流体力学(刘鹤)

流体力学房长宇广西科技大学土建学院2014年3月目录第一章绪论第二章流体静力学第三章流体运动学第四章流体动力学基础第六章流动阻力和水头损失第七章孔口、管嘴出流有压管流一、课程的性质、目的与任务

《流体力学》是环境工程专业一门必修的专业基础课。通过本课程的学习，使学生理解流体力学的基本概念和基本理论，学会流体力学计算基本方法，掌握水力实验的基本操作技能，为学习后续专业课程和专业技术工作打下基础。二、与其它课程的联系学习本课程应具备《高等数学》、《大学物理》、《理论力学》的基础；后续课程为《水处理工程》、《大气污染控制工程》、《固体废物处置》等。三、课程的特点1．精讲与泛讲相结合，对于一些重点、难点问题，如恒定流的能量方程、动量方程及其应用要精讲，并配合习题课、例题、提问等形式使学生深入理解并熟练掌握；而对于一些非重、难点问题，如小桥孔径的水力计算、堰流，在交代清楚基本公式的基础上，让学生进行小结自学。2．对基本理论的掌握与常见工程流体力学计算能力的要求并重。第一章绪论本章导读§1.1流体力学及其任务§1.2作用在流体上的力§1.3流体的主要物理性质§1.4牛顿流体和非牛顿流体本章小节主要内容本章导读本章主要阐述了流体力学的概念与发展简史；流体力学的概述与应用；流体力学课程的性质、目的、基本要求；流体力学的研究方法及流体的主要物理性质。流体的连续介质模型是流体力学的基础，在此假设的基础上引出了理想流体与实际流体、可压缩流体与不可压缩流体、牛顿流体与非牛顿流体概念。§1.1流体力学及其任务研究对象：流体⑴定义：所谓流体就是液体和气体的合称。

⑵基本特征是具有流动性。所谓流动性是指流体的微小切力作用下，连续变形的特性。只要切力存在，流动就持续进行。流动性是区别流体和固体的力学特征。2、连续介质模型1.问题的引出微观：流体是由大量做无规则运动的分子组成的，分子之间存在空隙，在时间和空间上不连续，致使流体的物理量随时间、空间的变化而变化。

宏观：一般工程中，所研究液体的空间尺度要比分子距离大得多，即考虑宏观特性，在流动空间和时间上所采用的一切特征尺度和特征时间都比分子距离和分子碰撞时间大得多。2.流体的连续介质假设a定义：不考虑分子间的间隙，把流体视为由无数连续分布的流体微团组成的连续介质。b液体微团必须具备的两个条件：必须包含足够多的分子；体积必须很小。３.采用流体连续介质假设的优点a避免了流体分子运动的复杂性，只需研究流体的宏观运动。b可以利用教学工具来研究流体的平衡与运动规律。理论研究方法、实验研究方法、数值研究方法相互配合，互为补充1.理论研究方法力学模型→物理基本定律→求解数学方程→分析和揭示本质和规律理论方法中，引用的主要定律有：（1）质量守恒定律：（2）动量守恒定律：

（3）牛顿运动第二定律：（4）机械能转化与守恒定律：动能+压能+位能+能量损失=Const2.实验研究方法相似理论→模型实验装置主要形式：原型观测、系统实验、模型试验3.数值研究方法计算机数值方法是现代分析手段中发展最快的方法之一3、流体力学的研究方法§1.2作用在流体上的力作用在流体上的力表面力质量力定义：表面力：外界对所研究流体表面的作用力，直接作用在外表面，与表面积大小成正比。质量力：作用在所取流体体积内每一质点上的力，其大小与质量成正比例，称为质量力。表面力质量力§1.2作用在流体上的力§1.2作用在流体上的力应力：表面力在隔离体表面某一点的大小（集度）用应力来表示。ΔFΔPΔTAΔAVτ法向应力pA周围流体作用的表面力切向应力表面力具有传递性(例如某深度的压强随表面压强增大而增大)

为上的平均压应力为上的平均剪应力应力法向应力：

切向应力：

为A点的剪应力应力：为A点压应力，即A点的压强应力的单位是帕斯卡（pa），1pa=1N/㎡ΔFΔPΔTAΔAVτ法向应力pA周围流体作用的表面力切向应力二、质量力质量力中最常见的有重力，惯性力，离心力（非惯性学）。质量力的大小由单位质量力来表示设均质流体的质量为m，所受的质量力为，则单位质量力单位为

单位质量力在各坐标轴的分量分别用X,Y,Z来表示单位质量力的单位：m/s2

，与加速度单位一致。若作用在流体上的质量力只有重力，则单位质量力

X=0，Y=0，负号表示质量力的方向与Z轴方向相反.其中§1.3流体的主要物理性质主要指：惯性、粘性、压缩、膨胀性一流体的基本特征1.物质的三态

主要形式有：固体、液体和气体。流体和固体的区别:

从力学分析，对外力抵抗能力不同。

a固体：既能承受压力，也能承受拉力与抵抗拉伸变形。

b流体：只能承受压力，一般不能承受拉力与抵抗拉伸变形。液体和气体的区别：

(1)气体易于压缩；而液体难于压缩；

(2)液体有一定的体积，存在一个自由液面；气体能充满任意形状的容器，无一定的体积，不存在自由液面。

液体和气体的共同点：

两者均具有易流动性，即在任何微小切应力作用下都会发生变形或流动。二、惯性惯性是物体保持原有状态的性质，凡改变物体的运动状态，都必须克服惯性的作用。质量是物质的基本属性之一，是物体惯性大小的量度，质量越大，惯性也越大。单位体积流体的质量称为密度（density），以ρ表示，单位：kg/m3。对于均质流体，设其体积为V，质量m，则为密度对于非均质流体，密度随点而异。若取包含某点在内的体积，其中质量，则该点密度需要用极限方式表示常见的密度（在一个标准大气压下）：4℃时的水20℃时的空气容重（重度）三、黏性1.黏性的表象上平板带动粘附在板上的流层运动，而且能影响到内部各流层运动，表明内部各流层之间，存在着剪切力，即内摩擦力，这就是粘性的表象。由此得出，黏性时流体的内摩擦特性。2.牛顿内摩擦定律a定义:牛顿内摩擦定律：流体运动时，相邻流层间所产生的切应力与剪切变形的速率成正比。即以应力表示τ—粘性切应力，是单位面积上的内摩擦力。说明：1）流体的切应力与剪切变形速率，或角变形率成正比。

2）流体的切应力与动力粘度成正比。

3）对于平衡流体dr/dt=0，对于理想流体μ=0，所以均不产生切应力，即τ=0。b.速度梯度的物理意义由上图可知：由右图可知——速度梯度，剪切应变率（剪切变形速度）——剪应变率流体与固体在摩擦规律上完全不同的。udt(u+du)dtdudtdydθc粘度1）μ是比例系数，称为动力黏度，单位“pa·s”。动力黏度是流体黏性大小的度量，μ值越大，流体越粘，流动性越差。2）ν是运动粘度：由于粘度μ和密度ρ都是液体的内在属性，在分析粘性流体运动规律时，μ和ρ经常以比的形式出现，将其定义为流体的运动粘度ν。，单位：m2/s同加速度的单位说明：1）气体的粘度不受压强影响，液体的粘度受压强影响也很小。

2）液体粘度随温度升高而减小，气体的粘度随温度升高而增大。（见P7水的粘度和空气的粘度）微观机制：液体吸引力T↑

μ↓气体热运动T↑

μ↑动力粘度运动粘度d无黏性流体无粘性流体，是指无粘性即μ=0的液体。无粘性液体实际上是不存在的，它只是一种对物性简化的力学模型。无粘性流体不考虑粘性，所以对流动的分析大为简化，从而容易得出理论分析的结果。所得结果，对于某些粘性影响很小的流动，能够较好地符合实际；对粘性影响不能忽略的流动，则可通过实验加以修正，从而能比较容易地解决实际流动问题。例1-1.一底面积为40cm×45cm，高1cm的木块，质量为5kg，沿着涂有润滑油的斜面等速向下运动。已知速度v=1m/s，δ=1mm，求润滑油的动力粘度系数。解：设木块所受的摩擦力为T。∵木块均匀下滑,∴T-Gsinα=0T=Gsinα=5×9.8×5/13=18.8N又有牛顿剪切公式μ=Tδ/(Av)=18.8×0.001/(0.40×0.45×1)=0.105Pa·S四、可压缩性与热膨胀性可压缩性热膨胀性四、可压缩性与热膨胀性

1.概念（1）可压缩性：流体受压，体积缩小，密度增大，除去外力后能恢复原状的性质。

T一定，dp增大，dv减小（2）热膨胀性：流体受热，体积膨胀，密度减小，温度下降后能恢复原状的性质。

P一定，dT增大，dV增大2.液体的可压缩性和热膨胀性液体的压缩系数к和体积弹性模量K液体的压缩系数к表示为在一定的温度下，压强增加1个单位，体积的相对缩小率。即为在一定温度下，体积的相对减小值与压强增加值的比值。若液体的原体积为V，压强增加dP后，体积变化为dV，则压缩系数为：由于液体受压体积减小，dP与dV异号，以使к为正值；其值愈大，愈容易压缩。к的单位是“1/Pa”。根据增压前后质量无变化得体积弹性模量K是压缩系数的倒数，用K表示，单位是’Pa’例当水的压强增加1个大气压时，水的密度增大约为多少？解，一般认为水的压缩系数为定值，约为5×10-101/Pa。dP=1×105。dρ/ρ=5×10-5=1/20000（2）液体热膨胀系数，它表示在一定的压强下，温度增加1度，体积的相对增加率。若液体的原体积为V，温度增加dT后，体积增加dV，热膨胀系数为单位为“1/K”或“1/℃”在一定压强下，体积的变化速度与温度成正比。从p9-10表1-5和表1-6可知，水的压缩系数和热膨胀系数都很小。例活塞加压，缸体内液体的压强为0.1MPa时，体积为1000cm3，压强为10MPa时，体积为995cm3。试求液体的体积弹性模量。3.气体的可压缩性和热膨胀性气体具有显著的可压缩性，一般情况下，常用气体（如空气、氮、氧、CO2等）的密度、压强和温度三者之间符合完全气体状态方程，即理想气体状态方程式中：P——气体的绝对压强（Pa）；

ρ——气体的密度（Kg/cm3）；

T——气体的热力学温度（K）；

R——气体常数；在标准状态下，，M为气体的分子量，空气的气体常数R=287J/Kg．K。适用范围：当气体在很高的压强，很低温度下，或接近于液态时，其不再适用。4.流体的分类a根据流体受压体积缩小的性质，流体可分为：

可压缩流体（compressibleflow）：流体密度随压强变化不能忽略的流体(ρ≠Const)。

不可压缩流体（incompressibleflow）：流体密度随压强变化很小，流体的密度可视为常数的流体(ρ=Const)。注：

(a)严格地说，不存在完全不可压缩的流体。

(b)一般情况下的液体都可视为不可压缩流体（发生水击时除外）。

(c)对于气体，当所受压强变化相对较小时，可视为不可压缩流体。

(d)管路中压降较大时，应作为可压缩流体。

b根据流体是否具有粘性，可分为：

实际流体：指具有粘度的流体，在运动时具有抵抗剪切变形的能力，即存在摩擦力，粘度μ≠0。

理想流体：是指既无粘性（μ=0）又完全不可压缩(ρ=Const)流体，在运动时也不能抵抗剪切变形。例汽车上路时，轮胎内空气的温度为20℃，绝对压强为395KPa，行驶后轮胎内空气温度上升到50℃，试求此时的压强。解：在温度由20℃增加到50℃的过程中，轮胎的体积变化很小，可以忽略，则此过程中ρ也是常数。由理想气体状态方程，，则本章小结1.流体力学的任务是研究流体的宏观机械运动，提出了流体的易流动性概念，即流体在静止时，不能抵抗剪切变形，在任何微小切应力作用下都会发生变形或流动。同时又引入了连续介质模型假设，把流体看成没有空隙的连续介质，则流体中的一切物理量（如速度u和密度ρ）都可看作时空的连续函数，可采用函数理论作为分析工具。2.流体的压缩性，一般可用体积压缩率和体积模量来描述，通常情况下，压强变化不大时，都可视为不可压缩流体。3.粘滞性是流体的主要物理性质，它是流动流体抵抗剪切变形的一种性质，不同的流体粘滞性大小用动力粘度或运动粘度v来反映。其中温度是粘度的影响因素：随温度升高，气体粘度上升、液体粘度下降。4.牛顿内摩擦定律表明流体的切应力大小与速度梯度或角变形率或剪切变形速率成正比，这是流体区别于固体（固体的切应力与剪切变形大小成正比）的一个重要特性。根据是否遵循牛顿内摩擦定律，可将流体分为牛顿流体和非牛顿流体。谢谢！第二章流体静力学§2-1静止流体的静压强及其特性§2-2流体平衡微分方程§2-3重力场中流体静压强的分布规律§2-4流体的相对平衡§2-5液体作用在平面上的总压力§2-6液体作用在曲面上的总压力主要内容流体静力学着重研究流体在外力作用下处于平衡状态的规律及其在工程实际中的应用。这里所指的静止包括绝对静止和相对静止两种。以地球作为惯性参考坐标系，当流体相对于惯性坐标系静止时，称流体处于绝对静止状态；当流体相对于非惯性参考坐标系静止时，称流体处于相对静止状态。流体处于静止或相对静止状态，两者都表现不出黏性作用，即切向应力都等于零。所以，流体静力学中所得的结论，无论对实际流体还是理想流体都是适用的。§2-1静止流体的静压强及其特性一、流体静压强流体压力：是指流体内部相邻两部分之间相互作用的力或指流体对固体壁面的作用力（或静止流体对其接触面上所作用的压力）。其一般用符号P表示，单位是kN或Ｎ。１．流体静压强在静止流体中任取一点M，围绕M点取一微小面积ΔA，作用在该面积上的静水压力为ΔP，如图2-１所示，则面积ΔA上的平均压强为：

它反映了受压面ΔA上流体静压强的平均值。２．点压强如图2-1所示，将面积ΔA围绕M点无限缩小，当ΔA→0时，比值的极限称为M点的静水压强，即二、流体静压强的特性１．流体静压强的方向与作用面相垂直，并指向作用面的内法线方向。这一特性可由反证法给予证明：假设在静止流体中，流体静压强方向不与作用面相垂直，而与作用面的切线方向成α角，如图2-2所示。αpnptp切向压强静压强法向压强图2-2２．作用于静止流体中同一点的压强的大小各向相等，与作用面的方向无关。那么静压强p可以分解成两个分力即切向压强pt和法向压强pn。由于切向压强是一个剪切力，由第一章可知，流体具有流动性，受任何微小剪切力作用都将连续变形，也就是说流体要流动，这与我们假设是静止流体相矛盾。流体要保持静止状态，不能有剪切力存在，唯一的作用力便是沿作用面内法线方向的压强。证明：如图2-3所示，在静止流体中任取一微小四面体，其三个棱边分别平行于X、Y、Z轴，长度分别为dx、dy、dz。三个垂直于X、Y、Z轴的面积分别为dAX、dAY、dAZ，斜面面积为dAN。因四面体是在静止流体中取出的，它在各种外力作用下处于平衡状态。pypxpzpn作用在ACD面上的流体静压强作用在ABC面上的流体静压强作用在BCD面上的静压强、作用在ABD面上的静压强图2－3微元四面体受力分析①表面力：（只有各面上的垂直压力即周围液体的静水压力）②质量力：其质量为单位质量力在各方向上的分别为X、Y、Z，则质量力在各方向上的分量为

上述质量力和表面力在各坐标轴上的投影之和应分别等于零。即：以X方向为例：因为代入上式得：当四面体无限地缩小到0点时，上述方程中最后一项近于零，取极限得,即:同理：由此可见：，

上式说明，在静止流体中，任一点流体静压强的大小与作用面的方位无关，但流体中不同点上的流体静压强可以不等，因此，流体静压强是空间坐标的标量函数，即：§2-2流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程——欧拉平衡方程如图所示，在平衡流体中取一微元六面体，边长分别为dx，dy，dz，设中心点的压强为p(x,y,z)=p，对其进行受力分析：根据平衡条件，在y方向有，即：流体平衡微分方程（即欧拉平衡方程）：

X、Y、Z——单位质量力在x、y、z轴方向的分量

单位质量流体所受的表面力在x、y、z轴方向上的分量2)公式适用条件：理想流体、实际流体；绝对、相对静止；可压缩与不可压缩流体。压强沿轴向的变化率（）等于轴向单位体积上的质量力的分量（ρX，ρY，ρZ）。1)物理意义：

处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。说明：

二、平衡微分方程的综合式对上式相加移项整理得：上式左边为流体静压强p的全微分dp，则可表示为：上式左边是一个全微分，右边也是某一函数的全微分，令势数为W（x，y，z.），则W的全微分为：

因而有:符合上式关系式的函数，称为力的势函数。具有势函数的力称为有势的力（势是随空间位置而变化的函数，其数值与势能有关）。结论：流体只有在有势的质量力作用下才能保持平衡。质量力有势是流体静止的必要条件。（2-7）三、等压面1、定义：同种连续静止流体中，静压强相等的点组成的面。（p＝const）由

p＝const→dp＝0得2、方程：由上式3.

等压面性质②作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。则由空间解析几何：单位质量力做的功应为③等压面不能相交相交→一点有2个压强值：错误①等压面就是等势面。因为证明：沿等压面移动无穷小距离所以，质量力与等压面相垂直。f④绝对静止流体的等压面是水平面X＝Y＝0，Z＝－g+性质②⑤两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面证明：在分界面上任取两点A、B，两点间势差为dU，压差为dp。因为它们同属于两种流体，设一种为ρ1，另一种为ρ2，则有:dp＝ρ1

dU

且dp＝ρ2

dU因为ρ1≠ρ2≠0所以只有当dp、dU均为零时，方程才成立。结论：同一种静止相连通的流体的等压面必是水平面（只有重力作用下）自由表面、不同流体的交界面都是等压面。说明：等压面可能是水平面、斜面、曲面、分界面。§2-3重力作用下水静力学基本方程一、重力作用下液体静力学基本方程

1.基本方程式的两种表达式设重力作用下的静止液体，选直角坐标系oxyz（图2-5），自由液面位置高度为H，压强为p0。液体中任一点的压强，由式流体平衡微分方程的综合式（2-7）重力作用下静止液体质量力：，代入式（2-7）得(2-8)在自由液面上有：z=H时,p=p0

。代入(2-8)式有:

(2-9)

或以单位体积的重量ρg除以式2-8得：（2-10）式中：P—静止液体内部某点的压强

P0—液体表面压强，对于液面通大气的开口容器，视为大气压强并以Pa表示

h—该点到液面的距离，称淹没深度

Z—该点在坐标平面以上的高度式（2-9）（2-10）以不同的形式表示重力作用下液体静压强的分布规律，均称为液体静力学基本方程式。P0P1P2Z1Z22、推论由液体静力学基本方程或当

时，

(2-11)结论：1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加。2）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。3）自由表面下深度h相等的各点压强均相等——只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。4）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值。（2-12）二.气体压强分布1.按常密度计算由液体平衡微分方程的全微分式(2-7)，质量力只有重力，X=Y=0,Z=-g得（2-13）

按密度为常数，积分上式，得因气体的密度ρ很小，对于一般的仪器设备，高度z有限，重力对气体压强的影响很小，可以忽略，故可以认为各点的压强相等，即：

P=C（2-14）例如储气罐内各点的压强相等。2.大气层压强的分布以大气层为研究对象，研究压强的分布，必须考虑空气的压缩性。根据对大气层的实测，从海平面到高程11km范围内，温度随高度上升而降低，约每升高1000m，温度下降6.5K，这一层大气称为对流层。从11-15Km，温度几乎不变，恒为216.5K（-56.5℃），这一层为同温层。（1）.对流层由式（2-13）密度ρ随压强和温度变化，由完全气体状态方程求，代入上式，得

（2-15）

式中温度T随高程变化，T=T0-βz，T0为海平面上得热力学温度，β=0.0065K/m，于是得（2-16）将国际标准大气条件：海平面（平均纬度45°）上，温度T0=288K（15℃），pa=1.013×105N/m2,以及R=287J/(Kg·K)，β=0.0065K/m，代入上式，得到对流层标准大气压分布式中z的单位为“m”，0≤z≤11Km（2）同温层同温层的温度Td=T0-βZd=288-0.0065×11000=216.5K同温层最低处（Zd=11000m）的压强，由式（2-16）算得Pd=22.6Kpa将以上条件代入式（2-15）积分，便可得到同温层标准大气压分布式中z得单位为m，11000m≤z≤25000m。1、静压强的表示方法a.绝对压强:（）以绝对真空状态下的压强（绝对零压强）为基准计量的压强，用表示，。工程大气压：1Pt＝98KN/mb．相对压强:（）又称“表压强”，是以当地大气压(at)为基准计量的压强。用p表示，，p可“＋”可“–”，也可为“0”。c．真空：（）当流体中某点的绝对压强小于大气压强时，则该点为真空，其相对压强必为负值。三、压强的表示方法和单位真空绝对压强计示压强绝对压强图2-8绝对压强、计示压强和真空之间的关系2、压强的计量单位a．用单位面积上的力表示：应力单位为Pa，kN／m2。

1Pa＝1N／m2。b．用液柱高度表示:m(液柱)。c．用工程大气压Pat的倍数表示。1Pat＝98kPa如某点压强为196kPa，则可表示为

1at相当于

四、测压原理1、测压管测压管（pizometrictube）：是以液柱高度为表征测量点压强的连通管。一端与被测点容器壁的孔口相连，另一端直接和大气相通的直管。适用范围：测压管适用于测量较小的压强，但不适合测真空。如图右所示，由等压面原理计算：

如果被测点A的压强很小，为了提高测量精度，增大测压管标尺读数，常采用以下两种方法：（1）将测压管倾斜放置如图右，此时标尺读数为l，而压强水头为垂直高度h，则（2）在测压管内放置轻质而又和被测液体互不混掺的液体，重度，则有较大的h。2、水银测压计与U形测压计适用范围：用于测定管道或容器中某点流体压强，通常被测点压强较大。

右图中，B—B为等压面U型测压计3、压差计分类：空气压差计：用于测中、低压差；

油压差计：用于测很小的压差；水银压差计：用于测高压差。

适用范围：测定液体中两点的压强差或测压管水头差。压差计计算：如图右若A、B中流体均为水，ρ2为水银，，则4、金属测压计（压力表）适用范围：用于测定较大压强,是自来水厂及管路系统最常用的测压仪表。5、真空计（真空表）适用范围：用于测量真空。Z真空表YZ压力真空表

五、帕斯卡原理如图右所示，设1点压强p1若增减△p1

，则2点p2将相应有增减量△p1

。证明：由水静力学方程故因这表明，在静止液体中任一点压强的增减，必将引起其他各点压强的等值增减。这就是熟知的帕斯卡原理。它由法国物理学家帕斯卡(B1ailePascal，1623年一1662年)大约在1647年—1654年间提出。此原理已在水压机、水力起重机及液压传动装置等设计中得到广泛应用。例如图所示，A1，A2分别为水压机的大小活塞。彼此连通的活塞缸中充满液体，若忽略活塞重量及其与活塞缸壁的摩擦影响，当小活塞加力P1时，求大活塞所产生的力P2。解：由Pl得小活塞面积A1上的静水压强p1＝P1/A1，按帕斯卡原理，p1将等值传递到A2上，则因可见，利用的斯卡原理，水压机可以小力获得较大的力。故六、测压管水头重力作用下静水压强的分布规律，如图右所示。由重力作用下的静水力学基本方程或:

a.位置水头z：任一点在基准面0-0以上的高度（几何意义）表示单位重量流体从某一基准面算起所具有的重力势能（物理意义）b.测压管高度p/ρg：液体在压强作用下沿测压管上升的高度（几何意义）表示单位重量流体从压强为大气压算起所具有的压强势能，简称压能（压强水头）。（物理意义）

c.测压管水头（z+p/ρ

g）：测压管平面相对于基准面的高度（几何意义）单位重量流体的总势能。（物理意义）

1.各项意义d.（z+p/ρ

g=C）:同一容器的静止液体中，所有各点的测压管水头均相等，测压管水头线是水平线。（几何意义）仅受重力作用处于静止状态的液体中，各点单位重量液体所具有的总势能相等。（物理意义）如图下所示，，下述两个静力学方程哪个正确？A.B.例1设如图2-13所示，hv=2m时，求封闭容器A中的真空值。

解：设封闭容器内的绝对压强为pabs，真空值为pv

。则：

根据真空值定义：例2：一密封水箱如图所示，若水面上的相对压强p0=-44.5kN/m2，求：

（1）h值；（2）求水下0.3m处M点的压强，要求分别用绝对压强、相对压强、真空度,用水柱高及大气压表示；（3）M点相对于基准面O—O的测压管水头。解

（1）求h值列等压面1-1，pN

=pa。以相对压强计算，（2）求pM

用相对压强表示：PM=-41.56/98=-0.424大气压（一个大气压=98kN/m2

）用绝对压强表示：用真空度表示：真空值真空度（3）M点的测压管水头§2-5液体作用在平面上的总压力许多工程设备，在设计时常需要确定静止液体作用在其表面上的总压力的大小、方向和位置。例如闸门、插板、水箱、油罐、压力容器的设备。前面研究静水压强的主要目的是为计算总压力。力有大小、方向、作用点三要素，对于静水总压力而言，所需确定的是其大小、作用点，其方向与压强方向一致，即垂直指向受压面。计算方法有两种：解析法和图解法。一、解析法如图所示，MN为任意形状的平面，倾斜放置于水中，与水面成θ角，面积为A，其形心C的坐标为xc，yc，形心C在水面下的深度为hc。

1.作用力的大小，微小面积dA的作用力：静矩：结论：潜没于液体中的任意形状平面的静水总压力F，大小等于受压面面积A与其形心点的静水压强pc之积。

2.总压力作用点（压心）合力矩定理（对Ox轴求矩）：面积惯性矩：

式中：Io——面积A

绕Ox轴的惯性矩。Ic——面积A绕其与Ox轴平行的形心轴的惯性矩。

在实际工程中，受压面多是具有纵向对称轴（与oy轴平行）的平面，总压力的作用点p必在对称轴上。这种情况，只需算出yD，作用点的位置便完全确定，不需计算xp。几种常见图形的几何特征量见下表。hchchhpFycyp图2-20静止液体中倾斜平面上液体的总压力截面几何图形面积A型心yc惯性距Ic

bh

1/2h

1/12bh3

1/2bh

2/3h

1/36bh31/2h(a+b)例1如图所示，一铅直矩形闸门，已知h1=1m，h2=2m，宽b=1.5m，求总压力及其作用点。解：

例2

图2-22表示一个两边都承受水压的矩形水闸，如果两边的水深分别为h1=2m，h2=4m，试求每米宽度水闸上所承受的净总压力及其作用点的位置。

【解】淹没在自由液面下h1深的矩形水闸的形心yc=hc=h1/2

每米宽水闸左边的总压力为

作用点F1位置

图2-22其中通过形心轴的惯性矩IC=bh31/12，所以即F1的作用点位置在离底1/3h=2/3m处。淹没在自由液面下h2深的矩形水闸的形心yc=hc=h2/2。每米宽水闸右边的总压力为（N）同理F2作用点的位置在离底1/3h2=4/3m处。每米宽水闸上所承受的净总压力为F=F2-F1=78448-19612=58836（Ｎ）假设净总压力的作用点离底的距离为h，可按力矩方程求得其值。围绕水闸底O处的力矩应该平衡，即

1.当平面面积与形心深度不变时，平面上的总压力大小与平面倾角θ无关；

2.压力作用点的位置与受压面倾角θ无关，并且作用点总是在形心之下.只有当受压面位置为水平放置时，其作用点与形心才重合。结论：二、图解法（一）静水压强分布图1.根据基本方程式：2.静水压强垂直于作用面且为压应力。绘制静水压强大小；HH•静水压强分布图绘制要点：按照一定的比例尺，用一定长度的线段代表静水压强的大小；2.用箭头标出静水压强的方向，并与该处作用面垂直。受压面为平面的情况下，压强分布图的外包线为直线，只要算出作用面最上和最下两个点的压强后，即可定出整个压强的分布线

；受压面为曲面时，曲面的长度与水深不成直线函数关系，故压强分布图外包线亦为曲线。

3.对实际工程有用的是相对压强的图示。如欲绘制绝对压强分布图，则将常量附加上即可。例1BADhCABC即为相对压强分布图ABED即为绝对压强分布图例2BAh1h2叠加后余下的红色梯形区域即为静水压强分布图E例3为一折面的静水压强分布图h2h1CABh1h2DE作用于平面AC例4为两种和的液体先做再做则ADEC即为所求压强分布图例5h右图为一弧形闸门各点的压强只能逐点计算，且沿半径方向指向圆弧的圆心。注：只是要把静水压强的箭头倒转过来即可，并且负的静水压强上大下小，也可以把相对压强改成绝对压强再按上述方法绘制以上讨论的是P>0的例子对于P<0的情况，可同样绘制。HHHHhhh练习判断：下列压强分布图中哪个是错误的？

画出下列容器左侧壁面上的压强分布图（二）图算法设底边平行于液面的矩形平面AB，与水平面夹角为α，平面宽度为b，上下底边的淹没深度为h1、h2。（见图右）图算法的步骤是：先绘出压强分布图，总压力的大小等于压强分布图的面积S，乘以受压面的宽度b，即

P=bS总压力的作用线通过压强分布图的形心适用范围：矩形平面壁面上的静水总压力及其作用点的求解。原理：静水总压力大小等于压强分布图的体积，其作用线通过压强分布图的形心，该作用线与受压面的交点便是压心P。，作用线与受压面的交点，就是总压力的作用点。二、图解法设底边平行于液面的矩形平面AB，与水平面夹角为α，平面宽度为b，上下底边的淹没深度为0、h。（见图右）

采用图解法时，须先绘出压强分布图，然后根据压强分布图形计算总压力。hDhChcphbACDBa、压强分布图b、剖面图总压力为：所以，平面上静水总压力的大小等于作用在平面上的压强分布图的体积。=（1）求大小(压强分布图为三角形)现在对高为H、宽为b、底边平行于水平面的垂直矩形平面AB(如图)，计算其总压力，为（2）求大小(压强分布图为梯形)cphbACDB压强分布图（3）求作用点（压强分布图为三角形）总压力的作用线通过压强分布图形体积的形心，压向被作用平面。对于矩形平板，静水总压力的作用点可由压强分布图形面积的形心定出。适用范围：矩形平面壁面上的静水总压力及其作用点的求解。（4）求作用点（压强分布图为梯形）静水奇象

静止液体作用在水平面上的总压力。由于水平面是水平放置的，压强分布总压力的作用点是水平面面积的形心。可见，仅由液体产生作用在水平平面上的总压力同样只与液体的密度、平面面积和液深有关。如图所示，四个容器装有同一种液体，根据上式，液体对容器底部的作用力是相同的，而与容器的形状无关，这一现象称为静水奇象。换句话说，液体作用在容器上的总压力不要和容器所盛液体的重量相混淆。工程上可以利用这一现象对容器底部进行严密性检查。例3

用图解法计算解析法中例1的总压力大小与压心位置。备注：梯形形心坐标:

a上底，b下底

解：总压力为压强分布图的体积：

作用线通过压强分布图的重心：例4

如图2所示，左边为水箱，其上压力表的读数为-0.147×105Pa，右边为油箱，油的γ′=7350N/m3，用宽为1.2m的闸门隔开，闸门在A点铰接。为使闸门AB处于平衡，必须在B点施加多大的水平力F’。解

确定液体作用在闸门上的力的大小和作用点位置。对右侧油箱对左侧水箱将空气产生的负压换算成以m水柱表示的负压h值相当于水箱液面下降1.5m，而成为虚线面，可直接用静水力学基本方程求解，这样比较方便。（向左）因为所以有：F2作用点距o轴的距离为或距A轴为

3.2-2.2=1m上图为闸门AB的受力图，将所有力对A轴取矩，则即代入数值得（向右）（向右）hcαDc例：试求作用在关闭着的池壁圆形放水闸门上静水总压力和作用点的位置。已知闸门直径d=0.5m，距离a=1.0m，闸门与自由水面间的倾斜角α=600，水为淡水。解：⑴、求总压力aycyDhcαDca设总压力的作用点沿斜面距水面为yD则：（米）例题：ACBd输水水管道在试压时，压强表的读数为10at，管道直径d=1.0m，求作用在管端法兰堵头上的静水总压力及作用点。解：方法（Ⅰ）设法兰堵头上静水压强均匀分布由于可认为堵头上的平均压强为所以堵头上的总压力作用点通过堵头的中心C点方法（Ⅱ）压强严格按照来计算BA100m1m总压力：作用点：比较两种计算方法的结果：⑴、总压力的相对误差：⑵、作用点距离误差：比较结果：在工程上，方法1计算完全可满足要求。液体作用于平面上总压力的计算：2.图解法

根据静水压强的两个基本特性及静水压强计算的基本方程绘制出受压面上的相对压强分布图，静水总压力的大小就等于压强分布图的体积，其作用线通过压强分布图的重心。1.解析法首先确定淹没在流体中物体的形心位置以及惯性矩，然后由解析法计算公式确定总压力的大小及方向。结论：谢谢！本章导读§3.1流体运动的描述（研究流体运动的两种方法）§3.2欧拉法的基本概念§3.3连续性方程§3.4流体质点运动的特点和有旋流本章小结主要内容第三章流体运动学本章学习重点：理解欧拉法描述流体运动的有关概念；掌握流体运动方程（连续性方程）；理解有旋流和有势流。1、流体运动学——研究流体机械运动的基本轨律及其在工程中的应用。拉格朗日法欧拉法不涉及任何力2、解决的问题——建立流体运动的基本关系式，即研究运动要素随时间和空间的变化及其之间的关系。3、研究方法§3-1描述流体运动的两种方法一、拉格朗日(Lagrange)法质点系法1、研究方法——将整个液体运动作为各个质点运动的总和来考虑，以单个液体质点为研究对象。在一段时间内，某一质点在空间运动的轨迹，称为该质点的“迹线”。利用迹线方程即可得到这个质点相应的空间位置及其速度向量、动水压强等水力要素。所有的质点都用这个方法来分析，就可对整个液体运动的全部过程进行全面、系统的认识。研究对象:流体质点2、表达式：z=z(a，b，c，t)x=x(a，b，c，t)y=y(a，b，c，t)a，b，c，t——被称作拉格朗日变量。其中：讨论：（1）当a、b、c

为变量，t为定量时，表示各质点在某时刻的空间分布情况；（2）当a、b、c为定量，t

为变量时，表示某一质点在一段时间内的运动轨迹；（3）当a、b、c、

t均为变量时，表示任一时刻、任一质点的运动情况。优点：拉格朗日法是质点动力学方法的扩展，物理概念清晰。

缺点：

①由于流体质点有无穷多个，每个质点运动规律不同，很难跟踪足够多质点；②数学上存在难以克服的困难；③实用上，不需要知道每个质点的运动情况。因此，一般水文工作者在研究波浪运动中使用这一方法。二、欧拉（Euler)法流场法1、研究方法——在流场中任取固定位置，研究流体通过该固定点时的运动情况。此法是以流动的空间作观察对象。流场——流体运动时所占据的空间。以流动的空间作为观察对象，观察不同时刻各个空间点上流体质点的运动参数，将各时刻的情况汇总起来，就描述了整个流动过程。研究对象:流场2、表达式：（1）压强场：p=p(x,y,z,t)（2）密度场：ρ=ρ(x,y,z,t)

x，y，

z，t欧拉变量（3）速度场：ux=ux

(x,y,z,t)uy=uy

(x,y,z,t)uz=uz

(x,y,z,t)

由于欧拉法以流动空间作为研究对象，每时刻各空间点都有确定的物理量，这样的空间区域称为流场，包括速度场、压强场、密度场等，表示为讨论：1>当x，y，

z一定，t为变量时，表示任意时刻质点通过某固定点时的速度变化情况；2>当x，y，z为变量，t一定时，表示某时刻整个流场内质点速度的分布情况；3>当x，y，

z，t均为变量时，表示任意时刻、整个流场的速度变化情况。（4）加速度场：当地加速度（时变导数）：表示流体通过某固定点时速度随时间的变化率。迁移加速度（位变导数）：表示某一时刻流体流经不同空间点时速度的变化率。哈米尔顿算子：时变加速度位变加速度上式也可表示为：举例说明：恒定流中，当地加速度为零，迁移加速度可以不为零。ABA'B'uAdtuBdt在水箱放水管中管径相同处取点A，管径变化处取点B。有：当水箱水位变化时：当水箱水位不变时：A点的迁移加速度和当地加速度均为零；B点的当地加速度为零，迁移加速度不为零。A点的迁移加速度为零，当地加速度不为零，为一负值；B点的当地加速度和迁移加速度均不为零。质点的加速度=当地加速度+迁移加速度非恒定引起非均匀性引起3、特点：——欧拉法是以流场而非单个的质点做研究对象，故相对于拉格朗法简便，在工程中具有实用意义，故一般可采用欧拉法研究流体的运动规律。例如气象预报、洪水预报、水文水量预报。§3.2欧拉法的基本概念一、流动的分类——按流体各点的运动要素是否随时间改变而划分。——以时间为标准，各空间点上的运动要素均不随时间改变的流动。（1）恒定流

1、恒定流与非恒定流其当地加速度为零：函数关系：p=p(x，y，z)

u=u(x，y，z)恒定流时，运动要素仅是坐标的函数，与时间无关。（2）非恒定流——流体空间各点只要有一个运动要素随时间改变即为非恒定流。u=u(x，y，z，t)p=p(x，y，z，t)函数关系：大海中潮起潮落现象－非恒定流洪水期中水位、流量有涨落现象－非恒定流平水期中水位、流量相对变化不大－恒定流（3）、恒定流与非恒定流的判别标准可据当地加速度（时变导数）是否为零加以判断。

恒定流与非恒定流相比，在欧拉变量中少了一个变量t，从而使问题变得相对简单，故在工程中通常可将非恒定流问题简化为恒定流来处理（运动要素随时间变化不太大，不影响计算精度）。在实际工程中，绝对的恒定流几乎不存在。水静力学就是恒定流

xzzhz0mp0（1）、均匀流3>各过流断面上流速分布沿程不变。1>流体的迁移加速度为零；特点：2>流线是平行的直线；——某时刻，流体各相应点（位于同一流线上的点）的流速都不随流程改变的流动。

按运动要素是否随流程改变，可将流动划分为均匀流与非均匀流。2、均匀流与非均匀流（2）、非均匀流——某一时刻，流体相应点的流速因位置的不同而不同的流动。（3）、均匀流与非均匀流的判别标准可据迁移加速度（位变导数）是否为零来判断。注意：（1）恒定流与均匀流的概念区别；（2）据以上对流体流动的两种分类方法，可将流动分为四种形式，即：恒定均匀流非恒定均匀流恒定非均匀流非恒定非均匀流“元”是指空间自变量的个数

一元流

运动要素只与一个空间自变量有关3、一元流、二元流和三元流二元流

任何运动要素与两个空间自变量有关，此水流称二元流。

二元流动示意zyOBBuB-B剖面一矩形顺直明渠

当渠道很宽，两侧边界影响可忽略不计时，任一点流速与流程s、距渠底铅垂距离z有关，而沿横向y方向,流速几乎不变。三元流动示意zyOuCCC-C剖面x一矩形明渠当宽度由b1突扩为b2时，突变的局部范围内，水流中任一点流速，不仅与断面位置坐标有关，还和坐标y、z

有关。

三元流

任一运动要素与三个空间坐标有关

实际上，任何液体流动都是三元流，需考虑运动要素在三个空间坐标方向的变化。

由于问题非常复杂，数学上求解三维问题的困难，所以水力学中，常用简化方法，尽量减少运动要素的“元“数。

1

一元流分析法回避了水流内部结构和运动要素的空间分布。存在的问题

例如，用断面平均流速代替实际流速，把总流视为一元流。水利工程的实践证明，把三维水流简化成一元流，或二元流是可以满足生产需要的，但存在一些问题。

2

不是所有问题都能简化为一元流，或二元流的。例如，掺气，水流的脉动、水流空化等问题。所以，简化是针对水力学具体问题而言（相对的）。

存在的问题例：速度场求①t=2s时，在（2,4）点的加速度；②是恒定流还是非恒定流；③是均匀流还是非均匀流；解：①当t=2s，x=2，y=4，代入上式得ax=4m/s2，同理ay=6m/s2②因速度场随时间变化，或由时变导数此流动为非恒定流③，为均匀流

二、迹线、流线描述流体的运动，除可用数学表达式表述外，还可用更直观的图形来描述。1、迹线——流体质点运动时的轨迹线。即在拉格朗日法中，某一流体质点在不同时刻所占据的空间点的连线。迹线可以反映出同一质点在不同时刻的速度方向。图

拉格朗日法zxyOaxbyzct0tM迹线方程2、流线流场——是由无数流线构成的，各空间点的流速均与其所在流线相切。——在流场中画出某时刻的这样一条曲线，它上面所有液体质点在该瞬时的流速向量都与这一曲线相切，这样的曲线称为流线。流线表明了某瞬时流场中各点的流速方向。（1）流线的特点：因为同一时刻、同一质点只有一个速度矢量。1>流线互不相交，且为光滑曲线；驻点、奇点除外3、切点2、奇点1、驻点2汇流动312源流动2>流线充满整个流场,每个质点都位于一条流线上；3>某断面上流线的疏密，可反映该断面流速的大小。1122（2）流线微分方程：

其中t

是参变量，在积分过程中可作为常量。将上式积分即可得流线方程。

根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：

设ds为流线上A处的一微元弧长:u为流体质点在A点的流速:

因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和ds重合。

所以

即

图3-10概念名

定

义

方程流

线

流线是表示流体流动趋势的一条曲线，在同一瞬时线上各质点的速度向量都与其相切，它描述了流场中不同质点在同一时刻的运动情况。流线方程为：式中时间t为参变量。

迹

线

迹线是指某一质点在某一时刻内的运动轨迹，它描述流场中同一质点在不同时刻的运动情况。迹线方程为：式中时间t为自变量。

小结例1

已知平面流动

试求：（1）t=0时，过点M（-1，-1）的流线。

（2）求在t=0时刻位于x=-1，y=-1点处流体质点的迹线。解：（1）由式

得

将：t=0，x=-1，y=-1代入得C=-1则过点M（-1，-1）的流线

xy=1

即流线是双曲线。（2）由式

得

得：

由t=0时，x=-1，y=-1得C1=0,C2=0，则有：

最后可得迹线为：

三、流管、流束、过流断面、元流、总流1、流管——在流场中作一非流线且不相交的封闭曲线，然后由曲线上的各点作流线，所构成的管状面。特点：流体的质点不能穿越流管；

若流动为恒定流，则流管的形状、位置不变。2、流束——流管内所包容的流体。u过流断面u过流断面3、过流断面——流束上作出的与所有流线都正交的横断面。过流断面可以是曲面，也可以是平面。——过流断面面积无限小的流束。4、元流特点：若流动为恒定流，则元流的形状、位置不变；同一过流断面上，各点的运动要素可认为相等。5、总流——过流断面面积为有限大小的流束。总流可看成无数多元流之和，其过流断面面积等于各元流过流断面积的积分。二、流量、断面平均流速

（2）计算式：Q=∫AdQ=∫AudA可用于可压缩流体——单位时间内通过过流断面的流体的量。1、流量Q重量流量kN/sN/s体积流量m3/sl/s质量流量kg/s（1）表示方法：一般用于不可压缩流体。2、断面平均流速

在过水断面上，液体质点流速分布是不均匀的。例如，管道中的流速分布，边壁流速为零，管心最大。整个过水断面上，流速分布是曲面，在平面上看，流速分布是曲线。

引入断面平均流速使液体运动得到简化（使三元流动变成了一维流动）。在实际工程中，断面平均流速是非常重要的。u(y)yQu(y)yQv断面平均流速[例题

]已知半径为r0的圆管中，过流断面上的流速分布为，式中是轴线上断面最大流速，y为距管壁的距离。试求：（1）通过流量和断面的平均流速；（2）过流断面上，速度等于平均流速的点距管壁的距离。解：在过流断面r=r0-y处，取环形微元面积，dA=2πrdr，环面上各点的流速u相等流量断面平均流速（2）依题意，令§3-3流体运动连续性方程

所涉及的两种概念：（1）系统；（2）控制体。方程推导应遵循的原则：（2）流体是连续介质；（1）满足质量守恒定律；一、系统、控制体1、系统——把系统和外界分开的真实或假象的界面。系统边界——由确定的流体质点组成的流体团。即一团确定的流体质点的集合。（1）系统边界的特点：1>系统的体积边界面形状、大小随时间改变；2>边界上受外力作用；3>在系统边界面上无质量交换；4>边界上可以有能量交换。定义了系统后，即可利用质量、能量、动量守恒定律，推导流体的运动方程。（2）系统的概念对应的是拉格朗日法，即以确定的质点为研究对象。——控制体的边界面，是一封闭的表面。控制面故引进相应的概念——控制体我们在工程实际中一般是采用欧拉法，——流场中一固定不变的空间体积。2、控制体质点不固定。（1）控制面的特点：4>控制面上可以有能量交换；1>控制面相对于坐标系固定不变；2>控制面上可以有质量交换；3>控制面上受到外力作用；（2）控制体的概念对应的是欧拉法，即以固定的空间点为研究对象。连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的应用。认为流体是连续介质，它在流动时连续地充满整个流场DM/Dt=0。在这个前提下，当研究流体经过流场中某一任意指定的空间封闭曲面时，可以断定：若在某一定时间内，流出的流体质量和流入的流体质量不相等时，则这封闭曲面内一定会有流体密度的变化，以便使流体仍然充满整个封闭曲面内的空间；如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必然等于流入的流体质量。上述结论可以用数学分析表达成微分方程，称为连续性方程。3、连续性方程二、连续性微分方程利用质量守恒原理来导出三元流动的连续性微分方程在连续充满整个流场的流体中，任取一个以点为中心的微小六面体。xzydxdydzMN流体通过点的流速为M点坐标N点坐标边长为dx、dy、dz按泰勒级数展开，可得M、N点的流体流速（忽略高阶微量）同理：单位时间内流进左面的质量是：单位时间内流出右面的质量是：单位时间内在x方向上流出流进的质量差为：同理在y、z方向上，质量差为：由质量守恒，流出与流进六面体质量差之总和等于六面体内因密度变化而减少的质量，即：整理：即为连续性微分方程的一般形式对于恒定流则：对均质不可压缩流体：ρ=常数则：上式表明液体的体积膨胀率为零，即一个方向上有拉伸，则在其它方向上必有压缩。已知不可压缩流体的两个分速度为：其中，a,b,c,d,e,f均为常数。当z=0时，w=0,试求坐标z方向的分速度w.解：利用连续性方程。z=0时，uz=0例题：

【例】有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为：试分析该流动是否连续。

【解】根据连续性方程表达式

所以

故此流动是连续的。3.3.2连续性微分方程对总流的积分高斯定理将不可压缩流体的连续性微分方程式，对控制体空间积分，根据高斯(Gauss)定理为在微元面积dA外法线方向的投影。因侧表面上，于是上式化简为即或和为总流断面的平均流速。11222211（1）汇流（2）分流d2d12121已知d1=200mm,d2=100mm,v1＝0.8m/s，求细管管断的断面平均流速。解:例题：3-7（P58）本章小结：理解欧拉法描述流体运动的有关概念；掌握流体运动方程（连续性方程）；理解拉格朗日法、欧拉法的概念；谢谢！第四章流体动力学基础本章导读§4.1流体的运动微分方程§4.2元流的的伯努利方程§4.3恒定总流的伯努利方程（能量方程）§4.4恒定总流的动量方程本章小结主要内容本章学习重点：理解速度势函数、流函数，会建立简单的势函数和流函数方程；透彻理解流体元流伯努利方程，会用毕托管测流速。了解N—S方程。掌握实际流体能量方程、动量方程；掌握流体运动总流的分析方法，能熟练运用三大运动方程解决实际问题；（1）流体动力学——研究流体运动且涉及力的规律及在工程中的应用。（2）遵循的规律牛顿第二定律（3）对于理想流体，因没有黏性，故作用于流体的表面力只有压应力，即动水压强。p=p(x，y，z，t)（4）实际流体运动微分方程,伯努利方程,动量方程。学习内容：§4.1流体的运动微分方程公式推导1.取微元体在某一瞬时在运动无黏性流体中取出棱边为dx，dy，dz的一微小平行六面体。基本思路:(1)取微元体(2)受力分析(3)导出关系(4)得出结论一、无黏性流体运动微分方程2.受力分析作用在流体上力：(1)表面力；(2)质量力(1)表面力（以X方向为例）包括压应力和剪应力左表面右表面(2)质量力

X、Y、Z表示流体单位质量力在坐标轴上的分量。这个微元体的质量为ρdxdydz

，质量力在各个在坐标轴上的分量分别为：

Xρdxdydz

、Yρdxdydz

、Zρdxdydz

3.导出关系

由牛顿第二运动定律，x方向有：

化简得：4.结论——无黏性流体运动微分方程——Euler运动微分方程无黏性流体运动微分方程流体平衡微分方程（1）物理意义：作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和等于其加速度。（2）适用条件：a.无黏性流体。

b.可压缩流体及不可压缩流体

c.恒定流及非恒定流单位质量流体的质量力在X、Y、Z坐标轴上分量单位质量流体的惯性力在X、Y、Z坐标轴上分量单位质量流体的表面力在X、Y、Z坐标轴上分量1、以应力表示的实际流体运动微分方程（1）、方程推导依据：牛顿第二定率：F=ma（2）、分析受力：因为是实际流体，故运动流体的表面力既有压应力（动压强）也有切应力。二、黏性流体运动微分方程τzyτzxτzyτzxMstAFCBDEGHyxZ设M点的相应要素为：py

,uy,

τzy,τxy

τzy与Z轴垂直的平面上，沿y方向。τxy

与x轴垂直的平面上，沿y方向。以y方向为例：τzyτzxτzyτzxMstAFCBDEGHyxZA.质量力：B.表面力：压力：Yρdx

dy

dz切应力（四个表面）：ABGHCDEFABCFGDEH切应力（四个表面）：ABGH:CDEF:GDEH:ABCF:mduydt整理，Fy=may

=将以上所有的力代入即可得实际流体运动微分方程。式4-2（3）、公式：对于不可压缩均质流体，ρ=c，而X，Y，Z通常是已知的,故在三个方程中有九个表面应力、三个速度分量，共十二个未知量，既使加上连续性微分方程（四个方程，解十二个未知量），也无法求得唯一的解，所以还应再找出其它的关系。2、流体质点的应力状态（