数学建模第一次讲座

数学建模简介MathematicalModeling严培胜湖北经济学院统计与应用数学系

主要内容一、数学建模的定义二、数学建模的方法三、数学建模的步骤四、数学模型的分类五、怎么样学习数学建模六、数学建模论文写法七、全国数学建模竞赛介绍玩具、照片、飞机、火箭模型…~实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机…~物理模型地图、电路图、分子结构图…~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征从现实对象到数学模型一、数学建模的定义你碰到过的数学模型——“航行问题”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米.甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解航行问题建立数学模型的基本步骤作出简化假设（船速、水速为常数）；用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；求解得到数学解答（x=20,y=5）；回答原问题（船速每小时20千米）。

数学建模示例一

椅子能在不平的地面上放稳吗？问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCOD´C´B´A´用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置四只脚着地距离是的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f()B,D两脚与地面距离之和~g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(),g()是连续函数对任意,f(),g()至少一个为0数学问题已知：f(),g()是连续函数;

对任意，f()•g()=0;

且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出一种简单、粗造的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知

h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因为f()•g()=0,所以f(0)=g(0)=0.评注和思考建模的关键~假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子和f(),g()的确定数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模背景年1625183019301960197419871999人口(亿)5102030405060世界人口增长概况中国人口增长概况年19081933195319641982199019952000人口(亿)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口变化规律控制人口过快增长例二如何预报人口的增长指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)常用的计算公式x(t)~时刻t的人口基本假设

:人口(相对)增长率r

是常数今年人口x0,年增长率rk年后人口随着时间增加，人口按指数规律无限增长指数增长模型的应用及局限性与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代可用于短期人口增长预测不符合19世纪后多数地区人口增长规律不能预测较长期的人口增长过程19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4专家估计阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0二、数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数三、数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想象力使用类比法尽量采用简单的数学工具模型求解各种数学方法、软件（Matlab,Excel,SPSS，Lingo）和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析(灵敏度分析)模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性模型应用数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践四、数学模型的分类应用领域人口、交通、经济、生态、…数学方法初等数学、微分方程、规划、统计、…表现特性描述、优化、预报、决策、…建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续五、怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想象力洞察力判断力学习、分析、评价、改进别人作过的模型亲自动手，认真作几个实际题目六、怎样撰写数学建模的论文1、题目。简短精练、高度概括、准确得体、恰如其分2、作者。注明地址（邮编）

3、3、摘要。摘要应包括以下内容：所研究的问题、建立的模型、求解模型的方法、获得的基本结果以及对模型的检验或推广。需要概括、简练的语言反映这些内容，尤其是突出论文的优点，如巧妙的建模方法、快速有效的算法、合理的推广等。4、主要变量及其符号和计量单位说明5、问题分析与重述。不要抄原题，应把握住问题的实质，再用较精练的语言叙述问题。6、模型假设7、分析与建立模型8、模型求解9、模型检验10、模型评价与推广11、参考文献。作者文献名地址出版社时间12、附录1992年由中国工业与应用数学学会(CSIAM)组织第一次竞赛1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办，每年一次(9月)七、全国大学生数学建模竞赛http://全国高校规模最大的课外科技活动数学建模竞赛(MathematicalContestinModeling)简介内容赛题：工程技术、管理科学中经过简化的实际问题答卷：一篇包含模型假设、建立、求解、计算方法设计和计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文形式3名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛可使用任何“死”材料（图书、计算机、软件、互联网等），但不得与队外任何人讨论宗旨创新意识团队精神重在参与公平竞争标准假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰程度年A题B题C题D题2000DNA序列分类钢管订购和运输飞越北极空洞探测2001血管的三维重建公交车调度基金使用计划公交车调度2002车灯线光源的优化设计彩票中的数学车灯线光源的计算赛程安排2003SARS的传播露天矿生产的车辆安排SARS的传播抢渡长江2004奥运会临时超市网点设计电力市场的输电阻塞管理饮酒驾车公务员招聘全国大学生数学建模竞赛近11年的题目（本科队从A,B题中选一题，专科队从C,D题中选一题

2005长江水质的评价和预测DVD在线租赁雨量预报方法的评价

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2006出版社的资源配置艾滋病疗法的评价及疗效的预测易拉罐形状和尺寸的最优设计

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2007人口预测问题乘公交，看奥运易拉罐形状和尺寸的最优设计

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美国大学生数学建模竞赛(MCM)1985年开始举办，每年一次(2月)；现称“国际竞赛”1996年起，复旦、中国科大、华东理工、清华、浙大、国防科大、北大、东南大学、东华大学先后荣获最高奖http:///undergraduate/contests参考书

“数学模型与数学建模”，刘来福等编

“数学模型”(第二版)，任善强等编“数学建模”,徐全智等编“数学建模与数学实验”，赵静但琦编姜启源谢金星叶俊编“数学模型通常，1公斤面，1公斤