中考数学频考点突破-锐角三角函数

中考数学频考点突破--锐角三角函数1．教育部颁布的《基础教育课程改革纲要》要求每位学生每学年都要参加社会实践活动，某学校组织了一次测量探究活动，如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：3，AB=10米，AE=21米（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，sin53°≈4（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）若市政规定广告牌的高度不得大于7米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明理由.2．如图，AD是△ABC的中线，tanB=13，cosC=22，AC=（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值．3．如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．以轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．（参考数据：2≈1.4，3≈1.7）4．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，∠P=∠B．（1）求∠P的度数；（2）连接PB，若⊙O的半径为a，写出求△PBC面积的思路．5．如图，是住宅区内的两幢楼，它们的高AB=CD=30m，两楼间的距离AC=30m，现需了解甲楼对乙楼的采光的影响情况．（1）当太阳光与水平线的夹角为30°角时，求甲楼的影子在乙楼上有多高（答案可用根号表示）；（2）若要甲楼的影子刚好不落在乙楼的墙上，此时太阳与水平线的夹角为多少度？6．化简：（1）9﹣（12）0（2）x+1x−1﹣x7．如图，我市某中学在创建“特色校园”的活动中，将奉校的办学理念做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿坡面AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：3，AB=10米，AE=15米．（i=1：3是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平而AE的高度BH；（2）求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732）8．如图，AB为⊙O直径，D为⊙O上一点，BC⊥CD于点C，交⊙O于点E，CD与BA的延长线交于点F，BD平分∠ABC.（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB=10，CE=1，求CD和DF的长.9．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E.（1）求证：∠DAC=∠DCE；（2）若AB=2，sin∠D=1310．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73，（2）已知本路段对校车限速为40千米／小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速?说明理由．11．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，OP交AB于点C，OP=13，sin∠APC=513（1）求⊙O的半径；（2）求弦AB的长．12．根据题意解答（1）计算：|﹣2|+（π﹣3）0+（12）﹣1（2）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是﹣2，求方程的另一个根．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点O在AB上，BC＝CD，过点C作⊙O的切线，分别交AB，AD的延长线于点E，F.（1）求证：AF⊥EF；（2）若cos∠DAB＝34，BE＝1，则线段AD的长是14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，sinA=3（1）求AB的长;（2）若点E在Rt△ABC的直角边上，点F在斜边AB上，当△CFE∽△ABC时，求CE的长.15．如图海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁，海轮以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东58°方向上，航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东26°方向上．（1）求灯塔P到点B的距离；（2）如果海轮不改变航线由B继续向东航行，通过计算估计海轮有没有触礁的危险？16．“低碳环保，你我同行”．近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便．图①是公共自行车的实物图，图②是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD=30cm，DF=20cm，AF=25cm，FD⊥AE于点D，座杆CE=15cm，且∠EAB=75°．（1）求AD的长；（2）求点E到AB的距离．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）

答案解析部分1．【答案】（1）解：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE于H，Rt△ABH中，i=tan∴∠BAH=30°，∴BH=1∴点B距水平地面AE的距离为5米.（2）解：由（1）得：BH=5，AH=53∵BG⊥DE于G，BH⊥AE于H，∠AED＝90°，∴四边形BHEG是矩形，∴BG＝HE即BG=AH+AE=53在Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=53在Rt△ADE中，∠DAE=53°，AE=21，∴DE=AEtan∴CD=CG+GE−DE=26+53答：广告牌CD高符合要求.【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE于H，根据坡度可得∠BAH=30°，然后根据含30°角的直角三角形的性质就可得到BH；

（2）由（1）得BH=5，AH=532．【答案】（1）解：过点A作AE⊥BC于点E，∵cosC=22∴∠C=45°，在Rt△ACE中，CE=AC•cosC=1，∴AE=CE=1，在Rt△ABE中，tanB=13，即AEBE=∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4（2）解：∵AD是△ABC的中线，∴CD=12∴DE=CD﹣CE=1，∵AE⊥BC，DE=AE，∴∠ADC=45°，∴sin∠ADC=22【知识点】解直角三角形【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，根据cosC=22，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根据tanB=13．【答案】（1）解：延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，如图所示．∵∠BEC=∠AFC=90°，∠EBC=60°，∠CAF=30°，∴∠ECB=30°，∠ACF=60°，∴∠BCA=90°，∵BC=12，AB=36×4060=24，∴AB=2BC，∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，∵∠ABC=∠BDC+∠BCD=60°，∴∠BDC=∠BCD=30°，∴BD=BC=12，∴时间t=1236=13（2）∵BD=BC，BE⊥CD，∴DE=EC，在Rt△BEC中，∵BC=12，∠BCE=30°，∴BE=6，EC=63≈10.2，∴CD=20.4，∵20＜20.4＜21.5，∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题【解析】【分析】（1）延长AB交海岸线l于点D，过点B作BE⊥海岸线l于点E，过点A作AF⊥l于F，首先证明△ABC是直角三角形，再证明∠BAC=30°，再求出BD的长即可角问题．（2）求出CD的长度，和CN、CM比较即可解决问题．本题考查方向角、解直角三角形等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，由数量关系推出∠BAC=30°，属于中考常考题型．4．【答案】（1）解：∵PA切⊙O于点A，∴PA⊥AB，∴∠P+∠POA=90°．∵∠POA=∠B+∠OCB，∴∠P+∠B+∠OCB=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB．又∵∠P=∠B，∴∠P=∠B=∠OCB．∴∠P=30°；（2）解：∵在Rt△PAO中，∠APO=30°，OA=a，∴PA=3AO=∴△PBC面积是12PA×AB=12×3a×（a+a）=3【知识点】切线的性质；解直角三角形【解析】【分析】（1）根据切线的性质求出∠PAB=90°，求出∠P=∠B=∠OCB，即可得出答案；（2）解直角三角形求出AP，根据三角形面积公式求出即可．5．【答案】（1）解：如图，延长OB交DC于E，作EF⊥AB，交AB于F，在RtΔBEF中，∵EF=AC=30m，∠FEB=30∴BE=2BF设BF=x，则BE=2x，根据勾股定理知，BE∴(2x)2=x2+因此，EC=30−10（2）解：当甲幢楼的影子刚好落在点C处时，ΔABC为等腰三角形，因此，当太阳光与水平线夹角为45∘【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）如图所示作出辅助线，在RtΔBEF中运用勾股定理列出方程解答即可；（2）当甲幢楼的影子刚好落在点C处时，可得ΔABC为等腰三角形，从而得出太阳光与水平线夹角．6．【答案】（1）解：原式=3﹣1+2×1=3﹣1+1=3（2）解：原式=(x+1)2(x+1)(x−1)=x=3x+1【知识点】实数的运算；分式的加减法；0指数幂的运算性质；特殊角的三角函数值【解析】【分析】（1）由二次根式的化简、零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值，即可将原式化简，继而求得答案；（2）首先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可，注意运算结果需化为最简．7．【答案】（1）解：在Rt△ABH中，∵tan∠BAH=BHAH=i=13=∴∠BAH=30°，∴BH=AB．sin∠BAH=10．sin30°=10×12答：点B距水平面AE的高度BH是5米；（2）解：在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=53，在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAE即tan60°=DE15，∴DE=153如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，∴BF=AH+AE=53+15，DF=DE﹣EF=DE﹣BH=153﹣5，在Rt△BCF中，∠C=90°﹣∠CBF=90°﹣45°=45°，∴∠C=∠CBF=45°，∴CF=BF=53+15，∴CD=CF﹣DF=53+15﹣（153﹣5）=20﹣103≈20﹣10×1.732≈2.7（米），答：广告牌CD的高度约为2.7米．【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题【解析】【分析】（1）在Rt△ABH中，由tan∠BAH=BHAH=i=13=33．得到∠BAH=30°，于是得到结果BH=AB．sin∠BAH=10．sin30°=10×12=5；（2）在Rt△ABH中，AH=AB．cos∠BAH=10．cos30°=53，在Rt△ADE中，tan∠DAE=DEAE，即tan60°=DE15，得到DE=153，如图，过点B作BF⊥CE，垂足为F，求出BF=AH+AE=58．【答案】（1）证明：如图，连接OD，则OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD，∴∠ODB=∠CBD，∴OD//BC，∵BC⊥CD，∴OD⊥CD，又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：如图，连接OD，OE，DE，过点D作DG⊥OE于点G，∵AB=10，∴OD=OE=1∴∠ODE=∠OED，∵OD//BC，∴∠ODE=∠CED，∴∠OED=∠CED，∵DG⊥OE，BC⊥CD，∴CD=GD（角平分线的性质），在Rt△DEG和Rt△DEC中，GD=CDDE=DE∴Rt△DEG≅Rt△DEC(HL)，∴GE=CE=1，∴OG=OE−GE=4，在Rt△ODG中，GD=O∴CD=GD=3，由圆周角定理得：∠FOE=2∠ABC，即∠FOD+∠DOE=2∠ABC，∵OD//BC，∴∠FOD=∠ABC，∴∠FOD+∠DOE=2∠FOD，解得∠FOD=∠DOE，在Rt△ODG中，tan∠DOE=∴tan在Rt△DOF中，DF=OD⋅tan【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；角平分线的性质；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形【解析】【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可得∠ODB=∠CBD，可证OD//BC，利用平行线的性质可得OD⊥CD，根据切线的判定定理即证；

（2）连接OD，OE，DE，过点D作DG⊥OE于点G，先求出OD=OE=1Rt△DEG≅Rt△DEC(HL)，可得GE=CE=1，从而求出OG=OE−GE=4，在Rt△ODG中利用勾股定理求出GD=3，由角平分线的性质可得CD=GD=3，由圆周角定理及平行线的性质可求出∠FOD=∠DOE，从而可得tan∠FOD=tan∠DOE=9．【答案】（1）解：∵AD是圆O的切线，∴∠DAB=90°.∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°.∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，∴∠DAC=∠B.∵OC=OB，∴∠B=∠OCB.又∵∠DCE=∠OCB，∴∠DAC=∠DCE.（2）解：∵AB=2，∴AO=1.∵sin∠D=13，∴在Rt△DAO中，由勾股定理得AD=OD2−O∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，∴△DEC∽△DCA，∴DCAD=DE解得：DE=2，∴AE=AD﹣DE=2.【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；（2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=22，由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE=2，于是可求得AE=210．【答案】（1）解：由题意得，在Rt△ADC中，AD=CDtan30在Rt△BDC中，BD=CD∴AB=AD－BD=213（2）解：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），∵12.1米/秒=43.56千米/小时，∴该车速度为43.56千米/小时．∵43.56千米/小时大于40千米/小时，∴此校车在AB路段超速．【知识点】解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）分别再Rt△ADC和Rt△BDC中，利用正切函数，即可求出AD与BD的长，从而求出AB的长；

（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆车的速度，比较与40千米每小时的大小即可确定是否超速。11．【答案】（1）解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴∠OAP=90°，∵sin∠APC=OAOP=5∴OA=5，即所求半径为5（2）解：Rt△OAP中，AP=12，∵PA，PB是⊙O的两条切线，∴PA=PB，∠APO=∠BPO，∴PC⊥AB由S四边形OAPB=S△OAP+S△OBP，得12∴AB=2×5×1213=【知识点】切线的性质；解直角三角形【解析】【分析】（1）由题意可推出OA⊥AP，即可推出OA的长度，即半径的长度；（2）根据题意和（1）的结论，即可推出PA=PB，∠APO=∠BPO，AC=BC=1212．【答案】（1）解：原式=2+1+2﹣2×22=2+1+2﹣2，=3（2）解：将x=﹣2代入x2+（k+3）x+k=0中，4﹣2（k+3）+k=0，解得：k=﹣2．将k代入原方程得：x2+x﹣2=（x﹣1）（x+2）=0，解得：x1=﹣2，x2=1．∴方程的另一个根为1【知识点】实数的运算；0指数幂的运算性质；负整数指数幂的运算性质；一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系；特殊角的三角函数值【解析】【分析】（1）将|﹣2|=2、（π﹣3）0=1、（12）﹣1=2、cos45°=213．【答案】（1）证明：如图，连接OC∵CD＝BC∴CD＝BC∴∠1＝∠2∵OA＝OC∴∠2＝∠OCA∴∠1＝∠OCA∴OC∥AF∵EF为切线∴OC⊥EF∴AF⊥EF；（2）9【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的性质；锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：（2）∵OC∥AF∴∠COE＝∠DAB∴设OC＝r在Rt△OCE中，cos∠COE=OCOE，即解得r＝3∴AB=2OC=2r=6如图，连接BD∵AB为直径∴∠ADB=90°在Rt△ADB中，cos∠DAB=AD解得AD=故答案为：92【分析】（1）如图，连接OC，先根据圆周角定理得出∠1＝∠2，再根据等腰三角形的性质得出∠2＝∠OCA，从而可得∠1＝∠OCA，然后根据平行线的判定可得OC∥AF，最后根据圆的切线的性质得OC⊥EF，从而得到AF⊥EF；

（2）先利用OC∥AF得到∠COE＝∠DAB，在Rt△OCE中，设OC＝r，利用余弦的定义得到rr+1＝34，解得r＝3，如图，连接BD，根据圆周角定理得到14．【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35设BC=3x，AB=5x，则AC=A∵AC=8，∴4x=8，解得：x=2，∴AB=5x=5×2=10（2）解：分两种情况：①当点E在AB上时，△CFE∽△ABC，如图∴∠FE