初中中考专题-巧用反比例函数的对称性解题

巧用反比例函数的对称性反比例函数图象的对称性在解题时常荐会被忽略，但是事实上它的作用无处不在，而且它让我们感受到数形结合是多么的奇妙.一、求对称坐标例1（2009•乌鲁木齐）如图，正比例函数y=mx与反比例函数y=?（m、n是非零常数）的图象交于A、B两点.若点A的坐标为（1,2）,则点B的坐标是（ ）A、（-2,-4） B、（-2,-1）C、（-1,-2） D、（-4,-2）考点：反比例函数图象的对称性。分析：此题由题意可知A、B两点关于原点对称，则根据对称性即可得到B点坐标.解答：解：•・•正比例函数y=mx与反比例函数y亶的两交点A、B关于原点对称，・••点A（1,2）关于原点对称点的坐标为（-1,-2）.故选C.点评：本题考查了反比例函数图象的对称性.函数知识的考查是每年中考必考知识，解决这类题目关键是平时要多积累规律.练习1、（2009•贵阳）已知正比例函数y=2x与反比例函数y=-?的图象相交于A,B两点，若A点的坐标为（1,2）,则B点的坐标为（ ）A、（1,-2） B、（-1,2）C、（-1,-2） D、（2,1）考点：反比例函数图象的对称性。分析：解答这类题一般解这两个函数的解析式组成的方程组即可.解答：解：由已知可得产2,解这个方程组得，x:1,X2=-1,则得y:2,y2=-2,则这两个函数的交点为（1,2）,(-1,-2),则这两个函数的交点为（1,2）,(-1,-2),因为已知人点的坐标为（1,2）,故B点的坐标为（-1,-2）.故选C.练习2.（2006•威海）如图，过原点的一条直线与反比例函数y5（kW0）的图象分别交于A，B两点.若A点的坐标为（a,b）,则B点的坐标为（ ）A、（a,b）B、（b,a）C、（-b,-a） D、（-a,-b）考点：反比例函数图象的对称性。专题：计算题。分析：此题由题意可知A、B两点关于原点对称，则根据对称性即可得到B点坐标.解答：解：根据图象，A、B两点关于原点对称.A点的坐标为（a,b）,则B点坐标为（-a,-b）.故选D.点评：本题考查了反比例函数图象的对称性，解决这类题目的关键是掌握两点的对称中心为原点.6一k练习3、（2006•贵港）已知正比例函数y=kx的图象与反比例函数•产——的图象的一个交点坐标是（1,3）,则另一个交点的坐标是（）A、（-1,-3） B、（-3,-1）C、（-1,-2） D、（-2,-3）考点：反比例函数图象的对称性。分析：反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.解答：解：根据中心对称的性质可知另一个交点的坐标是（-1,-3）.故选A.点评：本题考查反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌握.变式1：（2006长春）如图，直线1与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转a度角（0°<@^45°）,与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD的形状一定是二.对称轴条数例2（2010•江西）如图，反比例函数与图象的对称轴的条数是（ ）A、0 B、1C、2 D、3考点：反比例函数图象的对称性。分析：任意一个反比例函数的图象都是轴对称图形，且对称轴有且只有两条.解答：解：沿直线y=x或y=-x折叠，直线两旁的部分都能够完全重合，所以对称轴有2条.故选C.点评：本题考查了反比例函数图象的对称性.沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形是轴对称图形，关键是找到相应的对称轴.练习1、反比例函数y=§（kW0）的图象双曲线是（ ）A、是轴对称图形，而不是中心对称图形 B、是中心对称图形，而不是轴对称图形C、既是轴对称图形，又是中心对称图形 D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形考点：反比例函数图象的对称性。分析：根据反比例函数y=E(kW0)的图象既是轴对称图形又是中心对称图形解答.解答：解：(1)当k〉0时，反比例函数y=E(kW0)的图象在一、三象限，其对称轴是直线丫=乂，对称中心是原点；(2)当k<0时，反比例函数y=-k(kW0)的图象在二、四象限，其对称轴是直线y二-x,对称中心是原点.故选C.练习2、反比例函数y二上的图象是轴对称图形，它的对称轴的表达式是( )xA、y=xB、y=-xC、y=x,y=-xD、无法确定考点：反比例函数图象的对称性；轴对称图形。分析：根据反比例函数图象为轴对称图形，并且有两条对称轴进行解答.解答：解：反比例函数的图象是双曲线，且其为轴对称图形，关于直线丫=乂和丫=-乂对称.故选C.点评：本题考查的是反比例函数图象的对称性，反比例函数图象是双曲线，图象关于直线y=x和y=-x对称.三、求代数式的值例3如果一个正比例函数与一个反比例函数y=6的图象交于A(X、y)，(元、y)X 112 2两点，那么(x2—\)(y2—yi)的值为方法一设正比例函数的解析式是y=kx,与反比例函数y=6联立方程，消去y得x至ijkx2—6=0由韦达定理，可知X]+X2=0,X]X2=k又乂/y2"2, .・・.(x2—\)(y2—y])=(x—x)(kx-kx)=k(x-x)2=kl(x+x)2一4xxTOC\o"1-5"\h\zL1 2 12」( 6\=k0-4—l -k)=24 .方法二反比例函数和正比例函数都关于原点成中心对称图形，所以，x1=-x2且，X=-y2・•.(x2-x1)(y2-y)=(x2+x2)(y2+y2)=4xy=24这两种解题方法中明显是第二种方法比较简单、快捷、明了，可见反比例函数图形的对称性不可忽视.反比例函数的对称有两种.一种是关于原点的中心对称，另一种是关于直线y=x的轴对称.其实在解题过程中恰当地运用这两种对称性会快捷得多，下面再看几个例子来体验一下.4练习1.如图，直线y=kx4>0)与双曲线y=y=-交于A(x,y),B(x,y)两x点，则2x1y2-7x2y1的值等于.练习2.(2008•临沂)如图，直线y=kx&>0)与双曲线y=2交于A,B两点，若A,Bx两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x/y2),则xjJxj］的值为( )A、-8 B、4C、-4 D、0考点：反比例函数图象的对称性。分析：根据直线丫=卜乂a>0)与双曲线y=|两交点A,B关于原点对称，求出y1=-y2,y2=-工，代入解析式即可解答.9解答：解：将y=化为xy=2,将A(x1,y1),B(x2,yj分别代入*丫=2,得xjjZ.x2y:2.因为y/口y2互为相反数，所以y1=_y2，y2=_y1.贝Ux1y2+x2yj-xy-x2y2=-(xy+x2y2)=-(2+2)=-4.故选C.点评：此题考查了反比例函数图象的对称性，同学们要熟记才能灵活运用.练习3.(2006•南通)如图，设直线丫=卜乂&<0)与双曲线y=-§相交于A(x「yjBTOC\o"1-5"\h\z(x2,y2)两点，则x1y2-3x2y］的值为( )A、-10 B、-5C、5 D、10考点：反比例函数图象的对称性。专题：计算题。分析：由反比例函数图象上点的坐标特征，两交点坐标关于原点对称，故xj-x/yj-y2,再代入xiy2-3x2yl，由k=xy得出答案.解答：解：由图象可知点A(x/yi)B(x2,y2)关于原点对称，即XJ-%,yj/,把A(x/丫］)代入双曲线y=-鸟导xjj-5,则原式=x1y2-3x2yi,=-x1yl+3*/］,=5-15,

二-10.故选A.点评：本题考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的性质，即两交点坐标关于原点对称.变式1.如图,点A是双曲线y=2在第一象限上的一个动点,连接A0并延长交另一分支x于点B，过点A作y轴的垂线,过点B作x轴的垂线,两垂线交于点C,随着点A的运动,点C的位置也随之变化设点C的坐标为(m,n)，求m、n满足的关系式四、求比例系数k^ k例4如图1,已知直线y=-X+2分别与x轴y轴交于A,B两点，与双曲线y=-x交于E,F两点，若AB=2EF,则k的值是 - k -。方法一将直线y=-x+2与反比例函数y=-联立方程，得到-x2+2x-k=0

x由韦达定理,可知xi+x2=2,xix2=k1又EF=a-aB=2.一3解得k=-方法二由图形的对称性可知，反比例函数和一次函数y=-x+2都关于直线y=x对称，又AB=2EF,故有BF=FM=ME=AE.而A(2,0),B(0,2),13 3所以F(三二),易得k二.22 4真题1.如图，菱形ABCD顶点A在例函数丫=Yx〉。)的图象上，函数y=,(k>3,x>0)的图

变式2.如图,在平面直角坐标系xQy中,双曲线y=k经过点A(1,2)，直线40交双曲线X的另一支于点B,点C与点A关于直线y=X对称,点M在第一象限内的双曲线上,且位于A点上方，连接MA、MB、BC,若/MAC=5/MBC,求NMBC的度数.五、图形面积问题k八…例5如图2,过点0作直线与双曲线y=(k中0)交于A,B两点，过点B作BC±X

X轴于点。，作BD±y轴于点D.在X轴，y轴上分别取点E,F,使点A,E,F在同一条直线上，且AE=AF设图中矩形0CBD的面积为［,△E0F。的面积为s2，则［,s2的数量关系是 贝Us1=mn.在Rt△EOF中，AE=AF,故A为EF中点，OF=2n,OE=2m,1贝us=-xOFxOE=2mn,22故2『s2.练习1、如图，A、8是双曲线尸上关于原点对称的任意两点，AC〃y轴，80〃丫轴，则工四边形ACBD的面积S满足（ ）A、S=1 B、1<S<2C、S=2 D、S>2考点：反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义。分析：根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S=^|k|可知，S△AoC=S△BoD=i|k|,再根据反比例函数的对称性可知，O为DC中点，则"AOD="AOC"mk1，"BOC="BODW|k|，进而求出四边形ADBC的面积•解答：解：•.?，B是函数y=-1的图象上关于原点O对称的任意两点，且AC平行于y轴，BD平行于y轴，••,△AOC"bOD工，假设A点坐标为（X，y），则B点坐标为（-x，-y），则OC=OD=x,••,△AOD^△AOC工，^△BOC^△BOD工，・•・四边形ABCD面积="aod+“aoc+“boc+“bod=-X4=2-故选C.点评：此题主要考查了反比例函数中比例系数k的几何意义，难易程度适中.过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S=七|k|.二0练习题2、(2020•宁波)如图，经过原点O的直线与反比例函数y"(a>0)的图象交=主于A,D两点(点A在第一象限)，点B,C,E在反比例函数「(b<0)的图象上，AB//y轴，AE//CD//x轴，五边形ABCDE的面积为56,四边形ABCD的面积为32,贝Ua-b的值为24,:■■的值为_二练习题3、如图,在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O,且正方形的一组对边与x轴平行,点P(2a,a)是反比例函数y=2的图象与正方形的一个交点,则图中阴影部分的面x积是 第4题变式1.已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=1的图象上,且点A的横坐标是2,求x矩形ABCD的面积

六、与圆结合问题例6（2020•乐山）如图，在平面直角坐标系中，直线丫=-乂与双曲线y"交于A、B两点，P是以点C（2,2）为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点.若线段OQ长度的最大值为2,则k的值为（ ）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 3 1 2 2 4A•一 B・一 C•一2 D.■例7. 如图，以原点为圆心的圆与反比例函数y=3的图象交于A、B、C、D四点，已知点AX的横坐标为1,则点C的横坐标为（ ）-1-2-3-4-1-2-3-4练习1.如图，反比例函数y=k（k〉0）的图象与。。在第一象限内交于P、Q两点,分别过P、… k八一练习2.如图3,反比例函数y=—（k>0）的图象与以原点（0，0）为圆心的圆交于人，Bx两点，且人（1,V3），图中阴影部分的面积等于 .（结果保留n）解析由于反比例函数和圆都是中心对称图形，故阴影部分面积可以看成是扇形AOB的面积.再利用图形关于直线y=x对称，可知B（\注,1）,所以，ZBOX=30°,ZAOX=60°,/日（ 30兀22—兀易得,扇形AOB—360 1,从以上例题的分析可观察到，对于反比例函数与一次函数y=X+b或y=-x+b相结合的问题，利用轴对称比较方便；而当反比例函数与正比例函数y=kxy或圆相结合的时候，中心对称必然能发挥作用.总之，利用反比例函数的对称性，要先观察，再计算（数形结合），这样会比直接代数运算方便很多.练习3、（2010•深圳）如图所示，点P（3a,a）是反比例函数y=-K（k〉0）与。O的一z个交点，图中阴影部分的面积为10n,则反比例函数的解析式为（ ）考点：反比例函数图象的对称性。专题：转化思想。分析：根据P（3a,a）和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式.解答：解：由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积俱圆面积，4则圆的面积为10nx4=40n.因为P（3a,a）在第一象限，则a>0,3a>0,根据勾股定理，OP=;（3a）^g^.-TOa.于是n（ 2=40n,a=±2,（负值舍去），故a=2.P点坐标为（6,2）.将P（6,2）代入尸乜，得：k=6X2=12. 12反比例函数解析式为：y=--.析式.练习4.如图，有反比例函数:尸/，：产-±的图象和一个圆，则S阴影（ ）A、n B、2nC、3n D、无法确定考点：反比例函数图象的对称性。分析：根据两函数的对称性和圆的对称性，将阴影部分面积转化为半圆的面积来解.解答：解：因为反比例函数-产工，：尸一△的图象关于y轴对称，X X圆也是关于y轴对称，阴影部分的面积为半圆的面积即S=