数值分析第5章习题答案

5答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现ak0时主元素ak0A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。n||x||1|xi ||x||(x2 ||x||max|xi||A||A||A从定义可知||A||1更容易计算答：设A为非奇异阵，称数cond(A)v （v1,2,）为矩阵A的条件 当 注：矩阵的条件数小说明A答：错误，主元位置可能为0，导致无法计算结果。答：错误， （8）如果矩阵对称，则||A||1||A||。答：错误，不选主元时，可能除数为0。||A||1=||AT||∞。Anncond(A)condA1答：正确。Ann的非奇异矩阵，则Acond(A)Acond(A1)(AA aT1、设A是对称阵且 0，经过高斯消去法一步后，A约化为 1，证明A是 A 2 a1n a设对称矩阵A n2，则经过1次高斯校区法后， ... nn a 12A(1) 1n 1na 12 a2212 an212a1n 1n 1na n 1n 所以aT a a12 a12a n 1n 2 a 1n A(a(2) 证明：（1）A的对角元素aii (i1, （1）依次取x(0,0,,0,1,0,,0)T i1,2,,n，则因为A是对称正定矩阵 所以有aiixTAx0（2）A中的元素满足a(2)aai1a1j (i,j2,3,,n)，又因为A是对称正 矩阵，满足aa i,j1,2,,n，所以a(2)aai1a1jaa1iaj1a(2) 即A2是对称矩， Lk k 求证当ijkLkIijLkIijkIij为初等置换5、设Uxd，其中U计算解三角方程组Uxd如果A是对称正定矩阵，则A1也是对称正定矩xxx 并求出系数矩阵A 3A 1 15A|b 6 15A|b 6 15 6 5 3 31 6 31 6 5 31 7A的行列式为-1x1x1x4 5 61x1x1x3 4 51xx2x2 1 6 1A 5 2 L 1 6 13U 90 957 540 1 0 A 0b0 0 （1）计算i1c1/b11/22c2/(b2a21)1/(2(1)(0.5))2/3c3/(b3a32)1/(2(1)(2/3))3/4c4/(b4a43)1/(2(1)(3/4))4/解y1f1/b11/y2(f2a2y1)/(b2a21)(0(1)(1/2))/(2(1)(0.5))1/3y3(f3a3y2)/(b3a32)(0(1)(1/3))/(2(1)(2/3))1/4y4(f4a4y3)/(b4a43)(0(1)(1/4))/(2(1)(3/4))1/y5(f5a5y4)/(b5a54)(0(1)(1/5))/(2(1)(4/5))1/x5y51/x4y44x51/5(4/5)1/61/3x3y33x41/4(3/4)1/31/2x2y22x31/3(2/3)1/22/x1y11x22(1/2)2/35/ 1x1 3x5 2 31x3x10x7x23 1 3 111 1 A 41B 21C LUL矩阵（或即使矩阵不可逆，LUkk个顺序主子式不为零，那么它就可以进行LU分解，但反之则不然。A 行范数0.6+0.5=1.1（a）xx1nx1（b） A nxmaxxix1xinmaxxinx 1A2 i,jA2 (AT 14、设PRnn且非奇异，又设x为Rn上一向量范数，定义 Px。试证明 Rn上向量的一种范数。显然 Px0， PcxcPxc x P(xx)Px Px ，从而 是 2 1 2 15、设ARnn为对称正定1 (Ax,x)2A试证明 是Rn上向量的一种范数A1显然 (Ax,x)2 xTAx (Acx,cx)2 c2(xTAx)c(Ax,x)2c 1x (A(xx),(xx))2 (xx)TA(xx 2 xTAx xTAx 1 2 因为A1 A1x yA1x0 minAy ，证明当 时，cond(A)有最小值 1 cond(A) 1 A1xyA1xy A1 A |3| |3 |3|2， 1 | | ， 从而cond(A) (12)max3, 23 12max3,232)27 23 12)max3,212)3367 7时最小，这时2，即2 18、设A 98，计算A的条件数cond(A) (v2, 由A (A1)T(A1) 99 100 由I(A1)T(A1)19405 23920610 ATA 19602 由IATA 23920610 可得 19603 ，从 condA)2 19603 39206 199， 199，从而cond( 19919939601 19A是正交矩阵，则cond(A)2若A是正交阵，则A1AT，从而ATAI(A1)TA1AA1I，故 1condA) 1 cond(AB)cond(AB)(AB)1ABB1A1ABB1A1AABB