2022年浙教版八年级上册数学三角形初步认识和特殊三角形结合复习

学智教育教师备课手册教师姓名学生姓名填写时间2014-1-1学科年级上课时间2014.1.1课时计划2教学目标教学内容三角形和特殊三角形期末复习个性化学习问题解决教学重点、难点教学过程【教学内容】【知识梳理】三角形的三边关系1、两边之和大于第三边2、两边之差小于第三边题型1判断下列各组线段是否能组成三角形⑴5cm,6cm,3cm⑵7cm,12cm,20cm分析：能组成三角形的三条线段只需满足较小两边之和大于最大边，或最大边与任意较小边之差小于第三边即可。解：∵3+5>6或∵6-3<5∴5cm,6cm,3cm能组成三角形。∴5cm,6cm,3cm能组成三角形。∵7+12<20或∵20-12>7∴7cm,12cm,20cm不能组成三角形∴7cm,12cm,20cm不能组成三角形。（2012•义乌市）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是（）A．2B．3C．4D．82．（2010年山西）现有四根木棒，长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为 （） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型2、求第三边的取值（取值范围）已知三角形的两边长分别为3cm,8cm,若第三边长度为偶数，则第三边的长为分析：由第三边的长<两边之和，第三边的长>两边之差，可得第三边的取值范围，再根据第三边为偶数确认第三边的取值。解：设第三边长为xcm,根据题意得：x<3+8,解得x<11又∵x为偶数∴x=6、8、10x>8-3,x>5已知一个三角形的三条边长为2，x，7，则x的取值范围是。在△ABC中，AB＝6，AC＝10，那么BC边的取值范围是________，周长的取值范围是___________．三角形的高线定义：过一个三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高。（即三角形的高的两个端点一个为三角形的顶点，一个为顶点所对边上的垂足）画法：（过顶点作对边的垂线）（锐角三角形高线图）（直角三角形高线图）（钝角三角形高线图）性质：1、三角形的高线垂直于三角形一边。2、三角形高线与所在边所成角为9003、三角形面积=½底1×高1=½底2×高2另外：锐角三角形三条高线在三角形内，直角三角形斜边上的高线在三角形内，直角边互为高线。钝角三角形钝角边上的高线在三角形外，钝角所对边上的高线在三角形内。三角形的高所在直线交于一点。题型1、如图：已知AE、CD是△ABC的高，其中AE=6，CD=8，BC=12，求AB分析：三角形中已知两组底与高中的三条线段，可用面积求法得第四条线段解：∵AE、CD是△ABC的高∴BC•AE=AB•CD又∵AE=6，CD=8，BC=12∴12×6=8AB得AB=9三角形的中线定义：三角形中，连接一个顶点和它的对边中点线段叫做三角形的中线。中线性质：1、平分三角形一边，2、平分三角形的面积题型1、如图是一块三角形形状的菜地，请将它平均分成四份（两种以上方案）分析：不断用中线平分三角形即可。题型2、如图，中线BD将等腰△ABC的周长分成12cm和6cm两部分。求三角形的三边长。分析：△ABC的周长是：AB+AC+BC，中线BD将其分成AB+AD和DC+BC两部分（待别注意，周长并不包含BD），题目中并没有明确12cm,6cm分别是哪部分，所以分类1：AB+AD=12，DC+BC=6，分类2：AB+AD=6，DC+BC=12解：∵BD是等腰△ABC的中线∴AD=DC=½AC=½AB设AD=xcm,则AB=2xcm,DC=xcm,若AB+AD=12，DC+BC=6则若AB+AD=6，DC+BC=12,则x+2x=12，解得x=4,x+2x=6，解得x=2,∴x+BC=6,即4+BC=6,解得BC=2∴x+BC=12,即2+BC=12,解得BC=10∴AB=AC=2X=8,BC=2∴AB=AC=2X=4,BC=10∵8+2>8∵4+4<10∴此答案符合题意∴此答案不符合题意，舍去。综上所述，此三角形的三边长分别为8cm,8cm,2cm.注：此题型一要分类正确，二要将求得的三边用三角形三边关系进行检验。切记！知识点；三角形的角平分线定义：三角形一个角的平分线与三角形的一边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。性质：三角形的角平分线平分三角形一角。题型1如图，BO，CO分别平分∠ABC、∠ACB，若∠A=500，求∠BOC解：∵BO，CO分别平分∠ABC、∠ACB∴∠1=½∠ABC，∠2=½∠ACB∵∠A=500∴∠ABC+∠ACB=1800-500=1300∴∠1+∠2=½∠ABC+½∠ACB=½（∠ABC+∠ACB）=½×1300=650∴∠O=1800-（∠1+∠2）=1150注：仔细研究角之间是如何转换的。此题较常见，应熟记。、角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等。在的平分线上于，于角平分线的判定到角的两边距离相等的点在角的平分线上。于，于且在的平分线上（或写成是的平分线）下面说法错误的是()A．三角形的三条角平分线交于一点B．三角形的三条中线交于一点C．三角形的三条高交于一点D．三角形的三条高所在的直线交于一点．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是()A．中线 B．角平分线C．高线 D．三角形的角平分线．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角三角形．在下图中，正确画出AC边上高的是（）．（A）（B）（C）（D）知识点、三角形具有稳定性。定义与命题（1）无理数：无限不循环小数叫做无理数。（2）直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形（3）一次函数：一般地，形如y＝kx＋b（k、b都是常数且k≠0）叫做一次函数。（4）压强：单位面积所受的压力叫做压强。一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？（1）对顶角相等；（2）画一个角等于已知角；（3）两直线平行，同位角相等；（4）a、b两条直线平行吗？（5）高个的李明明。（6）玫瑰花是动物。（7）若a2＝4，求a的值。（8）若a2＝b2，则a＝b。例1指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：（1）三条边对应相等的两个三角形全等；条件是：两个三角形的三条边对应相等；结论是：这两个三角形全等改写成：如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等。（2）在同一个三角形中，等角对等边；条件是：同一个三角形中的两个角相等；结论是：这两个角所对的两条边相等改写成：如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（3）对顶角相等。条件是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等。改写成：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。(4)同角的余角相等；条件是：两个角是同一个角的余角；结论是：这两个角相等。改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。(5)三角形的内角和等于180°；条件是：三个角是一个三角形的三个内角；结论是：这三个角的和等于180°。改写成：如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°。(6)角平分线上的点到角的两边距离相等．条件是：一个点在一个角的平分线上；结论是：这个点到这个角的两边距离相等。改写成：如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。练习1、指出下列命题的条件和结论，并改写“如果……那么……”的形式：（1）两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（2）直角三角形两个锐角互余。1、公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫做公理。例如：“两点之间线段最短。”“一条直线截两条平行所得的同位角相等”，“两点就可以确定一条直线。”“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。”“三角形的全等的方法：SASASASSS”。然后提问学生：你所学过的还有那些公理定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。（1）“两点之间，线段最短”这个语句是（）A、定理B、公理C、定义D、只是命题（2）“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（）A、定理B、公理C、定义D、只是命题（3）下列命题中，属于定义的是（）A、两点确定一条直线B、同角的余角相等C、两直线平行，内错角相等D、点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度（4）下列句子中，是定理的是（），是公理的是（），是定义的是（）。A、若a=b，b=c，则a=c；B、对顶角相等C、全等三角形的对应边相等，对应角相等D、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形E、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等全等三角形判定定理：1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)在△ABC和△DEF中AB=DEBC=EFCA=FD∴△ABC≌△DEF（SSS）2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)在△ABC与△DEF中AC=DF∠C=∠FBC=EF∴△ABC≌△DEF（SAS）3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)在△ABC和△DEF中∠A=∠D（已知）AB=DE（已知）∠B=∠E（已知）∴△ABC≌△DEF（ASA）4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)在△ABC和△DFE中∠A=∠D,∠C=∠FAB=DE∴△ABC≌△DFE(AAS)5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)Rt△ABC和Rt△A′B′C′中AB=AB(直角边)BC=B′C′（斜边）∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应角＿相等＿＿＿＿2、全等三角形的对应边、对应中线、对应高、对应角平分线＿相等＿＿注意：1、斜边、直角边公理（HL）只能用于证明直角三角形的全等，对于其它三角形不适用。2、SSS、SAS、ASA、AAS适用于任何三角形，包括直角三角形。在△ABC中，,∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E(1)当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE(2)当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE(3)当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明（2）三角形中角与角的关系：三角形三个内角之和等于180o．3.三角形的分类（1）按边分：（2）按角分：4.特殊三角形（1）直角三角形性质①角的关系：∠A+∠B=900；②边的关系：③边角关系：；④（2）等腰三角形性质①角的关系：∠A=∠B；②边的关系：AC=BC；③④轴对称图形，有一条对称轴。如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的底边长．3）等边三角形性质①角的关系：∠A=∠B=∠C=600；②边的关系：AC=BC=AB；③；④轴对称图形，有三条对称轴。特殊三角形的定义、性质及判定类型定义性质判定等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角为底角1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线为它的对称轴。2.等腰三角形两底角相等，即在同一个等腰三角形中，等边对等角。3.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形的三线合一4.等腰三角形两腰上的高线，中线，和所对角的角平分线分别相等。1.有两条边相等的三角形是等腰三角形2、如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，即，在同一个三角形中，等角对等边等边三角形三条边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫正三角形1.等边三角形的内角都相等，且为60°2.等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴3.等边三角形每条边上的中线，高线和所对角的角平分线三线合一，他们所在的直线都是等边三角形的对称轴1.三边相等的三角新2.三个角都相等的三角形3.有两个角等于60°的三角形4.有一个角等于60°的等腰三角形即为等边三角形直角三角形有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“Rt△”直角三角形的两锐角互余。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。简称：两个一半。直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）有一个角是直角的三角形是直角三角形。有两个角互余的三角形是直角三角形。如果有一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。如果一个三角形中两条边的平方和等于边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）如果三角形的三边长为a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形.※记住常用的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41；11、60、6113、84、85；15、112、113；…..2013年中考题（2013贵州安顺，5，3分）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠CB．AD=CBC．BE=DFD．AD∥BC（2013山东临沂，10，3分）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）AABCDEA．AB＝AD B．AC平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC（2013•衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（）A．10°B．20°C．30°D．80°2013•湘西州）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）A．15°B．25°C．30°D．10°2013浙江台州，10，4分）已知△A1B1C1与△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，对于上述的两个判断，下列说法正确的是（）A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①，②都错误D．①，②都正确三角形全等的应用1.（2006•临沂）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，由三角形全等得出A′B′的长等于内槽宽AB；那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（） A、边角边 B、角边角 C、边边边 D、角角边EABCDF10题2.要测量河岸相对两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，如图，可以说明△EDCEABCDF10题A．SASB．ASAC．SSSD．HL3.（2009•西宁）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（） A、（S．S．S．） B、（S．A．S．） C、（A．S．A．） D、（A．A．S．）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO是等腰三角形，则满足条件的点Q共有A．5个 B．4个 C．3个 D．2个（2013，成都）如图，在△ABC中，∠B=∠C,AB=5，则AC的长为（）（A）2（B）3（C）4（D）5（2013•广安）等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（）A．25B．25或32C．32D．19（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系中，A(0，2)，B(0，6)，动点C在直线y＝x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是A．2 B．3 C．4 D．5（2013杭州8分）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF．求证：△GAB是等腰三角形．(2013•嘉兴8分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC．（1）求证：△ABE≌DCE；（2）当∠AEB=50°，求∠EBC的度数？（2013上海市，23，12分）如图8，在△中，，，点为边的中点，交于点，交的延长线于点．（1）求证：；（2）联结，过点作的垂线交的延长线于点，求证：．（2013广东珠海，14，6分）如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．（2013四川内江，18，8分）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D为AB边上一点．求证：BD=AE．2013•荆门）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为（）2013•荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC