微分中值定理

1第4章微分中值定理

与导数的应用§4.1微分中值定理一、罗尔(Rolle)定理二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理Page2中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广Page3一、罗尔(Rolle)定理费马(fermat)引理且存在证:

设则证毕Page4罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)

f(a)=f(b)使证:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,则因此在(a,b)内至少存在一点Page5若M>

m,则M和m

中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使注意:1)定理条件不全具备,结论不一定成立.例如,则由费马引理得Page6使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且在(a,b)内至少存在一点证明提示:

设证

F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.Page7例1.证明方程有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则在[0,1]连续,且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有为端点的区间满足罗尔定理条件,至少存在一点但矛盾,故假设不真!设Page8求证存在使例2.设可导，且在连续，证：因此至少存在显然在上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得Page9二、拉格朗日中值定理(1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕Page10拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论:若函数在区间I

上满足则在

I上必为常数.证:

在

I

上任取两点日中值公式,得由的任意性知,在

I

上为常数.令则Page11例3.证明等式证:

设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在

I

上Page12例4.证明不等式证:

设中值定理条件,即因为故因此应有Page13设证明对任意有证：例5.不妨设Page14三、柯西(Cauchy)中值定理分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证Page15证:

作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考:

柯西定理的下述证法对吗?两个

不一定相同错!上面两式相比即得结论.Page16柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率Page17例6.设至少存在一点使证:

结论可变形为设则在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点

,使即证明Page18例7.试证至少存在一点使证:

法1

用柯西中值定理.则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此即分析:Page19例7.试证至少存在一点使法2令则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使因此存在Page20内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:

利用逆向思维设辅助函数费马引理Page21思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程Page222.

设且在内可导,证明至少存在一点使提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设Page233.

若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.Page244.思考:在即当时问是否可由此得出不能!因为是依赖于x

的一个特殊的函数.因此由上式得表示x

从右侧以任意方式趋于0.应用拉格朗日中值定理得上对函数Page25费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:1994年由英国数学家证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.Page26拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.Page27柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编