＋3λ－4＝0，1＋λ1＋λ解得λ＝－7，故所求圆的方程为

x2＋y2－x＋7y－32＝0.巧引参数，方便运算换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．x2y2[典例]设椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞3.[方法演示]证明：法一：依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．y0＝kx0，22由条件，得x0y0a2＋b2＝1，2 2ab消去y0并整理，得x0＝k2a2＋b2.①由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，2222，得(x0＋a)＋kx0＝a整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0.－2a而x0≠0，于是x0＝1＋k2，代入①，整理得 (1＋k2)2＝4k2ab2＋4.又a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4，即k2＋1＞4，因此k2＞3，所以|k|＞3.法二：依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．由点P在椭圆上，得x02k2x02a2＋b2＝1.222x0kx0因为a＞b＞0，kx0≠0，所以a2＋a2＜1，即(1＋k2)x20＜a2.②由|AP|＝|OA|及A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2，22－2a，整理得(1＋k)x0＋2ax0＝0，于是x0＝21＋k代入②，得(1＋k2)·4a222＜a2，1＋k解得k2＞3，所以|k|＞ 3.法三：设P(acosθ，bsinθ)(0≤θ＜2π)，则线段OP的中点Q的坐标为acosθ，bsinθ.22|AP|＝|OA|?AQ⊥OP?kAQ×k＝－1.又A(－a,0)，所以k＝bsinθ，AQ2a＋acosθ即bsinθ－akAQcosθ＝2akAQ.从而可得|2akAQ|≤b2＋a2kAQ2＜a1＋kAQ2，解得|kAQ|＜3，故|k|＝1＞3.3|kAQ|[解题师说]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量．[应用体验]x2y2F1，F2，且离心率为1，5．(2018长·春质检)椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为2ab点P为椭圆上一动点，△F1PF2面积的最大值为3.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连接A1A，A1B并延长分别交直线x＝4于R，Q两点，问―→―→RF2·QF2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．解：(1)已知椭圆的离心率为1，不妨设c＝t，a＝2t，2则b＝3t，其中t＞0，当△F1PF2面积取最大值时，点P为短轴端点，因此1·2t·3t＝3，解得t＝1，2则椭圆的方程为x2＋y2＝1.3由(1)可知F2(1,0)，A1(－2,0)．设直线AB的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，x＝my＋1，联立x2y2可得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，＋＝1，436m则y1＋y2＝2，①4＋3m9y1y2＝4＋3m2，②直线AA1的方程为y＝y1(x＋2)，x1＋2直线BA1的方程为y＝y2(x＋2)，x2＋2则R4，6y1，Q，6y2，x1＋24x2＋2―→6y1―→6y2，F2R＝3，2，F2Q＝3，x2＋2x1＋―→―→6y16y2＝6y1·6y2＋9＝36y1y2＋9，则F2R·F2Q＝9＋x1＋·22x2＋2my1＋3my2＋3my1y2＋3my1＋y2＋9―→―→将①②两式代入上式，整理得 F2R·F2Q＝0，―→―→即F2R·F2Q为定值0.1．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为()32A.3B.32C.2D．1解析：选C如图所示，设P(x0，y0)(y0＞0)，则y20＝2px0，2y0即x0＝2p.―→ ―→设M(x′，y′)，由PM＝2MF，p得x′－x0＝22－x′，y′－y0＝20－y′，x′＝p＋x0，3化简可得y0y′＝3.y0∴直线OM的斜率为k＝3y0＝2p≤2p＝2＝2p时取等＝22p＋x0p＋y02p＋y022p22(当且仅当y032py0号)．2．设双曲线x2＋y2＝1的一条渐近线为y＝－2x，且一个焦点与抛物线y＝1x2的焦点相ab4同，则此双曲线的方程为()522252A.x－5y＝1B．5y－x＝144y＝－2x，C．5x2－5y2＝1D.5y2－5x2＝1442解析：选D 因为x＝4y的焦点为(0,1)，因为双曲线的一条渐近线为所以设双曲线的方程为y2－4x2＝λ(λ＞0)，即y2x2λ4－＝1，则λ＋＝1，λ＝，λλ454所以双曲线的方程为5y2－5x2＝1.422x2y2F1(－c，0)，F2(c,0)，P为双3．已知双曲线a－b＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为―→―→3212，则该双曲线的离心率的取曲线上任一点，且PF1·PF2最小值的取值范围是－c，－c42值范围为()A．(1，2]B．[2，2]C．(0，2]D．[2，＋∞)解析：选B 设P(x0，y0)，―→―→则PF1·PF2＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝x2－c2＋y2＝a21＋y20－c2＋y2，0 0 2 0b上式当y0＝0时取得最小值a2－c2，根据已知－3c2≤a2－c2≤－1c2，422所以1c2≤a2≤1c2，即2≤c2≤4，即2≤c≤2，42aa所以所求离心率的取值范围是[2，2]．24的直线交抛物线于―→＝4．过抛物线y＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为3A，B两点，若AF―→)λFB(λ＞1)，则λ的值为(A．5B．445C.3D.2解析：选B根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，―→―→pp，由AF＝λFB，得－x1，－y1＝λx2－，y222故－y＝λy，即λ＝－y1.12y2设直线AB的方程为y＝4p，3x－2联立直线与抛物线方程，消去232＝0.x，得y－py－p2故y1＋y2＝32p，y1y2＝－p2，2则y1＋y2＝y1＋y2＋2＝－9，y1y2 y2 y1 4即－λ－1＋2＝－9.λ 4又λ＞1，解得λ＝4.5．设直线l与抛物线 y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点 M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A．(1,3)B．(1,4)C．(2,3)D．(2,4)2222解析：选D设Ay1，y1，By2，y2，My1＋y2，y1＋y2，C(5,0)为圆心，当y1≠－y24482时，kAB＝＋y＋y4，kCM＝42y122，由kAB·kCM＝－1?y12＋y22＝24，所以M3，y12，又r2y1＋y2y1＋y2－4022y1＋y221222222224t＋(2r2＝|CM|＝4＋＝10＋y1y2，所以(2r－20)＝y1y2，所以y1，y2是方程t－22－20)2＝0的两个不同的正根，由＞0得2＜r＜4.所以r的取值范围是(2,4)．6．中心为原点，一个焦点为F(0,52)的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标1为2，则该椭圆方程为()2x2＋2y2＝1B.x2＋y2＝1A.75257525x2y22x22y2C.25＋75＝1D.25＋75＝1解析：选C由已知得c＝52，2y设椭圆的方程为a2－50＋a2＝1，x2y22＋2＝1，联立a－50ay＝3x－2，222222－50)＝0，设直线y＝3x－2与消去y得(10a－450)x－12(a－50)x＋4(a－50)－a(a椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，x1＋x2＝12a2－50由根与系数关系得10a2－450，由题意知x＋x＝1，即12a2－50210a2－450＝1，解得a＝75，12所以该椭圆方程为y2＋x2＝1.752527．已知双曲线C：x－y2＝1，点M的坐标为(0,1)．设P是双曲线C上的点，Q是点P2关于原点的对称点．记―→―→λ＝MP·MQ，则λ的取值范围是________．解析：设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，λ＝―→―→＝(x，y－1)·(－x，－y－1)＝－x2－y2＋1＝－32＋2.0000002x0MQ因为|x0|≥ 2，所以λ≤－1，所以λ的取值范围是 (－∞，－1]．答案：(－∞，－1]2 28．已知AB为圆x＋y＝1的一条直径，点P为直线的最小值为________．解析：由题意，设 A(cosθ，sinθ)，P(x，x＋2)，则B(－cosθ，－sinθ)，―→∴PA＝(cosθ－x，sinθ－x－2)，―→PB＝(－cosθ－x，－sinθ－x－2)，

―→―→x－y＋2＝0上任意一点，则PA·PB―→―→∴PA·PB＝(cosθ－x)(－cosθ－x)＋(sinθ－x－2)·(－sinθ－x－2)2 2 2 2＝x＋(x＋2)－cosθ－sinθ＝2x2＋4x＋32(x＋1)2＋1，当且仅当x＝－1，即P(－―→―→1，1)时，PA·PB取最小值1.答案：1x＝2pt2，A作l9．设抛物线(t为参数，p＞0)的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点y＝2pt的垂线，垂足为B.设C7，AF与BC相交于点E.若|CF|＝2|AF|，且△ACE的面积为2p，032，则p的值为________．2解析：由x＝2pt，2y＝2pt(p＞0)消去t可得抛物线方程为y＝2px(p＞p，|AB|＝130)，∴F，0|AF|＝|CF|＝p，可得A(p，2p)．222易知△AEB∽△FEC，|AE|＝|AB|＝1，|FE||FC|2故S△ACE＝1△ACF＝1×3p×2p×1＝22＝32，3S322p2∴p＝6.∵p＞0，∴p＝ 6.62210．已知离心率为的椭圆xyF，过F且与x轴垂直的32＋2＝1(a＞b＞0)的一个焦点为ab3直线与椭圆交于A，B两点，|AB|＝3.求此椭圆的方程；已知直线y＝kx＋2与椭圆交于C，D两点，若以线段CD为直径的圆过点E(－1,0)，求k的值．c6222解：(1)设焦距为2c，∵e＝a＝3，a＝b＋c，∴b＝323，b＝a3.由题意可知a3b＝1，a＝3，∴椭圆的方程为 x2＋y2＝1.3将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以222＞1.＝(12k)－36(1＋3k)＞0，解得k设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x＋x＝－12k2，x1x2＝92121＋3k1＋3k.若以CD为直径的圆过E点，―→―→则EC·ED＝0，即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，所以(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝9k2＋112k2k＋1＋5＝0，1＋3k2－1＋3k27 2解得k＝，满足k＞1.x2 y211.平面直角坐标系 xOy中，椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率是 3，抛物线 E：x2＝2y的焦点F是C的一个顶点．2求椭圆C的方程；(2)设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线 l与C交于不同的两点 A，B，线段AB的中点为D.