数值分析第五章插值法

第五章插值法

Lagrange插值

Newton插值

Hermite插值1为什么需要插值?

函数表达式复杂,不便于计算和进行理论分析;

没有函数表达式,只给出离散样点.

找简单函数近似,即函数逼近.

函数逼近常用方法:插值法,曲线拟合法.插值法:多项式插值,三角多项式插值.2已知函数f(x)在区间[a,b]上(n+1)个不同点x0,x1,x2,…,xn

处的函数值yi=f(xi)(i=0,1,2,…,n),求函数n(x),使其满足(1)n(x)为至多n次多项式,即(2)满足插值条件n(x):插值多项式xi:插值节点[a,b]:插值区间§1Lagrange插值3First-ordersecond-orderthird-order几何意义:n次多项式插值就是过(n+1)个点(xi,f(xi))(i=0,1,…,n),作一条多项式曲线y=n(x)近似曲线y=f(x).4三个基本问题插值多项式n(x)是否存在唯一？若n(x)存在,截断误差f(x)－n(x)=?如何求n(x)？5插值多项式n(x)的存在唯一性

n次多项式n(x)有(n+1)个待定系数ai

(i=0,1,2,…,n),插值条件n(xi)=f(xi)=yi

(i=0,1,2,…,n)也是(n+1)个,恰好给出(n+1)个方程.6即系数矩阵A的行列式是Vandermonde行列式,其值为当插值节点xi(i=0,1,2,…,n)互不相同时,此行列式不为0,即系数矩阵A可逆.因此ai

(i=0,1,2,…,n),存在唯一,即n(x)存在唯一.7插值余项与误差估计截断误差或插值余项定理若则存在(a,b),使得证明故其中K(x)是与x有关的待定函数.如何求K(x)?8现把x看成是[a,b]上的固定点,作辅助函数即F(t)在[a,b]上有n+2个零点.根据Rolle定理,F(t)在F(t)的两个零点之间至少有一个零点,故F(t)在(a,b)内至少有(n+1)个零点.对F(t)再应用Rolle

定理，可知F(t)在(a,b)内至少有n个零点.依此类推,F(n+1)(t)在(a,b)内至少有一个零点,记之为(a,b),使得则9因此若则10当n=1时,线性插值余项为当n=2时,抛物线插值余项为11求L1(x)(1)至多1次多项式;(2)已知

Lagrange方法求插值多项式当用Lagrange方法求插值多项式时,其n次插值多项式记为Ln(x).

n=1的情形12x0x11次多项式1次多项式n=1

线性插值多项式L1(x)是过两点(x0,y0),(x1,y1)的直线方程13已知求L2(x)(1)至多2次多项式;(2)

二次插值多项式14n=22次多项式2次多项式2次多项式

二次插值多项式15l1(x)f(x1)l2(x)f(x2)l0(x)f(x0)x0x1x2

二次插值多项式L2(x)16已知求Ln(x)(1)至多n次多项式;(2)插值节点插值多项式

n次Lagrange插值多项式17其中li

(x)为插值基函数n次多项式

n次Lagrange插值多项式18例已知函数y=lnx

的函数表如下xi2.56492.48492.39792.3026f(xi6391分别用Lagrange线性插值和抛物线插值求ln11.5的近似值,并估计误差.解线性插值.取两个节点x0=11,x1=12,插值函数为计算器19抛物线插值.取x0=11,x1=12,x1=13,插值多项式为2021例已知函数y=lnx

的函数表如下xi2.56492.48492.39792.3026f(xi6391分别用Lagrange线性插值和抛物线插值求ln11.5的近似值,并估计误差.解线性插值.取两个节点x0=11,x1=12,插值函数为计算器X=[11,12]Y=[2.3979,2.4849]pp=polyfit(X,Y,1)ln11dot5=polyval(pp,11.5)22例已知函数y=lnx

的函数表如下xi2.56492.48492.39792.3026f(xi6391分别用Lagrange线性插值和抛物线插值求ln11.5的近似值,并估计误差.解计算器X=[11,12,13]Y=[2.3979,2.4849,2.5649]pp=polyfit(X,Y,2)ln11dot5=polyval(pp,11.5)抛物线插值.取x0=11,x1=12,x1=13,插值多项式为23由于插值基函数只与节点有关而与函数值无关,因此当插值节点相同而函数值不同时,所有的Lagrange插值基函数均不变,此时用Lagrange插值多项式比较方便.当新增加插值节点时,用Lagrange插值多项式,则需要重新计算所有的插值基函数,计算量大且应用不方便.Lagrange插值Newton插值24线性插值多项式的另一表现形式§2Newton插值Newton插值公式25

差商定义一阶差商(f(x)关于点xi,xj的一阶差商)二阶差商(f(x)关于点xi,xj

,xk的二阶差商)一阶差商的差商26

k阶差商

差商定义27差商的性质各阶差商具有线性性,即若f(x)=ag(x)+bh(x),则有

k阶差商可表为f(x0),f(x1),…,f(xk)的线性组合,例一阶差商28二阶差商29

3阶以上的差商可用数学归纳法证明.30各阶差商均具有对称性,即改变节点的位置,差商值不变.若f(x)是n次多项式,则一阶差商f[x,xi

]是(n1)次多项式.例31计算各阶差商可按差商表计算1阶差商2阶差商3阶差商

4阶差商计算公式？32线性插值多项式的另一表现形式

Newton线性插值多项式Newton插值公式33

二次Newton插值多项式把二次插值多项式改写成下列形式它与二次函数的通常形式是一样的.两者的系数有如下对应关系.34利用3个插值条件来确定3个系数b0,b1,b2.令x=x0确定系数b0令x=x1确定系数b1

二次Newton插值多项式把二次插值多项式改写成下列形式35令x=x2得到系数b2

二次Newton插值多项式把二次插值多项式改写成下列形式36

二次Newton插值多项式37

n阶Newton插值多项式38由一阶差商定义得由二阶差商定义得故Newton线性插值多项式余项39二次Newton插值多项式余项故40三次Newton插值多项式余项41一般地有n次Newton均差插值多项式Nn(x)余项Rn(x)42

Nn(x)的特点Nn(x)为至多n次多项式,因此Nn(x)是f(x)的n次插值多项式.43

n阶Newton插值多项式系数bi(i=0,1,2,…,n)就是差商表中对角线上的元素.44

Newton插值多项式的优点:增加一个节点,插值多项式只增加一项,即便于递推计算,Newton插值计算量小于Lagrange插值.由插值多项式的唯一性知,n阶Newton插值多项式和n阶Lagrange插值多项式是一样的,只是表现形式不同而已.45

Newton插值多项式的余项由插值多项式的唯一性得故46§3分段线性插值高次插值多项式的缺陷：Runge现象用Lagrange插值多项式

Ln(x)近似f(x),是否插值节点个数n越多,其逼近精度越高呢?回答是否定的！

20世纪初Runge给出了一个非常著名的例子采用等距节点插值.47Runge

函数48Runge

函数49如图所示,Lagrange插值多项式L10(x)仅在区间中部能较好地逼近f(x),在其他部位差异较大,而且越接近区间端点,逼近效果越差.可以证明当节点个数n趋于无穷时,存在一个常数c,c0.726,使得当|x|c时,Ln(x)f(x)(n),而当|x|>c时{Ln(x)}发散.这一现象称为Runge现象.50它表明用高次插值多项式Ln(x)近似f(x)效果不见得好,因而通常不用高次插值,而用分段低次插值.常用分段低次插值:分段线性插值,分段三次Hermite插值,三次样条插值.51分段线性插值定义定义已知函数y=f(x)在区间[a,b]上的(n+1)个节点上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,…,n),求插值函数(x),使得在每一个小区间上是线性函数;(1)(2)(3)称函数(x)为[a,b]上关于数据(xi,yi)(i=0,1,…,n)的分段线性插值函数.52x0x1x2x3i(x)=ai

x+bi分段线性插值53分段线性插值根据Newton插值公式可写出(x)的分段表达式54分段线性插值55分段线性插值的误差估计定理

如果f(x)在[a,b]上二阶连续可微，则分段线性插值函数(x)的余项有以下估计其中56在每个小区间[xi,xi+1](i=0,1,…,n)上,(x)是f(x)的线性插值函数，故对任意x[xi

,xi+1]有证明故而57分段线性插值分段线性插值简单易行,收敛性,稳定性有保证.没有光滑性,一阶导数不连续.可用更高阶的分段插值来得到连续导数，如三次样条插值.58

Hermite插值多项式求

H(x).(1)至多(2n+1)次多项式;(2)§4Hermite插值已知H(x):Hermite插值多项式59(2n+1)次多项式(2n+1)次多项式Hi(x),hi(x)(i=0,1,2,…,n):Hermite插值基函数60其中li

(x)是Lagrange插值基函数.(2n+1)次多项式61其中li

(x)是Lagrange插值基函数.(2n+1)次多项式62

Hermite插值多项式63n=1两个节点的三次Hermite插值多项式6465插值余项与误差估计截断误差或插值余项定理若则存在(a,b),使得证明故其中K(x)是与x有关的待定函数.如何求K(x)?66现把x看成是[a,b]上的固定点,作辅助函数即F(t)在[a,b]上有n+2个零点.根据Rolle定理,F(t)在F(t)的两个零点之间至少有一个零点,故F(t)在(a,b)内至少有(n+1)+(n+1)个零点.对F(t)再应用Rolle

定理,可知F(t)在(a,b)内至少有(2n+1)

个零点.依此类推,F(2n+2)(t)在(a,b)内至少有一个零点,记之为(a,b),使得则67因此若则68两个节点的三次Hermite插值多项式的截断误差69定理满足的2n+1阶Hermite插值多项式是唯一存在的.因为H(x)为至多2n+1次多项式，故H(2n+2)(x)=0.从而

Hermite插值多项式的唯一性证明假设H(x)与H(x)是满足相同插值条件的2n+1次Hermite多项式，H(x)也是H(x)的(2n+1)次Hermite插值多项式.由余项公式H(x)=H(x)70分段三次Hermite插值定义

给定函数表求分段三次Hermite插值函数H(x),使其满足(1)(2)在每个小区间