连续线性二次型最优控制的MATLAB实现

•fft•fftt(t),t连续线性二次最优控的现论最优控制问题就是在一切可能的控制方案中寻找一个控制系统的最优控制方案或最优控制规律，使系统能最优地达到预期的目标。随着航海、航天、导航和控制技术不断深入研究，系统的最优化问题已成为一个重要的问题。本文介绍了最优控制的基本原理给定了一个具体的连续线性二次型控制系统，利用MATLAB软件对其最优控制矩阵进行了求解，通过仿真实验，设计得到最优控制效果比较好，达到了设计的目的。2.1最优控制问题设系统状态方程为：x(t)(t),t)

（2—1）式中x(t)是n维状态向量u(t)是r控制向量n维向量函数

f(tt

是x(t)、u(t)和t的连续函数，且x(t)与t连续可微u(t)。所谓最优控制问题是要寻求最优控制函数得系统状态从已知初态转移到要求的终态()，在满足如下约束条件下：f（1）控制与状态的不等式约束

u(tt

（2—2）（2）终端状态的等式约束tf

（2—3）使性能指标Jtf

t0

Ftt

（2—4）达到极值。式中

(t

是m维连续可微的向量函数m；

Mtf

f

是s连续可微的向量函数，ff和

都是x(t)t连续可tfttftttftfttfttfTtTttfttftttftfttfttfTtTt微向量函数。2.2最控制的性能指标自动控制的性能指标是衡量系统性能好坏的尺度内容与形式取决于最优控制所要完成的任务，不同的控制问题应取不同的性能指标，其基本类型如下：（1）积分型性能指标

u(t),t

（2—5）表示在整个控制过程中，状态x(t)控制u(t)应达到某些要求。例如：①最小时间控制取

Fu(t

=1则

dt

（2—6）②最小燃料消耗控制取

ut),t则

t

（2—7）③最小能量控制取

Fu),

(t)则

t

（2—8）④无限时间线性调节器取且F(x,ut)

()Qx(t)

u

T

(t)(

其中Q，，均为加权矩阵，则

()Qxt)T

(t)t)dt

（2—9）⑤无限时间线性跟踪器1J2

0

)Ru(t

（2—）其中，y(t)是系统输出向量，z(t)是系统希望输出向量。在性能指标式（2—89）中，被积函数都是x(t)、y(t)-z(t)tffft•tffft•或u(t)的平方项组成，这种能指标的形式叫做二次型性能指标。（2）末值型性能指标

（2—）表示系统在控制过程结束后要求系统的终端状态x()应达到某些要求在实际f工程中例如要求导弹的脱靶量最小机床移动的准确停止等中断时刻可以固定，也可以自由，视最优控制问题的性质而定。（3）复合型性能指标Jtut),t0

（2—12）表示对控制过程及控制过程结束后的终端状态均有要求是最一般的性能指标形式。2.3最优控制问题的求解方法解析法。当性能指标与约束条件为显式解析表达式是，适用解析法。通常是用求导方法或变分方法求出最优控制的必要条件而得到一组方程式或不等式，然后求解这组方程或不等式，最后得到最优控制的解析解。数值计算法。当性能指标比较复杂或不能用变量的显函数表示时，可以采用试探法，即直接搜索逐步逼近，经过若干次迭代，逐步逼近到最优点。（3）梯度法。这是一种解析和数值计算相结合的方法。2.4线性二次型最优控制对于性能指标是二次型函数的线性系统叫做线性二次型最优控制性二次型最优控制方法的对象是以状态空间表达时给出的线性系统性能指标是对象状态和控制输入的二次型函数二次型问题就是在线性系统的约束条件下选择控制输入使得二次型目标函数达到最小文主要介绍连续系统线性二次型最优控制。设线性连续订场系统的状态方程为：x(t)Axt)t),

（2—）式中，x(t)是n维状态向量；u(t)r维控制向量，且不受约束；为n×n维常数矩阵，B为n×r维常数矩阵。tf•tf••系统的性能指标为：

TQxTt

（2—14）式中端时间无限为n×n维数矩阵为r×r常数矩阵若下列条件之一满足：

T

。（10,QQ

T

阵对A，B}完全可控；（2T,阵对{A，B}完全可控，阵对{A，D}完全可观DDT，D为任意矩阵，则有最优反馈矩阵：K

B

T

P

（2—15）和唯一的最优控制：u*()tTPxt

（2—16）以及最优性能指标：*

T(0)Px(0)

（2—17）式中，P是常值正定矩阵，它是以下里卡提代数方程的唯一解：PAATPBRTPQ闭环系统：

（2—18）x(t)ABRT(t(0)x是渐近稳定的，其解为最优轨线*(t)。2.5连续系统线性二次型最优控制实例已知系统动态方程：

（2—19）

01

0

x00y0系统结构如图21所示。(())图2—1系统结构图由结构图有系统的控制信号：krxkxrkkxkrKx2231112231式中反馈增益矩阵K:K1k2k系统性能指标：J

xQxdt0其Q

，阵K是J最小并对其闭环系统进行单位阶跃给定响应的仿真。下面是该题目的MATLAB程序及运行结果：>>a=[010;001;-6-11-6];b=[0;0;1];>>c=[100];d=[0];Q=[100000;010;001];R=[1];>>K=lqr(a,b,Q,R)K=26.187012.61891.8891>>k1=K(1);ac=a-b*K;bc=b*k1bc=0026.1870>>cc=c;dc=d;>>step(ac,bc,cc,dc)得到闭环系统单位阶跃给定响应的仿真曲线如图—2所示。图2—2闭环系统单位阶跃给定响应曲线经状态最优反馈后环系统单位阶跃给定响应曲线略微超调后立即单调衰减，这样的仿真曲线是很理想的，确实反映了最优控制的效果。若本题要求采用输出反馈，即u(t)()使性能指标为：J

0

yT

T

t其中计算最优反馈矩阵

K

0Q10Rk其闭环系统进行单位阶跃给定响应的仿真。此时该题目的MATLAB程序及运行结果：>>a=[010;001;-6-11-6];b=[0;0;1];>>c=[100];d=[0];Q=diag([1000]);R=[1];>>K=lqry(a,b,c,d,Q,R)K=26.187012.48781.8087>>k1=K(1);ac=a-b*K;bc=b*k1;>>cc=c;dc=d;>>step(ac,bc,cc,dc)得到闭环系统单位阶跃给定响应的仿真曲线如图—3所示。图2—3闭环系统单位阶跃给定响应曲线对比图2—2和图2—3